二次函數(shù)綜合題一．解答題（共14小題）1．（2013?重慶）如圖，對(duì)稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．①若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．2．（2013?重慶）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．（2013?昭通）如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點(diǎn)O（0，0）在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上．（1）求拋物線的解析式．（2）將直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）4．（2013?張家界）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC．（1）求直線CD的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2013?棗莊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．6．（2013?營(yíng)口）如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）試判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由．（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2013?雅安）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E與A、D不重合），過(guò)E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2013?新疆）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)E是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2013?湘西州）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．（1）求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說(shuō)明理由；（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2013?湘潭）如圖，在坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx﹣2的圖象過(guò)C點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）平移該拋物線的對(duì)稱軸所在直線l．當(dāng)l移動(dòng)到何處時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．11．（2013?遂寧）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，）．直線y=kx過(guò)點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是D．（1）求拋物線y=x2+bx+c與直線y=kx的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線AD上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AD于點(diǎn)M，作DE⊥y軸于點(diǎn)E．探究：是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值．12．（2013?曲靖）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線為y=﹣x2+bx+c．點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式．（2）當(dāng)DE=4時(shí)，求四邊形CAEB的面積．（3）連接BE，是否存在點(diǎn)D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．13．（2013?黔西南州）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）P是拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2013?攀枝花）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DE⊥x軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2013年10月陳永的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．解答題（共14小題）1．（2013?重慶）如圖，對(duì)稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．①若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）由拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）①a=1時(shí)，先由對(duì)稱軸為直線x=﹣1，求出b的值，再將B（1，0）代入，求出二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3，得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），根據(jù)S△POC=4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=﹣x﹣3，再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長(zhǎng)度的最大值．解答：解：（1）∵對(duì)稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；（2）①a=1時(shí)，∵拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．將B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．則二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣3，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），OC=3．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．當(dāng)x=4時(shí)，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；當(dāng)x=﹣4時(shí)，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）；②設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，將A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直線AC的解析式為y=﹣x﹣3．設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴當(dāng)x=﹣時(shí)，QD有最大值．點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長(zhǎng)度問(wèn)題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想．2．（2013?重慶）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)∑的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）MN的長(zhǎng)是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于MN的長(zhǎng)和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面積S2=5，則S1=6S2=30．再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3，過(guò)點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=BD=6，求出E的坐標(biāo)為（﹣1，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1，然后解方程組，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以直線BC的解析式為y=﹣x+5；將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，得，解得，所以拋物線的解析式為y=x2﹣6x+5；（2）設(shè)M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），則N（x，﹣x+5），∵M(jìn)N=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時(shí)，MN有最大值；（3）∵M(jìn)N取得最大值時(shí)，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面積S2=×4×2.5=5，∴平行四邊形CBPQ的面積S1=6S2=30．設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．∵BC=5，∴BC?BD=30，∴BD=3．過(guò)點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD為等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），設(shè)直線PQ的解析式為y=﹣x+t，將E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1．解方程組，得，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（2，﹣3）（與點(diǎn)D重合）或P2（3，﹣4）．點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生運(yùn)用方程組、數(shù)形結(jié)合的思想方法．（2）中弄清線段MN長(zhǎng)度的函數(shù)意義是關(guān)鍵，（3）中確定P與Q的位置是關(guān)鍵．3．（2013?昭通）如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點(diǎn)O（0，0）在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上．（1）求拋物線的解析式．（2）將直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式進(jìn)而得出答案即可；（2）首先求出直線OB的解析式為y=x，進(jìn)而將二次函數(shù)以一次函數(shù)聯(lián)立求出交點(diǎn)即可；（3）首先求出直線A′B的解析式，進(jìn)而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，進(jìn)而求出點(diǎn)P1的坐標(biāo)，再利用翻折變換的性質(zhì)得出另一點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上．∴，解得：，故拋物線的解析式為：y=x2﹣3x；（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k1x（k1≠0），由點(diǎn)B（4，4）得4=4k1，解得k1=1．∴直線OB的解析式為y=x，∠AOB=45°．∵B（4，4），∴點(diǎn)B向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，0），故m=4．∴平移m個(gè)單位長(zhǎng)度的直線為y=x﹣4．解方程組解得：，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣2）．（3）∵直線OB的解析式y(tǒng)=x，且A（3，0）．∵點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，3）．設(shè)直線A′B的解析式為y=k2x+3，此直線過(guò)點(diǎn)B（4，4）．∴4k2+3=4，解得k2=．∴直線A′B的解析式為y=x+3．∵∠NBO=∠ABO，∴點(diǎn)N在直線A′B上，設(shè)點(diǎn)N（n，n+3），又點(diǎn)N在拋物線y=x2﹣3x上，∴n+3=n2﹣3n．解得n1=，n2=4（不合題意，舍去），∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，）．如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N1OB1，則N1（﹣，﹣），B1（4，﹣4）．∴O、D、B1都在直線y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1，∴P1為ON1的中點(diǎn)．∴==，∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（﹣，﹣）．將△P1OD沿直線y=﹣x翻折，可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)到x軸距離等于P1到y(tǒng)軸距離，點(diǎn)到y(tǒng)軸距離等于P1到x軸距離，∴此點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）和（，）．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)系是解題關(guān)鍵．4．（2013?張家界）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)C（0，1），頂點(diǎn)為Q（2，3），點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC．（1）求直線CD的解析式；（2）求拋物線的解析式；（3）將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的條件下，若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，△PCF的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線解析式；（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（3）關(guān)鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形；（4）如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長(zhǎng)等于線段C′C″的長(zhǎng)度．利用軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此時(shí)△PCF的周長(zhǎng)最?。绱饒D③所示，利用勾股定理求出線段C′C″的長(zhǎng)度，即△PCF周長(zhǎng)的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），將C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直線CD的解析式為：y=﹣x+1．（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2+3，將C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）證明：由題意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x軸，則點(diǎn)C、E關(guān)于對(duì)稱軸（直線x=2）對(duì)稱，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，1）．如答圖①所示，設(shè)對(duì)稱軸（直線x=2）與CE交于點(diǎn)F，則F（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME與△QMC均為等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD為等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對(duì)稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長(zhǎng)等于線段C′C″的長(zhǎng)度．（證明如下：不妨在線段OD上取異于點(diǎn)F的任一點(diǎn)F′，在線段QE上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P′，連接F′C″，F(xiàn)′P′，P′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△P′CF′的周長(zhǎng)=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是點(diǎn)C′，C″之間的折線段，由兩點(diǎn)之間線段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周長(zhǎng)大于△PCE的周長(zhǎng)．）如答圖③所示，連接C′E，∵C，C′關(guān)于直線QE對(duì)稱，△QCE為等腰直角三角形，∴△QC′E為等腰直角三角形，∴△CEC′為等腰直角三角形，∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（4，5）；∵C，C″關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)C″的坐標(biāo)為（﹣1，0）．過(guò)點(diǎn)C′作C′N⊥y軸于點(diǎn)N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．綜上所述，在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，△PCF的周長(zhǎng)存在最小值，最小值為．點(diǎn)評(píng)：本題是中考?jí)狠S題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一點(diǎn)的難度．本題難點(diǎn)在于第（4）問(wèn)，如何充分利用軸對(duì)稱的性質(zhì)確定△PCF周長(zhǎng)最小時(shí)的幾何圖形，是解答本題的關(guān)鍵．5．（2013?棗莊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）將B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值；（2）由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上，據(jù)此可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由于△ABC的面積為定值，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，△BPC的面積最大；過(guò)P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標(biāo)，即可得到PQ的長(zhǎng)，以PQ為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．解答：解：（1）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得：；所以二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣2x﹣3（3分）（2）存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形；設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO；連接PP′，則PE⊥CO于E，∴OE=EC=∴y=；（6分）∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合題意，舍去）∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）（8分）（3）過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直線BC的解析式為y=x﹣3則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x﹣3）；S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB?OC+QP?BF+QP?OF==（10分）當(dāng)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積的最大值為．（12分）點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、菱形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法等知識(shí)，當(dāng)所求圖形不規(guī)則時(shí)通常要將其轉(zhuǎn)換為其他規(guī)則圖形面積的和差關(guān)系來(lái)求解．6．（2013?營(yíng)口）如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）試判斷△BCD的形狀，并說(shuō)明理由．（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；（3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），可知c=3．即拋物線的解析式為y=ax2+bx+3．把點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：過(guò)點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD為直角三角形．解法二：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD為直角三角形．（3）①△BCD的三邊，==，又=，故當(dāng)P是原點(diǎn)O時(shí)，△ACP∽△DBC；②當(dāng)AC是直角邊時(shí)，若AC與CD是對(duì)應(yīng)邊，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，a），則PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，則P的坐標(biāo)是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；③當(dāng)AC是直角邊，若AC與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，b），則PC=3﹣b，則=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）時(shí)，則△ACP∽△CBD一定成立；④當(dāng)P在y軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（d，0）．則AB=1﹣d，當(dāng)AC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，=，即=，解得：d=1﹣3，此時(shí)，兩個(gè)三角形不相似；⑤當(dāng)P在y軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是（e，0）．則AP=1﹣e，當(dāng)AC與DC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，=，即=，解得：e=﹣9，符合條件．總之，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：．點(diǎn)評(píng)：本題是相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法，勾股定理以及其逆定理的綜合應(yīng)用．7．（2013?雅安）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖（2），若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E與A、D不重合），過(guò)E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的三點(diǎn)，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)BC是定值，得到當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長(zhǎng)即可；（3）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，表示出E（m，2m+6），F(xiàn)（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的長(zhǎng)，從而表示出S于m的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可．解答：解：（1）由題意可知：解得：∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周長(zhǎng)為：PB+PC+BC∵BC是定值，∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸I對(duì)稱，∴連接AC交l于點(diǎn)P，即點(diǎn)P為所求的點(diǎn)∵AP=BP∴△PBC的周長(zhǎng)最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=；故△PBC周長(zhǎng)的最小值為3+．（3）①∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直線AD的解析式為y=2x+6∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，∴E（m，2m+6），F(xiàn)（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF?GH+EF?AG=EF?AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，S最大，最大值為1此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2）．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段的長(zhǎng)是表示出三角形的面積的基礎(chǔ)．8．（2013?新疆）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)E是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D；（3）根據(jù)直線AC的解析式，設(shè)出過(guò)點(diǎn)E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時(shí)，△ACE的面積最大，然后求出此時(shí)與AC平行的直線，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該直線與x軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，再求出AF，再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45°求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（4，3），∴，解得，所以，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3；（2）∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴點(diǎn)D為AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)△BCD的周長(zhǎng)最小，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得，所以，直線AC的解析式為y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，當(dāng)x=2時(shí)，y=2﹣1=1，∴拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)D（2，1），使△BCD的周長(zhǎng)最??；（3）如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)E與直線AC平行線的直線為y=x+m，聯(lián)立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣時(shí)，點(diǎn)E到AC的距離最大，△ACE的面積最大，此時(shí)x=，y=﹣=﹣，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，﹣），設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線與x軸交點(diǎn)為F，則F（，0），∴AF=﹣1=，∵直線AC的解析式為y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴點(diǎn)F到AC的距離為×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面積=×3×=，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，利用平行線確定點(diǎn)到直線的最大距離問(wèn)題．9．（2013?湘西州）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．（1）求拋物線的解析式及它的對(duì)稱軸方程；（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說(shuō)明理由；（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對(duì)稱軸方程；（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0，可求出點(diǎn)B坐標(biāo)．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；（3）根據(jù)，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本問(wèn)為存在型問(wèn)題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計(jì)算，避免漏解．解答：解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴對(duì)稱軸方程為：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直線BC的解析式為：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC與△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=3，可設(shè)點(diǎn)Q（3，t），則可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）當(dāng)AQ=CQ時(shí)，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）當(dāng)AC=AQ時(shí)，有=，t2=﹣5，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；iii）當(dāng)AC=CQ時(shí)，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．綜上所述，存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（4）問(wèn)，符合條件的等腰三角形△ACQ可能有多種情形，需要分類討論．10．（2013?湘潭）如圖，在坐標(biāo)系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），拋物線y=x2+bx﹣2的圖象過(guò)C點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）平移該拋物線的對(duì)稱軸所在直線l．當(dāng)l移動(dòng)到何處時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分？（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：如解答圖所示：（1）首先構(gòu)造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用點(diǎn)C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式；（2）首先求出直線BC與AC的解析式，設(shè)直線l與BC、AC交于點(diǎn)E、F，則可求出EF的表達(dá)式；根據(jù)S△CEF=S△ABC，列出方程求出直線l的解析式；（3）首先作出?PACB，然后證明點(diǎn)P在拋物線上即可．解答：解：（1）如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB與△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵點(diǎn)C（3，1）在拋物線y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，∴y=﹣x+2．同理求得直線AC的解析式為：y=x﹣．如答圖1所示，設(shè)直線l與BC、AC分別交于點(diǎn)E、F，則EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，EF邊上的高h(yuǎn)=OD﹣x=3﹣x．由題意得：S△CEF=S△ABC，即：EF?h=S△ABC，∴（﹣x）?（3﹣x）=×，整理得：（3﹣x）2=3，解得x=3﹣或x=3+（不合題意，舍去），∴當(dāng)直線l解析式為x=3﹣時(shí)，恰好將△ABC的面積分為相等的兩部分．（3）存在．如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥y軸于點(diǎn)G，則CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．過(guò)點(diǎn)A作AP∥BC，且AP=BC，連接BP，則四邊形PACB為平行四邊形．過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，則易證△PAH≌△BCG，∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．拋物線解析式為：y=x2﹣x﹣2，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=1，即點(diǎn)P在拋物線上．∴存在符合條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，1）．點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、全等三角形、平行四邊形、等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．試題難度不大，但需要仔細(xì)分析，認(rèn)真計(jì)算．11．（2013?遂寧）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（2，0），交y軸于點(diǎn)B（0，）．直線y=kx過(guò)點(diǎn)A與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是D．（1）求拋物線y=x2+bx+c與直線y=kx的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P是直線AD上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AD于點(diǎn)M，作DE⊥y軸于點(diǎn)E．探究：是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，作PN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）將A，B兩點(diǎn)分別代入y=x2+bx+c進(jìn)而求出解析式即可；（2）首先假設(shè)出P，M點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出PM的長(zhǎng)，將兩函數(shù)聯(lián)立得出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出CE的長(zhǎng)，利用平行四邊形的性質(zhì)得出PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出DC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)△PMN∽△CDE，得出兩三角形周長(zhǎng)之比，求出l與x的函數(shù)關(guān)系，再利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．解答：解：（1）∵y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和B（0，）∴由此得，解得．∴拋物線的解析式是y=x2﹣x+，∵直線y=kx﹣經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）∴2k﹣=0，解得：k=，∴直線的解析式是y=x﹣，（2）設(shè)P的坐標(biāo)是（x，x2﹣x+），則M的坐標(biāo)是（x，x﹣）∴PM=（x2﹣x+）﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，解方程得：，，∵點(diǎn)D在第三象限，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣8，﹣7），由y=x﹣得點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，﹣），∴CE=﹣﹣（﹣7）=6，由于PM∥y軸，要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM=CE，即﹣x2﹣x+4=6解這個(gè)方程得：x1=﹣2，x2=﹣4，符合﹣8＜x＜2，當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3，當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=，因此，直線AD上方的拋物線上存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PMEC是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣2，3）和（﹣4，）；（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6由勾股定理得：DC=∴△CDE的周長(zhǎng)是24，∵PM∥y軸，∵∠PMN=∠DCE，∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE，∴=，即=，化簡(jiǎn)整理得：l與x的函數(shù)關(guān)系式是：l=﹣x2﹣x+，l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，∵﹣＜0，∴l(xiāng)有最大值，當(dāng)x=﹣3時(shí)，l的最大值是15．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和函數(shù)交點(diǎn)求法以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出PM=CE進(jìn)而得出等式是解題關(guān)鍵．12．（2013?曲靖）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線為y=﹣x2+bx+c．點(diǎn)D為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作CD⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式．（2）當(dāng)DE=4時(shí)，求四邊形CAEB的面積．（3）連接BE，是否存在點(diǎn)D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，0）（m＜0），根據(jù)已知條件求出點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，8+m）；由于點(diǎn)E在拋物線上，則可以列出方程求出m的值．在計(jì)算四邊形CAEB面積時(shí)，利用S四邊形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO，可以簡(jiǎn)化計(jì)算；（3）由于△ACD為等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，則△DBE必為等腰直角三角形．分兩種情況討論，要點(diǎn)是求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由于點(diǎn)E在拋物線上，則可以由此列出方程求出未知數(shù)．解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵點(diǎn)A（﹣4，0），B（0，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，∴，解得：b=﹣3，c=4，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4．（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，0）（m＜0），則OC=﹣m，AC=4+m．∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（m，8+m）．∵點(diǎn)E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上，∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m=﹣2．∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，S四邊形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12．（3）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m，0）（m＜0），則OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，則D（m，4+m）．∵△ACD為等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必為等腰直角三角形．i）若∠BED=90°，則BE=DE，∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m，∴CE=4+m﹣m=4，∴E（m，4）．∵點(diǎn)E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上，∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD=90°，則BE=BD=﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，∴CE=4+m﹣2m=4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵點(diǎn)E在拋物線y=﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合題意，舍去）或m=﹣2，∴D（﹣2，2）．綜上所述，存在點(diǎn)D，使得△DBE和△DAC相似，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，1）或（﹣2，2）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰直角三角形、圖象面積計(jì)算等重要知識(shí)點(diǎn)．第（3）問(wèn)需要分類討論，這是本題的難點(diǎn)．13．（2013?黔西南州）如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）P是拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）由于拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等，可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析