江蘇省江陰初級中學2024屆高二數學第一學期期末質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的一個方向向量為，則它的斜率為（）A. B.C. D.2．若數列等差數列，a1=1，，則a5=（）A. B.C. D.3．已知集合，從集合A中任取一點P，則點P滿足約束條件的概率為（）A. B.C. D.4．已知點，是橢圓：的左、右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，且，則的離心率為（）A. B.C. D.5．已知數列滿足：，數列的前n項和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知平面向量，且，向量滿足，則的最小值為（）A. B.C. D.7．點到直線的距離為A.1 B.2C.3 D.48．已知等差數列的前項和為，若，則（）A B.C. D.9．雙曲線的光學性質為：如圖①，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經雙曲線上的點和點反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知雙曲線離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C. D.12．下列說法中正確的是A.命題“若，則”的逆命題為真命題B.若為假命題，則均為假命題C.若為假命題，則為真命題D.命題“若兩個平面向量滿足，則不共線”的否命題是真命題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在四面體中，BA，BC，BD兩兩垂直，，，則二面角的大小為______14．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲、乙兩人下成和棋的概率為___________.15．已知橢圓的左、右焦點分別為、，關于原點對稱的點A、B在橢圓上，且滿足，若令且，則該橢圓離心率的取值范圍為___________16．已知雙曲線，則圓的圓心C到雙曲線漸近線的距離為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某電腦公司為調查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機抽取200名用戶，根據不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據上表，試估計樣本的中位數、平均數（同一組數據以該組區(qū)間的中點值為代表，結果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內的用戶中進行分層抽樣，抽取6人，再從中隨機選取2人贈送小禮品，求恰有1人在內的概率18．（12分）一個盒中裝有編號分別為、、、的四個形狀大小完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，列出所有的基本事件，并求取出的球的編號之和大于的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號，將球放回，再從盒中任取一球，記下該球的編號，列出所有的基本事件，并求的概率.19．（12分）已知數列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.20．（12分）已知函數（1）討論函數的單調性；（2）證明：對任意正整數n，21．（12分）若數列的前n項和滿足，（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和22．（10分）在四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積V；（2）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據的方向向量求得斜率.【詳解】且是直線的方向向量，.故選：A2、B【解析】令、可得等差數列的首項和第三項，即可求出第五項，從而求出.【詳解】令得，令得，所以數列的公差為，所以，解得，故選：B.3、C【解析】根據圓的性質，結合兩條直線的位置關系、幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】，圓心坐標為，半徑為，直線互相垂直，且交點為，由圓的性質可知：點P滿足約束條件的概率為，故選：C4、D【解析】設，先求出點，得，化簡即得解【詳解】由題意可知橢圓的焦點在軸上，如圖所示，設，則，∵為等腰三角形，且，∴.過作垂直軸于點，則，∴，，即點.∵點在過點且斜率為的直線上，∴，解得，∴.故選：D【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出橢圓的代入離心率的公式即得解）；（2）方程法（通過已知找到關于離心率的方程解方程即得解）.5、D【解析】由于，所以利用裂項相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】，故，故恒成立等價于，即恒成立，化簡得到，因為，當且僅當，即時取等號，所以故選：D6、B【解析】由題設可得，又，易知，，將問題轉化為平面點線距離關系：向量的終點為圓心，1為半徑的圓上的點到向量所在射線的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問題轉化為求在圓上的哪一點時，使最小，又，∴當且僅當三點共線且時，最小為.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：由已知確定，，構成等邊三角形，即可將問題轉化為圓上動點到射線的距離最短問題.7、B【解析】直接利用點到直線的距離公式得到答案.【詳解】，答案為B【點睛】本題考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.8、B【解析】利用等差數列的性質可求得的值，再結合等差數列求和公式以及等差中項的性質可求得的值.【詳解】由等差數列的性質可得，則，故.故選：B.9、C【解析】連接，已知條件為，，設，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應用勾股定理得出的關系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因為，故解得，則，在中，，即，所以故選：C10、C【解析】根據雙曲線的定義求得，利用可得離心率范圍【詳解】因為，又，所以，，又，即，，所以離心率故選：C11、C【解析】運用點差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經檢驗滿足題意故選：C12、D【解析】A中，利用四種命題的的真假判斷即可；B、C中，命題“”為假命題時，、至少有一個為假命題；D中，寫出該命題的否命題，再判斷它的真假性【詳解】對于A，命題“若，則”的逆命題是：若，則；因為也成立.所以A不正確；對于B，命題“”為假命題時，、至少有一個為假命題，所以B錯誤；C錯誤；對于D，“平面向量滿足”，則不共線的否命題是，若“平面向量滿足”，則共線；由知：，一定有，，所以共線，D正確.故選：D.【點睛】本題考查了命題的真假性判斷問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】取的中點為，連接，由面面角的定義得出二面角的平面角為，再結合等腰直角三角形的性質得出二面角的大小.【詳解】取的中點為，連接，因為，所以二面角的平面角為，因為，，所以為等腰直角三角形，即二面角的大小為.故答案為：14、##【解析】直接根據概率和為1計算得到答案.【詳解】.故答案為：.15、【解析】由得為矩形，則，故，結合正弦函數即可求得范圍【詳解】由已知可得，且四邊形為矩形所以，又因為，所以得離心率因為，所以，可得，從而故答案為：16、2【解析】求出圓心和雙曲線的漸近線方程，即得解.【詳解】解：由題得圓的圓心為，雙曲線的漸近線方程為，即.所以圓心到雙曲線漸近線的距離為.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）中位數為38.6，平均數為38.5歲；（2）.【解析】（1）由中位數分數據兩邊的頻率相等，列方程求中位數；根據各組數據的中點數乘以頻率即可得平均數；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機選取2人的所有組合，得到恰有1人在的組合數，即可求概率.【詳解】（1）中位數在中，設為，則，解得.平均數為歲.所以樣本的中位數約為38.6，平均數為38.5歲.（2）根據分層抽樣法，其中位于中的有4人，記為，，，；位于中的有2人，記為，.從6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，恰有1人在內的有，，，，，，，，共8種情況，∴恰有1人在內的概率為.【點睛】關鍵點點睛：由中位數的性質以及平均數與各組數據中點值、頻率的關系求中位數、平均數；根據分層抽樣確定各組選取人數，利用列舉法求概率.18、（1）基本事件答案見解析，概率為；（2）基本事件答案見解析，概率為.【解析】（1）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“取出的球的編號之和大于”所包含的基本事件數，利用古典概型的概率公式可求得結果；（2）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“”所包含的基本事件數，利用古典概型的概率公式可求得結果.【詳解】（1）記“從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于”為事件，樣本點表示“從盒中取出、號球”，且和表示相同的樣本點（以此類推），則樣本空間為，則，根據古典概型可知，從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于的概率為；（2）記“”為事件，樣本點表示第一次取出號球，將球放回，從盒中取出號球（以此類推），則樣本空間，則，所以，故事件“”的概率為.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用，結合已知條件，即可容易求得通項公式；（2）根據（1）中所求，對數列進行裂項求和，即可求得.【小問1詳解】當時，.當時，，因為當時，，所以.【小問2詳解】因為，所以，故數列的前項和.20、（1）見解析（2）見解析【解析】(1)由，令，得，或，又的定義域為，討論兩個根及的大小關系，即可判定函數的單調性；(2)當時，在，上遞減，則，即，由此能夠證明【小問1詳解】的定義域為，，令，得，或，①當，即時，若，則，遞增；若，則，遞減；②當，即時，若，則，遞減；若，則，遞增；若，則，遞減；綜上所述，當－2＜a＜0時，f(x)在，單調遞減，在單調遞增；當a≥0時，f(x)在單調遞增，在單調遞減.【小問2詳解】由(2)知當時，在，上遞減，，即，，，，2，3，，，，【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，本題的關鍵是令a＝1，用已知函數的單調性構造，再令x＝恰當地利用對數求和進行解題21、（1）（2）【解析】（1）根據遞推關系結合等比數列的定義可求解；（2）根