乘方第一章

有理數第1課時有理數的乘方情境導入

中國古代文人墨客的筆下充滿了有意境的詩句.如陶淵明曾寫到“勤學如春起之苗，不見其增，日由所長；輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧”怎樣用數學的語言來描述這句詩句呢？知識點：乘方探究新知問題1：(1)完成下列填空，并說一說這兩個式子有什么相同點？2cm2cmS正

=_________=____()V正

=_________=____()2×22×2×2cm2cm348都是相同因數的乘法(2)這兩個過程有什么簡單的寫法嗎？(類比單位的寫法)S正

=__________=__________=4(cm2

)V正

=_________=__________=8(cm3)

2×22×2×222平方厘米立方厘米232的平方2的二次方2的立方2的三次方(3)這種寫法讀作什么呢？類比類比活動探究1次2次20次

請同學們把一張長方形的紙多次對折，所產生的紙的層數和對折的次數有關系嗎？做一做如果對折

n次，那么紙的層數是___，讀作__________.2n對折次數1次2次3次4次5次…紙的層數…表示為

…記作22×2×22×2×2×22×22×2×2×2×22223242522的

n次方2481632(2)記作________，讀作_______________.問題2：類比以上研究，完成下列填空.合作探究(1)(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)記作________，讀作_____________；(-2)4-2的四次方根據問題1、問題2你能總結出什么規(guī)律？的五次方(-2)4與

-24一樣嗎？為什么？定義總結

一般地，n個相同的因數

a相乘，即

，

記作_____，讀作___________.a的

n次方n個a·a·…

·aan

表示n個

a相乘n個a·a·…

·a=an求

n個相同因數的積的運算叫做乘方，乘方的結果叫冪.冪_____運算：乘方a的

n次方冪定義總結冪指數因數的個數底數因數n個an

=a·a·…

·a

注意

一個數可以看作是這個數本身的一次方，例如2就是

21，指數1通常省略不寫.填一填(1)(－5)2的底數是_____，指數是_____，(－5)2表示2個_____相乘，讀作_____的2次方，也讀作

－5的_____________.(2)表示

個

相乘，讀作

的

次方，也讀作的

次冪，其中

叫做

，6叫做

.－52－5－52次冪或平方666底數指數解：(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64.(2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16.例1計算：(1)(－4)3；(2)(－2)4；

(3)

．典例精析探究一：從例1，你發(fā)現負數的冪的正負有什么規(guī)律嗎？負數的冪指數結果冪的正負(－4)3

(－2)4合作探究3-64負負正4316方法歸納

當指數是________數時，負數的冪是_______數；

當指數是________數時，負數的冪是_______數.正數或0的任何正整數次冪的正負有什么規(guī)律嗎？奇偶負正1.負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；2.正數的任何正整數次冪都是正數，

0的任何正整數次冪都是0.根據有理數的乘法法則可以得出：歸納總結練一練2.填空：(1)-(-3)2=

；

(2)-32=

；(3)(-5)3=

；

3=

；(5)(-1)9=

；

(6)(-1)12=

；-9-9-125-11典例精析例2

用計算器計算

(-8)5和(-3)6.解：用帶符號鍵的計算器.(-)=)(-)(＜85顯示：(-8)5＜-32768.=)(-)(＜36顯示：(-3)6＜729.所以(-8)5=-32768，(-3)6=729.

回顧導入

365≈________；如果我們把1看成每天應完成的學習量，

365≈________；

1.01

表示比前一天少做了一點、少學了一點兒.一年

365

天，1

的

365

次方還是1；1.01

的

365

次方約為

37.8，遠大于1；

的

365

次方約為

0.03，遠小于1.當堂小結一般地，n個相同的因數a相乘，即

乘方符號規(guī)律負數的奇次冪是______，負數的偶次冪是_______，正數的任何正整數次冪都是______，0的任何正整數次冪都是_____求

n個相同因數的___的運算叫做乘方，乘方的結果叫____；在

an中，a叫做____，n叫做______n個a·a·…

·a記作：__________讀作：_____________負數正數正數0積冪底數指數a的

n次方an

當堂練習1.

下列各組運算中，結果相等的是(

)A.-32與

-23

B.-23與(-2)3C.-32與(-3)2D.(-3×2)2與

-3×22B2.

如果一個數的

15

次冪是負數，那么這個數的

2

023次冪是_________.(填“正數”“負數”或“0”)負數3.

填表：底數－1210指數354冪的形式(－2)40.34(－1)325－2441044.厚度是0.1毫米的足夠大的紙，將它對折1次后，厚度為0.2毫米.(1)對折3次后，厚度為多少毫米?(2)對折7次后，厚度為多少毫米?(3)利用計算器計算：對折30次后，厚度為多少米？是否超過珠峰的高度（8848.86米）？答案：(1)0.8毫米.(2)12.8毫米.(3)107374.1824米，超過了珠峰的高度.乘方第一章

有理數第2課時有理數的乘方新知一覽正數和負數有理數有理數有理數有理數的加減法有理數的加法有理數的乘法數軸有理數的乘方有理數的除法有理數的減法有理數的乘除法相反數絕對值有理數的乘方科學記數法近似數新課導入活動探究中的每個“□”內，填入＋，－，×，÷中的某一個(可重復使用)，然后計算結果.

有個寫運算符號的游戲：在“4□50□2□

-1”2探究新知知識點1：有理數的混合運算小翼同學思考：上述式子包含了哪些運算？我的結果是.但是怎么計算呢？

加除

乘方

乘

減運算結果和商

冪

積

差第一級運算

第二級運算

第三級運算

運算順序：高級到低級，同級從左到右.

算一算！自主探究＝4+1－1

＝4

添加括號結果還是一樣的嗎？歸納總結做有理數的混合運算時，應注意以下運算順序：3.如有括號，先做括號內的運算，按小括號、

中括號、大括號依次進行.2.同級運算，從左到右進行；1.先乘方，再乘除，最后加減；典例精析例1

計算：(1)2×(－3)3－4×(－3)＋15；

(2)2×(－2)3＋(－3)×[(－4)2＋2]－(－3)2÷(－2)；

解：原式＝2×(－9)－4×(－3)＋15＝

－18＋12＋15＝

9.

解：原式＝2×(－8)＋(－3)×18＋4.5＝－16－54＋4.5＝－65.5.練一練1.計算：(1)(南寧期末)23÷(－4)＋(－4＋5)×3；解：原式＝8÷(－4)＋3＝－2＋3＝1.(2)(貴港統考)解：原式＝知識點2：數字規(guī)律探究例2

觀察下面三行數：

-2，4，-8，16，-32，64，···；①

0，6，-6，18，-30，66，···；

②

-1，2，-4，8，-16，32，···.③(1)第

①

行數按什么規(guī)律排列？絕對值符號×22223242526

(-2)1，(-2)2，(-2)3，(-2)4，(-2)5，(-2)6，···

(-2)1

(-2)5

(-2)3-24-816-3264···2481632642

(-2)2

(-2)4

(-2)6-2-23-25×2×2×2×2第①行數：(2)第②③行數與第①行數分別有什么關系？

-2，

4，

-8，

16，

-32，

64，···；①

0，6，

-6，

18，

-30，

66，···；②＋2＋2＋2先看①②都含正數的一列，然后驗證剩余列.＋2＋2＋2(-2)1＋2，(-2)2＋2，(-2)3＋2，(-2)4＋2，(-2)5＋2，(-2)6＋2，···

-2，

4，

-8，

16，

-32，

64，···；①

-1，

2，

-4，

8，

-16，32，···③÷2÷2÷2÷2÷2÷2

-2÷2，(-2)2÷2，(-2)3÷2，(-2)4÷2，···.(3)取每行的第10個數，計算這三個數的和.解：每行數中的第10個數的和是(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10÷2=1024

+(1024+2)+1024÷2=1024

+1026+512

=2562.觀察下列各式：

猜想：若

n是正整數，那么練一練1＝21－1，

1＋

2＝22－1，

1＋

2＋22

＝23－1，

1＋2＋22＋23＋···＋263＝_________.

264－11＋2＋22＋···＋2n＝_________.

2n+1－1當堂小結回顧有理數運算的相關內容，完成框圖.如有括號運算，先做___________，按_______，_______，_______依次進行先_________，再_______，最后_________同級運算，從____到____依次進行有理數混合運算左乘方乘除右括號內運算小括號加減中括號大括號當堂練習1.計算：解法一：解：原式=

解法二：解：原式=討論交流：你認為哪種方法更好呢？=-11.=-6+(-5)

=-11.2.閱讀以下材料.

例題：計算

解：原式的倒數是

＝－12＋16－18＋20＝6.所以請你模仿上述解法，完成如下計算：解：原式的倒數是

＝－20＋32－35＋38＝15.所以

科學記數法第一章有理數有理數的乘方新知一覽正數和負數有理數有理數有理數有理數的加減法有理數的加法有理數的乘法數軸有理數的乘方有理數的除法有理數的減法有理數的乘除法相反數絕對值有理數的乘方科學記數法近似數新課導入

有一個故事，說的是一個財主的孩子不愛學習，財主把他送到學堂，說學會記帳就行了，于是老師只教他寫數字，第一天教個“一”，第二天是“二”，第三天是“三”.第四天這個孩子不上學了，財主問他兒子怎么不去了，他兒子說他學會了.于是財主叫他記帳，第一天就忙壞他了，因為兩個欠帳人的名字是“千百萬”和“萬百千”，于是那個孩子就用梳子按著寫.生活中你還見過哪些大數呢？太陽半徑約

696000(km)，

光速約

300000000(m/s)，世界人口

8000000000(人).有簡單的表示方法嗎？

隨著對大數的認識的不斷發(fā)展，人們也開始發(fā)明了大數的表示方法.我國古代數字的寫法中，從

1

~

4

的單位數，起初是積累的，如一、二、三、四(亖)，4以上的寫法便不同.后來

4

的寫法也改變了，不再用積累的方法來表示.大數表示法的發(fā)展史數學故事

在敦煌石窟所刻的算經中發(fā)現以下這段文字“凡數不過十，名不過萬，萬萬即夠.一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、萬萬(萬萬曰億)、一億、十億、百億、千億、萬億、百萬億、千萬億、萬萬億(萬萬億曰兆)……萬萬兆(萬萬兆曰京)……萬萬京(萬萬京曰該)”.該后面的大數怎么表示呢？探究新知知識點1：用科學記數法表示數

合作探究問題1：下列用冪的形式表示的數，原來分別是什么數？

102=____，103=_______，104=_______，105=_______，100100010000100000108

=____________，10000000010n

=______________.1000···0(n

個0)問題2：把下列各數寫成10的冪的形式.

合作探究1000

=____，1000000

=_____，10000000

=_____，1000···0(n

個0)

=_______.10310n106(2)等號左邊整數的位數與右邊10的指數有什么關系？探究：(1)等號左邊整數中0的個數與右邊10的指數有什么關系？107合作探究1000100000010000001000···0(n

個0)

0的個數位數10的冪形式的指數367n478n+1367n方法歸納(1)10···0=

10n，n

恰好是1后面0的個數.(2)10···0=10n

，n

比運算結果的總位數少1.n

個0(n+1)位想一想：利用10的乘方的表示一些大數，例如：567000000=×100000000=5.67×108.讀作

“5.67乘10的8次方(冪)”定義總結

把一個大于

10

的數表示成

a×10n

的形式(其中

a

大于或等于1且小于10，n

是正整數)，使用的是科學記數法.科學記數法：

回顧導入如何用科學記數法來表示數：

696000

小數點原來的位置小數點最后的位置小數向左移動了5次

×105

方法一：小數點往左移動幾位，則10的指數就是幾；方法二：10的指數是原數整數位數減1，即若原數是

n位整數，則10的指數為_______.n-

1-567000000=

×100000000=

.想一想對于小于

-10的數能否用類似的科學記數法表示？若能怎么表示？-5.67×108-光速約

300000000(m/s)，世界人口

8000000000(人).利用上述方法用科學記數法來表示下列數：3×1088×109例1

用科學記數法表示下列各數：1000000，57000000，-123000000000.解：1000000=1×106，

57000000=5.7×107，

-123000000000=-1.23×1011.典例精析練一練1.(徐州中考)“五一”假期我市共接待游客約

4370000人次，將

4370000

用科學記數法表示為__________.×1062.

(湖南中考)據共青團中央

2023

年

5

月

3

日發(fā)布的中國共青團團內統計公報，截至

2022

年

12

月底，全國共有共青團員

7358

萬，數據

7358

萬用科學記數法表示為(

)×107

×103

C.7358×104

×106

A知識點2：還原用科學記數法表示的數例2

下列用科學記數法表示的數，原數是什么？(1)中國首次進行載人航天飛行，神舟五號飛船繞地球飛行了14圈，行程約為

6×105千米；分析：指數是5

6×105原數位數是6位

6×105=600000

(2)一套《辭?！反蠹s有

1.7×107個字；(3)人體中約有

2.5×1013個紅細胞.(2)1.7×107=17000000.(3)2.5×1013

=25000000000000.總結

反過來，如果用科學記數法表示的數

10

的指數是

n，那么原數有

n+1位整數位.練一練3.

一個整數

815550···0

用科學記數法表示

8.1555×1010，則原數中“0”的個數為______個.4.

用科學記數法表示的數

-×104

則它的原數是(

)A.0.000196B.-1960

C.196000D.-196006D當堂小結一個絕對值大于10的數都可記成

a×10n的形式，其中

a的取值范圍1≤a＜10

.

n等于原數整數位數減1.這種記數方法叫做科學記數法科學記數法概念應用表示絕對值大于10的數根據科學記數法寫原數n等于整數位數減1原數整數位數等于指數

n加1當堂練習1.用科學記數法表示下列各數．8000056000000740000040008500000704000396002.下列用科學記數法表示的數，原來各是什么數？4×1038.5×1067.04×1053.96×1048×104×107×1063.太平洋最深處是馬里亞納海溝，它的深度是海平面以下11034米，記為

－11034米，用科學記數法表示為(

)A．1.1×104米

B．1.1034×104米C．－11.034×104米D．－1.1034×104米D4.在以下各數中，最大的數為()A.7.2×105B.2.5×106C.9.9×105D.1×107D5．已知光的傳播速度為300000000m/s，太陽光到達地球的時間大約是500s，試計算太陽與地球的距離大約是多少千米．(結果用科學記數法表示)答案：大約是1.5×108km.近似數第一章

有理數有理數的乘方新知一覽正數和負數有理數有理數有理數有理數的加減法有理數的加法有理數的乘法數軸有理數的乘方有理數的除法有理數的減法有理數的乘除法相反數絕對值有理數的乘方科學記數法近似數混合運算新課導入

對于參加同一個會議的人數，有兩個報道.會議秘書處宣布，參加今天會議的有513人約有五百人參加了今天的會議想一想：這兩個報道中的數據有什么區(qū)別？探究新知知識點1：準確數與近似數報道1：參加今天會議的有513人.報道2：約有五百人參加了今天的會議.數字513確切地反映了實際人數，它是一個準確數.五百這個數只是接近實際人數，但是與實際人數還有差別，它是一個近似數.動手試驗(1)我們班有

名學生，其中：男生

名，女生

名.

(2)《數學》教科書的長約為

厘米

.

想一想：在上面的數據中，哪些數是準確數？哪些數是近似數呢？

做一做想一想問題：什么樣的數是近似數？你能舉例說明嗎？

有時我們得不到與實際完全相符的數，而是通過測量、估算得到的，這些數都是近似數.例如：(1)我國的領土面積約為960萬多平方千米；(2)長江長約6300km；(3)圓周率π約為3.14.練一練

1.判斷下列各數，哪些是近似數，哪些是準確數.(1)某歌星在體育館舉辦音樂會，大約有一萬二千人參加；()(2)檢查一雙沒洗過的手，發(fā)現約有各種細菌800000萬個；()(3)小明家里養(yǎng)了5只雞；()(4)根據第七次人口普查結果，全國總人口數估計是

14.12億.()近似數近似數近似數準確數知識點2：按要求取近似值(1)報道2中五百人是精確到了什么位的近似數？想一想精確度——近似數與準確數的接近程度可以用精確度表示.

利用四舍五入法得到的近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位．(1)報道2中五百人是精確到了什么位的近似數？想一想500精確到百位的近似數與準確數513的誤差為13.(2)前面測量課本的長度是精確到了什么位的近似數？歸納總結π≈3(精確到個位)，π≈(精確到

，或叫做精確到十分位)，π≈(精確到

，或叫精確到百分位)，π≈2(精確到

，或叫做精確到千分位

)，π≈(精確到

，或叫做精確到萬分位)，……按四舍五入法對圓周率

π

取近似數，有典例精析例1按括號內的要求，用四舍五入法對下列各數取近似數：對8四舍五入對3四舍五入(1)0.0158(精確到0.001)；(2)304.35(精確到個位)；解：(1)0.0158

≈0.016.(2)