曲線與方程曲線與方程熱身練習(xí)熱身練習(xí)1．曲線C的方程為，則是點(diǎn)在曲線C上的 ( )A．充足不必要條件B．必要不充足條件C．充要條件D．既不充足又不必要條件2．方程的曲線是 ( )A．一條直線和一條雙曲線B．兩條雙曲線C．兩個(gè)點(diǎn)D．以上答案都不對(duì)3．若點(diǎn)在曲線上，則．4．若方程的曲線不是C，那么下列命題中對(duì)的的是 ( ) A．以方程的每一組解為坐標(biāo)的點(diǎn)都不在曲線C上 B．方程有無(wú)限組解，以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)都不在曲線C上 C．最少存在方程的一組解，以這組解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在曲線C上 D．以方程的每一組解為坐標(biāo)的點(diǎn)，有可能都在曲線C上知識(shí)梳理1．曲線方程的定義：普通地，如果曲線C與方程之間有下列兩個(gè)關(guān)系：①曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn)．此時(shí)，把方程叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程的曲線．2．運(yùn)用集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)理解曲線方程的概念：設(shè)表達(dá)曲線上適合某種條件的點(diǎn)的集合；表達(dá)二元方程的解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的集合．于是，方程叫做曲線C的方程等價(jià)于，即．3．求曲線方程的普通環(huán)節(jié)：（1）建立適宜的直角坐標(biāo)系（如果已給出，本環(huán)節(jié)省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件，寫出等式；（4）用坐標(biāo)表達(dá)這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；（5）證明已化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．上述五個(gè)環(huán)節(jié)可簡(jiǎn)記為：建系；設(shè)點(diǎn)；寫出集合；列方程、化簡(jiǎn)；證明．4．求曲線方程的辦法；（1）直譯法：根據(jù)條件中提供的等量關(guān)系，直接列出方程；（2）代入法：在變化過(guò)程中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知其中一種動(dòng)點(diǎn)在定曲線上運(yùn)動(dòng)，求另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這里通過(guò)建立兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，代人到已知曲線之中，得出所規(guī)定的軌跡方程；（3）參數(shù)法：?jiǎn)螀?shù)法；交軌法；坐標(biāo)法；定形法．例題解析例題解析1、“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義【例1】如果曲線C上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，那么下列命題中對(duì)的的是()A．曲線C的方程是 B．曲線C上的點(diǎn)都在方程的曲線上C．方程的曲線是C D．以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上【例2】畫出方程所對(duì)應(yīng)的曲線：．【鞏固訓(xùn)練】1．是點(diǎn)在曲線上的條件．2．如果命題“坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上．”是不對(duì)的的．那么下列命題中對(duì)的的是（）坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都不在曲線上；曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)不都滿足方程；坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)，有些在曲線上，有些不在曲線上；最少有一種不在曲線上的點(diǎn)，它的坐標(biāo)滿足方程．方程的曲線通過(guò)點(diǎn)中的（）4個(gè)；3個(gè)；2個(gè)；1個(gè)．3．方程(x2＋y2－4)eq\r(x＋y＋1)＝0的曲線形狀是()．2、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解【例3】已知點(diǎn)、，頂點(diǎn)在坐標(biāo)平面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．【例4】（1）已知兩個(gè)定點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）的邊長(zhǎng)為，邊上的中線長(zhǎng)為，試求頂點(diǎn)的軌跡方程；（3）已知，動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（4）求直線與直線的交點(diǎn)的軌跡方程．【例5】已知曲線C的方程是（1）曲線C有關(guān)點(diǎn)對(duì)稱的曲線的方程；（2）曲線C有關(guān)直線對(duì)稱的曲線的方程．【例6】設(shè)兩點(diǎn)，求（1）覺得一條直角邊的的頂點(diǎn)的軌跡方程；（2）滿足面積為的點(diǎn)的軌跡方程；（3）覺得斜邊的的頂點(diǎn)的軌跡方程；（4）覺得一條邊的矩形（按逆時(shí)針方向排列）的頂點(diǎn)的軌跡方程．【鞏固訓(xùn)練】1．動(dòng)點(diǎn)到軸，軸的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．2．動(dòng)點(diǎn)到的距離為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是．3．已知定點(diǎn)和曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．4．若點(diǎn)M為直線上的一點(diǎn)，A（4，2）為一定點(diǎn)，又點(diǎn)P在線段AM上運(yùn)動(dòng)，且求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．5．已知直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線相交于、兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程6．過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．7．已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)在軸上方．（1）若，求的外心的軌跡方程；（2）若，求的外心的軌跡方程．3、曲線的交點(diǎn)【例7】若直線與拋物線相交與不同的兩點(diǎn)、，求：（1）實(shí)數(shù)的取值范疇；（2）的長(zhǎng)； （3）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．【例8】已知曲線的方程是，當(dāng)為什么值時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？一種交點(diǎn)？沒有交點(diǎn)？【例9】曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，試求出實(shí)數(shù)的取值范疇．【例10】若直線與曲線僅有一種公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)__________．【例11】曲線和，其中僅有一種公共點(diǎn)，求公共點(diǎn)的軌跡方程．【例12】(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程表達(dá)的曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為．(2)已知直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范疇．(3)已知函數(shù)曲線，對(duì)，研究該曲線與曲線的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并寫出你的研究結(jié)論．【鞏固訓(xùn)練】1．曲線C的方程是，點(diǎn)不在曲線C上，則方程表達(dá)的曲線與曲線C的關(guān)系是（）A．有一種交點(diǎn) B．有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn) C．無(wú)交點(diǎn) D．皆有可能2．若直線與拋物線交于兩點(diǎn)、，且，則____________．3．若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范疇為________．4．若直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)正好有關(guān)直線對(duì)稱，求的值．5．方程和表達(dá)的曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范疇．綜合應(yīng)用【例13】以曲線與曲線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)作多邊形，則此多邊形的面積為．【例14】動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）點(diǎn)在什么位置時(shí)，的面積最大？【例15】已知直線與曲線試問(wèn)：與否存在非零整數(shù)，使直線與曲線含有橫坐標(biāo)為正整數(shù)的公共點(diǎn)．【例16】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一種與軸的正半軸、軸的正半軸分別相切于點(diǎn)、的定圓所圍成的區(qū)域（含邊界），是該圓的四等分點(diǎn)．若點(diǎn)、點(diǎn)滿足且，則稱優(yōu)于．如果中的點(diǎn)滿足：不存在中的其它點(diǎn)優(yōu)于，那么全部這樣的點(diǎn)構(gòu)成的集合是劣弧()A． B． C． D．【例17】（1）若兩條曲線的方程是，證明：方程的曲線也通過(guò)為任意實(shí)數(shù)）；（2）求通過(guò)曲線的交點(diǎn)的直線方程．【鞏固訓(xùn)練】1．若點(diǎn)在曲線上，是原點(diǎn)，則的最小值為．2．已知點(diǎn)，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，表達(dá)與的面積之差，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．3．已知曲線，求曲線與線段有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件．反思總結(jié)1．重要辦法:

①曲線和方程的對(duì)的理解；②求軌跡方程的辦法:定義法和待定系數(shù)法以及幾何意義求法．2． 易錯(cuò)、易漏點(diǎn):①曲線和方程的定義中，兩個(gè)關(guān)系缺一不可；只有同時(shí)符合，才干將曲線的研究轉(zhuǎn)化為方程來(lái)研究，即幾何問(wèn)題的研究轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；②在求解軌跡方程的過(guò)程中要注意去掉不滿足實(shí)際意義的點(diǎn)．課后練習(xí)1．方程的曲線過(guò)原點(diǎn)的條件是．2．若點(diǎn)在方程所示的曲線上，則．3．當(dāng)變化時(shí)，曲線恒過(guò)定點(diǎn)．4．條件：點(diǎn)在直線上，條件：點(diǎn)在曲線上，則成立是成立的條件．5．到兩坐標(biāo)軸距離的積為2的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是．6．若直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和恰為零，則．7．若點(diǎn)在曲線上，為原點(diǎn)，則的最小值是．8．方程在平面直角坐標(biāo)系中所圍成的封閉圖形的面積是9．命題：曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，命題：曲線是方程的曲線，則成立是成立的（）A．充足不必要條件 B．必要不充足條件 C．充要條件 D．既不充足也不必要條件10．已知兩個(gè)點(diǎn)、B（