數(shù)字信號處理

(DigitalSignalProcessing)

IIR數(shù)字濾波器設(shè)計的基本思想模擬低通濾波器設(shè)計模擬域頻率變換脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法利用MATLAB設(shè)計IIRDFIIR數(shù)字濾波器的設(shè)計

問題的提出雙線性變換法的基本原理雙線性變換法設(shè)計DF的步驟雙線性變換法問題的提出如何將模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器?1.脈沖響應(yīng)不變法2.雙線性變換法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)頻率變換設(shè)計模擬濾波器AF到DF的轉(zhuǎn)換變換原理

脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因為從S平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-π/T～π/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如下圖所示。雙線性變換法的基本原理圖

雙線性變換的映射關(guān)系

第一次變換：頻率壓縮第二次變換：數(shù)字化雙線性變換法的映射規(guī)則：

（1）頻率壓縮：把整個S平面壓縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶里。

（2）數(shù)字化：將S1平面通過標準變換關(guān)系

變換到z平面。（1）頻率壓縮把整個S平面壓縮變換到某一中介的S1平面的一條橫帶里。（2）數(shù)字化將S1平面通過標準變換關(guān)系變換到z平面。這時S平面與Z平面之間為單值映射關(guān)系，這種變換就稱為雙線性變換。變換常數(shù)c的選擇調(diào)節(jié)c，可使AF與DF在不同頻率點處有對應(yīng)的關(guān)系。（a）使AF與DF在低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系。在低頻處有雙線性變換法的基本原理s和z的關(guān)系為W和w

的關(guān)系為雙線性變換法的基本原理

穩(wěn)定性分析令s=

+j

，則有雙線性變換法的基本原理

穩(wěn)定性分析1)s<0,|z|<1S域左半平面映射到z域單位圓內(nèi)2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1S域虛軸映射到z域單位圓上S域右半平面映射到z域單位圓外因果、穩(wěn)定的AF系統(tǒng)映射為因果、穩(wěn)定的DF系統(tǒng)雙線性變換法的基本原理

W和w

的關(guān)系)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww雙線性變換法的基本原理

雙線性變換法的優(yōu)缺點

缺點：一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了;幅度響應(yīng)不是常數(shù)時會產(chǎn)生幅度失真。

優(yōu)點：無混疊雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個jΩ軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。由上圖看出，在零頻率附近，模擬角頻率ω與數(shù)字頻率Ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當ω進一步增加時，Ω增長得越來越慢，最后當ω→∞時，Ω終止在折疊頻率=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。

但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關(guān)系而得到的。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如下圖所示。圖雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射

例設(shè)計一個一階數(shù)字低通濾波器，3dB截止頻率為Ωc=0.25π，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。

解：數(shù)字低通濾波器的截止頻率為Ωc=0.25π，相應(yīng)的巴特沃思模擬濾波器的3dB截止頻率是ωc，就有模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為由上題可知，T不參與設(shè)計。將雙線性變換應(yīng)用于模擬濾波器，有雙線性變換法設(shè)計DF的步驟1.將數(shù)字濾波器的頻率指標{Wk}轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標{wk}2.由模擬濾波器的指標設(shè)計模擬濾波器的H(s)。3.利用雙線性變換法，將H(s)轉(zhuǎn)換H(z)。雙線性變換法設(shè)計DF的步驟Wp,Wswp,wsH(s)H(z)設(shè)計模擬濾波器雙線性變換[numd,dend]=bilinear(num,den,Fs)num,den：AF分子、分母多項式的系數(shù)向量Fs：抽樣頻率numd,dend：DF分子、分母多項式的系數(shù)向量利用MATLAB例：用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計一個3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF比較。解：設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T(1)

將DF的頻率指標轉(zhuǎn)換為AF的頻率指標(2)設(shè)計3dB截頻為wp的一階BW型模擬低通濾波器，即N=1,wc=wp故例：用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計一個3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF比較。解：設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T(3)用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器

結(jié)論：參數(shù)T的取值和最終的設(shè)計結(jié)果無關(guān)。為簡單起見，一般取T=2

例：用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計一個3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF比較。解：雙線性變換法設(shè)計的DF的系統(tǒng)函數(shù)為脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF的系統(tǒng)函數(shù)為取Wp=0.6p，令z=ejW，可分別獲得兩者的幅度響應(yīng)。例：用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計一個3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF比較。00.6100.71NormalizedfrequencyAmplitude脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法Wp=0.6p

脈沖響應(yīng)不變法存在頻譜混疊，所設(shè)計的DF不滿足給定指標。而雙線性變換法不存在頻譜混疊，所設(shè)計的DF滿足給定指標。

3dB例：用雙線性變換法和一階巴特沃思低通濾波器，設(shè)計一個3dB截頻為Wp的數(shù)字濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的DF比較。H雙(z)和H脈(z)幅度響應(yīng)比較的MATLAB實現(xiàn)Wp=0.6*pi;b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[11];a=[1-exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1];w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Amplitude');set(gca,'ytick',[00.71]);set(gca,'xtick',[0Wp/pi1]);grid;例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設(shè)計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(1)將數(shù)字低通指標轉(zhuǎn)換成模擬低通指標，取T=2Ap

2db,As

15db(2)設(shè)計模擬低通濾波器（BW型）=2=0.5851例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設(shè)計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(3)用雙線性變換法將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器

例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設(shè)計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determinetheorderofAFfilterandthe3-dBcutofffrequency[N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s')例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設(shè)計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%determinetheDFfilter[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));axis([01-500]);grid;xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,dB');puterApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設(shè)計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dBAp=0.3945As=15.0000例：利用AF-BWfilter及雙線性變換法設(shè)計一DF，滿足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB將雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法所設(shè)計DF的結(jié)果比較。雙線性變換Ap=0.3945As=15.0000脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變Ap=1.1187As=12.3628

設(shè)計IIR濾波器的頻率變換法

圖

模擬頻率變換兩種等效的設(shè)計方法(a)先模擬頻率變換，再數(shù)字化;(b)將(a)的兩步合成一步設(shè)計1、模擬頻率變換法的原理框圖2、數(shù)字頻率變換法的原理框圖圖

數(shù)字頻率變換法非低通IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計Wp,Wswp,wsH(z)w=W/T脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法H(s)模擬頻率變換設(shè)計原型低通濾波器復頻率變換

注意：脈沖響應(yīng)不變法不能設(shè)計高通和帶阻數(shù)字濾波器

方法一非低通IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計

方法二Wp,WsH(z)w=W/T脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法數(shù)字頻率變換設(shè)計原型低通濾波器z域變換例：試設(shè)計滿足下列指標的BW型數(shù)字帶阻濾波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:

脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計數(shù)字帶阻濾波器，因此采用雙線性變換法設(shè)計。

(1)將數(shù)字帶阻濾波器指標轉(zhuǎn)換成模擬帶阻濾波器指標

取T=2，利用得模擬帶阻指標為wp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap

1dB,As

10dB例：試設(shè)計滿足下列指標的BW型數(shù)字帶阻濾波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:(2)將模擬帶阻濾波器指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標

Ap

1dB,As

10dBwp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap

1dB,As

10dB模擬帶阻指標例：試設(shè)計滿足下列指標的BW型數(shù)字帶阻濾波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB。解:(3)設(shè)計原型BW型模擬低通濾波器Ap

1dB,As

10dB原型模擬低通指標原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

例：試設(shè)計滿足下列指標的BW型數(shù)字帶阻濾波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB解:(4)由復頻率變換將原型模擬低通轉(zhuǎn)換為模擬帶阻濾波器(5)由雙線性變換模擬帶阻濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶阻濾波器

利用MATLAB實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器

確定數(shù)字濾波器的階數(shù)及3dB截頻Wc[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As)

其中Wp,Ws為歸一化角頻率。

例Wp=0.1p,則Wp=0.1

若