試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁北京市豐臺(tái)區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．3．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B．1C．2 D．34．已知平面向量滿足，，且，則（

）A．12 B．4C． D．25．在中，，則（

）A． B．C． D．6．?dāng)?shù)列滿足，則（

）A． B．C． D．7．設(shè)定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“時(shí)，導(dǎo)函數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的最大值為，則的值不可能為（

）A． B．C． D．9．分貝（）、奈培（）均可用來量化聲音的響度，其定義式分別為，，其中為待測(cè)值，為基準(zhǔn)值．如果，那么（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．8.686 B．4.343C．0.8686 D．0.11510．如圖，已知BD是圓O的直徑，AC是與BD垂直的弦，且AC與BD交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，直線交BC于點(diǎn)Q．當(dāng)取得最小值時(shí)，下列結(jié)論中一定成立的是（

）A． B．C． D．二、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)椋?2．已知平面向量，若與共線，則的值為．13．能說明命題“對(duì)于任意，”為假命題的一組整數(shù)的值依次為．（表示實(shí)數(shù)中的最大值）三、雙空題14．已知函數(shù)其中．（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）若函數(shù)的值域?yàn)?，存在?shí)數(shù)，則的取值范圍為．四、填空題15．已知數(shù)列滿足，則①當(dāng)時(shí)，存在，使得；②當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列，且恒成立；③存在，使得中既有最大值，又有最小值；④對(duì)任意的，存在，當(dāng)時(shí)，恒成立．其中，正確結(jié)論的序號(hào)有．五、問答題16．在中，，，．(1)求的面積；(2)求及的值．17．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，且，．(1)求和；(2)設(shè)，記，求．18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．19．設(shè)函數(shù)，從條件①、條件②、條件③?這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求在區(qū)間上的最小值．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；條件②：函數(shù)的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為；條件③：函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為．注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答給分．20．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值．六、證明題21．對(duì)于一個(gè)行列的數(shù)表，用表示數(shù)表中第行第列的數(shù)，其中，且數(shù)表滿足以下兩個(gè)條件：①；②，規(guī)定．(1)已知數(shù)表中，，．寫出，，的值；(2)若，其中表示數(shù)集中最大的數(shù)．規(guī)定．證明：；(3)證明：存在，對(duì)于任意，有．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【分析】化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算．【詳解】由，則，則.故選：D2．C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析即可得解.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A，指數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，函數(shù)是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，冪函數(shù)既是奇函數(shù)，又是定義域上的增函數(shù)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，正切函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)是增函數(shù)，在定義域上不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．D【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)，從而利用復(fù)數(shù)的幾何意義得到的不等式組，解之即可得解.【詳解】因?yàn)?，又所?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以，解得，所以ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.4．C【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積與模長(zhǎng)關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題意可知.故選：C5．D【分析】利用正弦定理與三角函數(shù)的和差公式推得，從而得解.【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋瑒t，所以，因?yàn)?，所?故選：D.6．C【分析】根據(jù)題意，列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，得到數(shù)列為周期數(shù)列，然后根據(jù)周期性求.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，，，，則是以4為周期的周期函數(shù)，所以，故選：C.7．B【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義判斷可得答案.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，如，時(shí)，單調(diào)遞增，充分性不成立，時(shí)，導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，必要性成立，則“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“時(shí)，導(dǎo)函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.8．D【分析】根據(jù)圖象的平移變換得到，然后根據(jù)和差公式和輔助角公式整理得到，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求的范圍即可.【詳解】由題意得，則，，因?yàn)椋?，所?故選：D.9．A【分析】結(jié)合題意得到，再利用換元法與換底公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，令，則，所以.故選：A.10．B【分析】作出輔助線，由極化恒等式得到當(dāng)最小時(shí)，取得最小值，取的中點(diǎn)，則，此時(shí)取得最小值，B正確，在結(jié)合中位線及圓中的性質(zhì)得到ACD錯(cuò)誤.【詳解】連接，則，兩式平方后相減可得，由于等于圓的半徑，為定值，故當(dāng)最小時(shí)，取得最小值，取的中點(diǎn)，則，此時(shí)取得最小值，B正確；A選項(xiàng)，因?yàn)锽D是圓O的直徑，AC是與BD垂直的弦，且AC與BD交于點(diǎn)E，所以為的中點(diǎn)，故是的中位線，故，因?yàn)?，所以，則不垂直，A錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由中位線可知，所以不平行，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由中位線可知，所以不平行，D錯(cuò)誤.故選：B11．【分析】利用具體函數(shù)的定義域的求法求解.【詳解】解：由，得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?2．【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得與，再由向量共線即可計(jì)算出.【詳解】由可得，；由與共線可得，解得.故答案為：13．（答案不唯一）【分析】依據(jù)題意找出反例即可.【詳解】，且時(shí)，，而，兩式不相等，或時(shí)也使得，不妨使即可.故答案為：.14．/【分析】將代入函數(shù)解析式畫出分段函數(shù)的圖象，由圖象易知的單調(diào)遞增區(qū)間為；利用反比例函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)的值域?yàn)?，因此只需函?shù)的值域?yàn)榈恼孀蛹纯蓾M足題意，由圖可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),則，利用反比例函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)圖象如下：由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）易知函數(shù)的值域?yàn)?，若函?shù)的值域?yàn)?，存在?shí)數(shù)，則的值域不為，即使函數(shù)的值域?yàn)榈恼孀蛹纯桑焕枚魏瘮?shù)性質(zhì)可知當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值為，所以根據(jù)圖象可知，即的取值范圍為.故答案為：；15．②③④【分析】對(duì)于①，變形得到是等比數(shù)列，求出，令，無解；對(duì)于②，求出，作差得到，為遞增數(shù)列，且；對(duì)于③，舉出實(shí)例即可；對(duì)于④，分和時(shí)，得到D正確.【詳解】對(duì)于①，，故，，兩邊平方得，設(shè)，即，故，解得，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，則，令，無解，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由①可知，，又，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，則，，故，又，，故，為遞增數(shù)列，且，故恒成立，②正確；對(duì)于③，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)中最大值為2，最小值為-2；故存在，使得中既有最大值，又有最小值，③正確；對(duì)于④，由①知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，隨著，，又，，故，存在，當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上，對(duì)任意的，存在，當(dāng)時(shí)，恒成立，④正確.故答案為：②③④【點(diǎn)睛】數(shù)列新定義問題，主要針對(duì)于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運(yùn)用，對(duì)常見的求通項(xiàng)公式和求和公式要掌握牢固，同時(shí)涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與二項(xiàng)式定理，數(shù)列與排列組合等知識(shí)的綜合，要將“新”性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問題.16．(1)22(2)，【分析】（1）由平方關(guān)系先算出，然后直接由三角形面積公式即可求解.（2）先由余弦定理算出，然后由正弦定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，，結(jié)合平方關(guān)系，可知，從而由三角形面積公式，可知的面積為.（2）因?yàn)樵谥?，，，，所以由余弦定理有，又，所以解得，由?）可知，所以由正弦定理有，即，解得.17．(1)，.(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的定義得到的關(guān)系式，從而得解；（2）由（1）得，從而利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】（1）依題意，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，解得（?fù)值舍去），所以，.（2）由（1）得，所以.18．(1)(2)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】（1）代入，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出.然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出切線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程，即可得出答案；（2）求出，代入，由求出的值，代入根據(jù)導(dǎo)函數(shù)結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在處的切線的斜率，又，所以，曲線在處的切線方程為.（2）因?yàn)?，又在處取得極值，所以，，即，解得.經(jīng)檢驗(yàn)可得，在處取得極大值，滿足題意.所以，.因?yàn)?，所以恒成?作出的函數(shù)圖象

由圖象可知，在一個(gè)周期上，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)有.所以，當(dāng)時(shí)，由可得，，所以，在每個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；由圖象可知，在一個(gè)周期上，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)有.所以，當(dāng)時(shí)，由可得，，所以，在每個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.19．(1)(2)0【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換可得，分別選擇條件①，②，③都可得到，從而可得.（2）通過換元法并結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1），若選①，，即，所以，解得，又注意到，所以只能，此時(shí)函數(shù)的解析式為；若選②，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，所以函數(shù)的半個(gè)周期就是，即，解得，滿足題意，所以此時(shí)函數(shù)的解析式為；若選③，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為，所以，解得，又注意到，所以只能，此時(shí)函數(shù)的解析式為；綜上，從條件①、條件②、條件③中隨便選取一個(gè)作為已知，函數(shù)的解析式均為.（2）由（1）可知，總有，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的最小值為.20．(1)0(2)1【分析】（1）直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)果；（2）利用（1）中函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，得到，再對(duì)進(jìn)行分類討論，求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合題設(shè)條件即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，易知，，，當(dāng)，，當(dāng)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故最大值為.（2）令則，當(dāng)時(shí)，由，即，得到，顯然不合題意，故，由，得到，故當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，所以，當(dāng)時(shí)，，即，故時(shí)，不滿足恒成立，由（1）知當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，所以，當(dāng)時(shí)，，即，故時(shí)，不滿足恒成立，當(dāng)，恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以，當(dāng)時(shí)，，即，故時(shí)，不滿足恒成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的值為.21．