PAGE1第十三章軸對稱13.3等腰三角形1等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；如下圖，在?ABC中，AB=AC，則∠B=∠C.（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡稱：三線合一）.①如下圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且BD=CD，則∠BAD=∠CAD，且AD⊥BC；②如下圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且∠BAD=∠CAD，則BD=CD，且AD⊥BC；③如下圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，且AD⊥BC，則∠BAD=∠CAD，且BD=CD.（均可用全等三角形證明）2等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等；（簡稱：等角對等邊）如下圖，在?ABC中，∠B=∠C，則AB=AC.（均用全等三角形證明）3等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形；（2）性質(zhì)：三個內(nèi)角都是60°，每條邊都存在三線合一.（3）判定：①三條邊相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.4含30°的直角三角形在直角三角形中，如果一個角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.如下圖，在Rt?ABC中，∠B=90°，∠A=30°，則證明在AC上取點D，使得CB=CD，又∵∠C=60°，∴?BCD是等邊三角形，∴∠DBC=60°，∴∠ABD=30°，又∵∠A=30°，∴AD=BD=BC，∴AC=AD+CD=BC+BC=2BC，即BC=1【題型1】等腰三角形（等邊三角形）的性質(zhì)【典題1】如圖，在△ABC中，D是BC上一點，AB＝AC＝BD．若∠B＝50°，則∠CAD的度數(shù)為()?A．10° B．15° C．20° D．25°解析∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C＝50°，∠ADB＝∠BAD，又∵2∠ADB＝180°﹣∠C＝130°，∴∠ADB＝65°，∴∠CAD＝65°﹣50°＝15°．故選：B．【典題2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，邊BC在x軸上，且點B(﹣1，0)，點A(2，4)，則△AOC的面積為()A．5 B．8 C．10 D．20解析如圖，過點A作AD⊥BC于點D，∵AB＝AC，∴BD=CD=1∵點A(2，4)，∴OD＝2，AD＝4，∵點B(﹣1，0)，∴OB＝1，∴BD＝1+2＝3＝CD，∴OC＝2+3＝5，∴△AOC的面積＝12OC?AD＝1故選：C．【鞏固練習】1.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠ACD的度數(shù)為()A．70° B．100° C．110° D．140°答案C解析∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠∵∠ACD是△ABC的一個外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故選：C．2.如圖，點D是△ABC的BC邊上一點，AB＝AD＝DC．若∠BAD＝80°，則∠C＝()?A．50° B．40° C．20° D．25°答案D解析∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，∵∠BAD＝80°，∴∠B＝50°＝∠ADB，∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠C＝12∠ADB故選：D．3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，直線DE，F(xiàn)G分別經(jīng)過點B，C，DE∥FG．若∠DBC＝45°，∠ACG＝10°，則∠ABE的度數(shù)為()A．100° B．105° C．110° D．115°答案A解析∵DE∥FG，∴∠BCG＝∠DBC＝45°，∵∠ACG＝10°，∴∠ACB＝45°﹣10°＝35°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝35°，又∵∠EBC＝180°﹣45°＝135°，∴∠ABE＝135°﹣35°＝100°，故選：A．4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，若∠BAD＝35°，則∠C＝()A．65° B．55° C．50° D．45°答案B解析在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴∠BAD＝∠CAD＝35°，∠B＝∠C，∴∠BAC＝2∠BAD＝2×35°＝70°，∴∠故選：B．5.如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于點E，交AB于點M且AE＝CE，以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交DE于點F，連接CF交AB于點G．若CG＝FG，則∠B的度數(shù)為()A．75° B．70° C．65° D．60°答案A解析連接AF，∵DE⊥AC，AE＝CE，∴AF＝CF，由題意可知CF＝CA，∴AF＝CF＝CA，∴△AFC是等邊三角形，∵CG＝FG，∴∠CAB＝12∠CAF∵AB＝AC，∴∠故選：A．6.如圖所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點D，交AC于F．(1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度數(shù)；(2)若點F是AC的中點，求證：∠CFD＝12∠B答案(1)50°(2)略解析(1)∵∠AFD＝155°，∴∠DFC＝25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC＝∠AED＝90°，在Rt△FDC中，∴∠C＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A＝65°，∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°．(2)連接BF∵AB＝BC，且點F是AC的中點，∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF＝12∠ABC∴∠CFD+∠BFD＝90°，∠CBF+∠BFD＝90°，∴∠CFD＝∠CBF，∴∠CFD＝12∠ABC【題型2】等腰三角形（等邊三角形）的判定【典題1】已知：在△ABC中，D為AC的中點，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E、F，且DE＝DF．求證：△ABC是等腰三角形．證明∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點E，F(xiàn)，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∵D為AC的中點，∴AD＝DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中&AD∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，∴∠A＝∠C，∴BA＝BC，∴△ABC是等腰三角形．【典題2】如圖，△ABC中，D為AC邊上一點，DE⊥AB于E，ED的延長線交BC的延長線于F，且CD＝CF．(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)當∠F＝度時，△ABC是等邊三角形？請證明你的結論．解析(1)證明：∵CD＝CF，∴∠F＝∠CDF，∵∠ADE＝∠CDF，∴∠F＝∠ADE，∵DE⊥AB，∴∠F+∠B＝90°，∠ADE+∠A＝90°，∴∠B＝∠A，∴△ABC是等腰三角形；(2)解：當∠F＝30度時，△ABC是等邊三角形，理由如下：∵DE⊥AB，∴∠B+∠F＝90°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，由(1)知△ABC是等腰三角形，∴△ABC是等邊三角形．故答案為：30．【鞏固練習】1.下列對△ABC的判新，不正確的是()A．若AB＝AC，∠C＝60°，則△ABC是等邊三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC是直角三角形 C．若∠A＝50°，∠B＝80°，則△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，則∠B＝40°答案D解析A、若AB＝AC，∠C＝60°，則△ABC是等邊三角形，說法正確，不符合題意；B、若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC是直角三角形，說法正確，不符合題意；C、若∠A＝50°，∠B＝80°，可得∠C＝50°，則△ABC是等腰三角形，說法正確，不符合題意；D、若AB＝BC，∠C＝40°，則∠A＝40°，說法錯誤，符合題意；故選：D．2.如圖，在格點中找一點C，使得△ABC是等腰三角形，且AB為其中的一條腰，這樣的點C一共有()A．3個 B．4個 C．5個 D．6個答案C解析如圖，點C的位置共有5個．故選：C．3.如圖，用圓規(guī)以直角頂點O為圓心，以適當半徑畫一條弧交直角兩邊于A，B兩點，若再以A為圓心，以OA為半徑畫弧，與弧AB交于點C，則△AOC的形狀為．答案等邊三角形解析∵以直角頂點O為圓心，以適當半徑畫一條弧交直角兩邊于A，B兩點，∴OA＝OC，∵以A為圓心，以OA為半徑畫弧，與弧AB交于點C，∴AC＝AO，∴OC＝AC＝OA，∴△AOC的形狀是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．4.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點，∠B＝30°，∠DAB＝45°．求證：△ADC是等腰三角形．證明∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵∠DAB＝45°，∴∠∵∠DAB＝45°，∠B＝30°∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴△ADC是等腰三角形．5.已知：如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC于點D，且DE＝DB，試判斷△CEB的形狀，并說明理由．答案等邊三角形解析△CEB是等邊三角形．證明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，BE⊥AC，∴∠CBE＝∠ABE＝60°．又∵DE＝DB，BE⊥AC，∴CB＝CE．∴△CEB是等邊三角形．6.如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠ABC＝90°，點E是AC的中點．(1)求證：△BED是等腰三角形；(2)當∠DAB＝°時，△BED是等邊三角形．答案(1)略(2)30解析(1)證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC的中點，∴DE=1∴DE＝BE，即△BED是等腰三角形；(2)解：∵DE＝BE＝AE，∴∠DAE＝∠ADE，∠EAB＝∠EBA，∴∠DEC＝2∠DAE，∠BEC＝2∠EAB，∴∠DEB＝2∠DAB，當∠DAB＝30°時，∠DEB＝60°，又∵BE＝DE，∴△BED是等邊三角形，故答案為：30．【題型3】含30°的直角三角形【典題1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝3，則AD的長度為()A．6 B．9 C．12 D．15解析∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣30°＝60°，∵∠CDB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，在Rt△CDB中，∠BCD＝30°，∴BC＝2BD＝6，在Rt△ACB中，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12，∴AD＝AB﹣BD＝12﹣3＝9，故選：B．【鞏固練習】1.5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會”在貴陽開幕，在“自動化立體庫”中有許多幾何元素，其中有一個等腰三角形模型(示意圖如圖所示)，它的頂角為120°，腰長為12m，則底邊上的高是()A．4m B．6m C．10m D．12m答案B解析如圖，作AD⊥BC于點D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠又∵AD⊥BC，∴AD=1故選：B．2.如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米 B．9米 C．12米 D．15米答案B解析如圖，根據(jù)題意BC＝3米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×3＝6米，∴3+6＝9米．故選：B．3.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，∠B＝30°，AB＝8，則AD＝()A．2 B．23 C．4 D．答案A解析∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB，∵∠B＝30°，∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，∵AB＝8，∴AB＝2AC＝8，∴AC＝2AD＝4，∴AD＝2．故選：A．4.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線交AC于點D，交AB于點E，若AC＝12，則AD的長是()A．6 B．8 C．32 D．答案B解析連接BD，如圖所示：∵DE是AB的垂直平分線，∴BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠CBD＝180°﹣90°﹣30°×2＝30°，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，∴CD∴AD∵AC＝12，∴AD故選：B．5.如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動(與A、C不重合)，Q是CB延長線上一動點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動(Q不與B重合)，連接PQ交AB于D．當∠BQD＝30°時，AP的長為．答案2解析∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°，設AP＝x，則PC＝6﹣x，QB＝x，∴QC＝QB+BC＝6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC=12QC，即6﹣x＝12(6+∴AP＝2．故答案為：2．6.如圖，早上8：00，一艘輪船以20海里/小時的速度由南向北航行，在A處測得小島P在北偏西15°方向上，到上午10：00，輪船在B處測得小島P在北偏西30°方向上，在小島P周圍18海里內(nèi)有暗礁，若輪船繼續(xù)向前航行，有無觸礁的危險？答案無觸礁的危險解析輪船繼續(xù)向前航行，無觸礁的危險．過點P作PDAC于D，依題意得AB＝2×20＝40(海里)，∠PAB＝15°，∠PBC＝30°，則∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°∴∠A＝∠APB＝15°∴PB＝AB＝40(海里)．在Rt△PBD中，∠PBD＝30°，∴PD＝12PB∴輪船繼續(xù)向前航行，無觸礁的危險．【A組基礎題】1.下列能確定△ABC為等腰三角形的是()A．∠A＝50°、∠B＝80° B．∠A＝42°、∠B＝48° C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4、BC＝5，周長為15答案A解析A、∵∠A＝50°、∠B＝80°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，∴∠A＝∠C，∴△ABC為等腰三角形；故本選項能確定△ABC為等腰三角形；B、∵∠A＝42°、∠B＝48°，∴∠∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；故本選項能確定△ABC不是等腰三角形；C、∵∠A＝2∠B＝70°，∴∠B＝35°，∴∠∴∠A≠∠B≠∠C，∴△ABC不是等腰三角形；故本選項能確定△ABC不是等腰三角形；D、∵AB＝4、BC＝5，周長為15，∴AC＝15﹣4﹣5＝6，∴AB≠BC≠AC，∴△ABC不是等腰三角形；故本選項能確定△ABC不是等腰三角形．故選：A．2.如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于點D．若∠A＝36°，則∠BDC＝()A．36° B．54° C．72° D．108°答案C解析∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．故選：C．3.如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上的中點，以A為圓心，AD為半徑畫弧，與AC邊交點為E，則∠ADE的度數(shù)為()A．60° B．105° C．75° D．15°答案C解析在等邊△ABC中，D為BC邊上的中點，∴∠DAC＝30°(三線合一)，在△ADE中，AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝12故選：C．4.下列推理中，不能判斷△ABC是等邊三角形的是()A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60° C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C答案D解析A、由“三個角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項不符合題意．B、由“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項不符合題意．C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，則由“三個角都相等的三角形是等邊三角形”可以判斷△ABC是等邊三角形，故本選項不符合題意．D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本選項符合題意．故選：D．5.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，下列結論不成立的是()A．∠BAC＝∠AFE B．∠EBC＝∠2 C．∠1＝∠2 D．∠AFE＝∠C答案A解析∵∠AFE是△ABF的外角，∴∠AFE＝∠1+∠ABF，無法得到∠ABF＝∠2，無法得到∠BAC＝∠AFE，故A錯誤，符合題意；∵AD⊥BC于D，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC，∵∠C＝∠C，∴∠EBC＝∠2，故B正確，不符合題意；∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，故C正確，不符合題意；在Rt△AEF中，∠AFE＝90°﹣∠2，在Rt△ADC中，∠C＝90°﹣∠2，∴∠AFE＝∠C，故D正確，不符合題意；故選：A．6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點，且∠BAD＝30°，若AD＝DE，∠DAE＝72°，則∠EDC的度數(shù)為．答案33°解析∵∠BAD＝30°，∠DAE＝72°，AB＝AC，∴∠∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝72°，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠AED﹣∠C＝72°﹣39°＝33°，故答案為：33°．7.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝12cm，則AB等于。答案8cm解析Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°；∴AB＝2BC；∴AB+BC＝3BC＝12cm，即BC＝4cm，AB＝2BC＝8cm．8.如圖，等邊三角形ABC的三個頂點都在坐標軸上，A(﹣1，0)，過點B作BD⊥AB，垂線BD交x軸于點D，則點D的坐標為．答案(3，0)解析∵A(﹣1，0)，∴OA＝1，∵△ABC是等邊三角形，OB⊥AC，∴OC＝OA＝1，∴AC＝BC＝2，∠ACB＝∠ABC＝60°，∵BD⊥AB，∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝30°，∴∠BDC＝∠ACB﹣∠DBC＝30°，∴∠BDC＝∠CBD，∴CD＝BC＝2，∴OD＝OC+CD＝3，∴點D的坐標(3，0)．故答案為：(3，0)．9.如圖，將含有30°角的直角三角尺ABC繞直角頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)到ADE的位置，使B點的對應點D落在BC邊上，連接EB，EC，則下列結論：①∠DAC＝∠DCA；②ED為AC的垂直平分線；③EB平分∠AED；④△ABD為等邊三角形．其中正確的是．(填序號)答案①②④解析在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴∠ABC＝60°，∵△ABC繞直角頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)到ADE的位置，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴△ABD為等邊三角形，∴∠BAD＝∠ADB＝60°，∴∠EAC＝∠BAD＝60°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝30°＝∠ACB，∴∠DAC＝∠DCA，所以①正確；∵AC＝AE，∠EAC＝60°，∴△AEC為等邊三角形，∴EA＝EC，而DA＝DC，∴ED為AC的垂直平分線，所以②正確；∴DE⊥AC，∵AB⊥AC，∴AB∥DE，∴∠ABE＝∠BED，∵AB≠AE，∴∠ABE≠∠AEB，∴∠AEB≠∠BED，∴EB平分∠AED不正確，故錯誤；所以③錯誤；在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴∠ABC＝60°，由旋轉(zhuǎn)知，AB＝AD∴△ABD為等邊三角形，故④正確；故答案為：①②④．10.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D，過點A作AE∥BC，交BD的延長線于點E．(1)求∠ADB的度數(shù)；(2)求證：△ADE是等腰三角形．答案(1)108°；(2)略解析(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝12∠ABC∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；(2)證明：∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝72°，∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∴∠∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴△ADE是等腰三角形．11.在邊長為9的等邊三角形ABC中，點Q是BC上一點，點P是AB上一動點，以每秒1個單位的速度從點A向點B移動，設運動時間為t秒．(1)如圖1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；(2)如圖2，若點P從點A向點B運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從點B經(jīng)點C向點A運動，當t為何值時，△APQ為等邊三角形？答案(1)3；(2)t＝6解析(1)如圖1，∵△ABC是等邊三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等邊三角形，∴BP＝BQ，由題意可知：AP＝t，則BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴當t的值為3時，PQ∥AC；(2)如圖2，①當點Q在邊BC上時，此時△APQ不可能為等邊三角形；②當點Q在邊AC上時，若△APQ為等邊三角形，則AP＝AQ，由題意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣(BC+CQ)＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴當t＝6時，△APQ為等邊三角形．【B組提高題】1.如圖，在△AA1B中，AB＝A1B，∠A＝50°；在A1B上任取一點B1，延長AA1到A2，使A1B1＝A1A2；在A2B1上任取一點B2，延長A1A2到A3，使A2B2＝A2A3；按此做法繼續(xù)下去，則∠A5A6B5的度數(shù)為答案65解析∵BA＝BA1，∠B＝50°，∴∠∵A1B1＝A1A2，∴∠A1A2B1＝∠A1B1A2，∵∠AA1B＝∠A1A2B1+∠A1B1A2，∴∠同法可得∠A2.