2020-2021中考數(shù)學壓軸題之二次函數(shù)(中考題型整理,突破提升)附詳細答案一、二次函數(shù)1．已知如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A（3，0），B（1，0），交y軸于點C，點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動（點P不與點A重合），過點P作PD∥y軸交直線AC于點D．（1）求拋物線的解析式；（2）求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；（3）△APD能否構成直角三角形？若能請直接寫出點P坐標，若不能請說明理由；（4）在拋物線對稱軸上是否存在點M使|MA﹣MC|最大？若存在請求出點M的坐標，若不存在請說明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）點P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】試題分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；（2）求出點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據拋物線解析式設出點P的坐標，然后表示出PD的長度，再根據二次函數(shù)的最值問題解答；（3）①∠APD是直角時，點P與點B重合，②求出拋物線頂點坐標，然后判斷出點P為在拋物線頂點時，∠PAD是直角，分別寫出點P的坐標即可；（4）根據拋物線的對稱性可知MA=MB，再根據三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點M為直線CB與對稱軸交點時，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求解即可．試題解析：解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c過點A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，則y=3，∴點C（0，3），則直線AC的解析式為y=﹣x+3，設點P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y軸，∴點D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+．∵a=﹣1＜0，∴當x=時，線段PD的長度有最大值；（3）①∠APD是直角時，點P與點B重合，此時，點P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的頂點坐標為（2，﹣1）．∵A（3，0），∴點P為在拋物線頂點時，∠PAD=45°+45°=90°，此時，點P（2，﹣1）．綜上所述：點P（1，0）或（2，﹣1）時，△APD能構成直角三角形；（4）由拋物線的對稱性，對稱軸垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三邊關系，|MA﹣MC|＜BC，∴當M、B、C三點共線時，|MA﹣MC|最大，為BC的長度，設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣3x+3．∵拋物線y=x2﹣4x+3的對稱軸為直線x=2，∴當x=2時，y=﹣3×2+3=﹣3，∴點M（2，﹣3），即，拋物線對稱軸上存在點M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．點睛：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的對稱性以及頂點坐標的求解，（2）整理出PD的表達式是解題的關鍵，（3）關鍵在于利用點的坐標特征作出判斷，（4）根據拋物線的對稱性和三角形的三邊關系判斷出點M的位置是解題的關鍵．2．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（﹣2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關系式；（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值及此時點P的坐標；（3）在對稱軸上是否存在一點M，使△ANM的周長最?。舸嬖冢埱蟪鯩點的坐標和△ANM周長的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）當x＝﹣時，△APC的面積取最大值，最大值為，此時點P的坐標為（﹣，）；（3）在對稱軸上存在一點M（﹣1，2），使△ANM的周長最小，△ANM周長的最小值為3．【解析】【分析】（1）根據點A，C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線及直線AC的函數(shù)關系式；（2）過點P作PE∥y軸交x軸于點E，交直線AC于點F，過點C作CQ∥y軸交x軸于點Q，設點P的坐標為（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），則點E的坐標為（x，0），點F的坐標為（x，﹣x+1），進而可得出PF的值，由點C的坐標可得出點Q的坐標，進而可得出AQ的值，利用三角形的面積公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函數(shù)的性質，即可解決最值問題；（3）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點N的坐標，利用配方法可找出拋物線的對稱軸，由點C，N的坐標可得出點C，N關于拋物線的對稱軸對稱，令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M，則此時△ANM周長取最小值，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點M的坐標，以及利用兩點間的距離公式結合三角形的周長公式求出△ANM周長的最小值即可得出結論．【詳解】（1）將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)關系式為y＝﹣x2﹣2x+3；設直線AC的函數(shù)關系式為y＝mx+n（m≠0），將A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直線AC的函數(shù)關系式為y＝﹣x+1．（2）過點P作PE∥y軸交x軸于點E，交直線AC于點F，過點C作CQ∥y軸交x軸于點Q，如圖1所示．設點P的坐標為（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），則點E的坐標為（x，0），點F的坐標為（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵點C的坐標為（﹣2，3），∴點Q的坐標為（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ?PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，∴當x＝﹣時，△APC的面積取最大值，最大值為，此時點P的坐標為（﹣，）．（3）當x＝0時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴點N的坐標為（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1．∵點C的坐標為（﹣2，3），∴點C，N關于拋物線的對稱軸對稱．令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M，如圖2所示．∵點C，N關于拋物線的對稱軸對稱，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此時△ANM周長取最小值．當x＝﹣1時，y＝﹣x+1＝2，∴此時點M的坐標為（﹣1，2）．∵點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（﹣2，3），點N的坐標為（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在對稱軸上存在一點M（﹣1，2），使△ANM的周長最小，△ANM周長的最小值為3+．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質、三角形的面積以及周長，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線及直線AC的函數(shù)關系式；（2）利用三角形的面積公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函數(shù)圖象的對稱性結合兩點之間線段最短找出點M的位置．3．如圖，已知拋物線y=x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于點C（0，－3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）求直線BC的函數(shù)表達式；（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．①當線段PQ=AB時，求tan∠CED的值；②當以點C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標．【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達式為y=x2－2x－3．（2）直線BC的函數(shù)表達式為y=x－3．（3）①．①P1（1－，－2），P2（1－，）．【解析】【分析】已知C點的坐標，即知道OC的長，可在直角三角形BOC中根據∠BCO的正切值求出OB的長，即可得出B點的坐標．已知了△AOC和△BOC的面積比，由于兩三角形的高相等，因此面積比就是AO與OB的比．由此可求出OA的長，也就求出了A點的坐標，然后根據A、B、C三點的坐標即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．【詳解】（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，∴?＝1∴b=-2∵拋物線與y軸交于點C（0，-3），∴c=-3，∴拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-2x-3；（2）∵拋物線與x軸交于A、B兩點，當y=0時，x2-2x-3=0．∴x1=-1，x2=3．∵A點在B點左側，∴A（-1，0），B（3，0）設過點B（3，0）、C（0，-3）的直線的函數(shù)表達式為y=kx+m，則，∴∴直線BC的函數(shù)表達式為y=x-3；（3）①∵AB=4，PQ=AB，∴PQ=3∵PQ⊥y軸∴PQ∥x軸，則由拋物線的對稱性可得PM=，∵對稱軸是直線x=1，∴P到y(tǒng)軸的距離是，∴點P的橫坐標為?，∴P（?，?）∴F（0，?），∴FC=3-OF=3-=∵PQ垂直平分CE于點F，∴CE=2FC=∵點D在直線BC上，∴當x=1時，y=-2，則D（1，-2），過點D作DG⊥CE于點G，∴DG=1，CG=1，∴GE=CE-CG=-1=．在Rt△EGD中，tan∠CED=．②P1（1-，-2），P2（1-，-）．設OE=a，則GE=2-a，當CE為斜邊時，則DG2=CG?GE，即1=（OC-OG）?（2-a），∴1=1×（2-a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的縱坐標為-2，把y=-2，代入拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-2x-3得：x=1+或1-∵點P在第三象限．∴P1（1-，-2），當CD為斜邊時，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=2.5，∴P和F的縱坐標為：-，把y=-，代入拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-2x-3得：x=1-，或1+，∵點P在第三象限．∴P2（1-，-）．綜上所述：滿足條件為P1（1-，-2），P2（1-，-）．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．4．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，當△PBQ存在時，求運動多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？（3）當△PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K點坐標．【答案】（1）y=x2﹣x﹣3（2）運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）【解析】【詳解】試題分析：（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出關于系數(shù)a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；（2）設運動時間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數(shù)關系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函數(shù)的圖象性質進行解答；（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=x﹣3．由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可設點K的坐標為（m，m2﹣m﹣3）．如圖2，過點K作KE∥y軸，交BC于點E．結合已知條件和（2）中的結果求得S△CBK=．則根據圖形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m），把相關線段的長度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．解：（1）把點A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得，解得，所以該拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣3；（2）設運動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由題意得，點C的坐標為（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC==5．如圖1，過點Q作QH⊥AB于點H．∴QH∥CO，∴△BHQ∽△BOC，∴，即，∴HQ=t．∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．當△PBQ存在時，0＜t＜2∴當t=1時，S△PBQ最大=．答：運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；（3）設直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直線BC的解析式為y=x﹣3．∵點K在拋物線上．∴設點K的坐標為（m，m2﹣m﹣3）．如圖2，過點K作KE∥y軸，交BC于點E．則點E的坐標為（m，m﹣3）．∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．當△PBQ的面積最大時，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．∴S△CBK=．S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m）=×4?EK=2（﹣m2+m）=﹣m2+3m．即：﹣m2+3m=．解得m1=1，m2=3．∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意該點的運動范圍，即自變量的取值范圍．5．在平面直角坐標系中，為原點，拋物線經過點，對稱軸為直線，點關于直線的對稱點為點.過點作直線軸，交軸于點.（Ⅰ）求該拋物線的解析式及對稱軸；（Ⅱ）點在軸上，當?shù)闹底钚r，求點的坐標；（Ⅲ）拋物線上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ）拋物線的解析式為;拋物線的對稱軸為直線;（Ⅱ）點坐標為;（Ⅲ）存在，點坐標為或，理由見解析【解析】【分析】（Ⅰ）將點代入二次函數(shù)的解析式，即可求出a，再根據對稱軸的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B點胡坐標，要求胡最小值，只需找到B關于軸的對稱點，則直線A與y軸的交點就是點P，根據待定系數(shù)法求出AB1的解析式，令y=0，即可求出P點的坐標.（Ⅲ）設點Q的坐標，并求出△AOQ面積，從而得到△AOQ面積，根據Q點胡不同位置進行分類，用m及割補法求出面積方程，即可求解.【詳解】（Ⅰ）∵經過點，∴，解得，∴拋物線的解析式為，∵，∴拋物線的對稱軸為直線.（Ⅱ）∵點，對稱軸為，∴點關于對稱軸的對稱點點坐標為.作點關于軸的對稱點，得，設直線AB1的解析式為，把點，點代入得，解得，∴.∴直線與軸的交點即為點.令得，∵點坐標為.（Ⅲ）∵，軸，∴，，∴，又∵，∴.設點坐標為，如圖情況一，作，交延長線于點，∵，∴，化簡整理得，解得，.如圖情況二，作，交延長線于點，交軸于點，∵，∴，化簡整理得，解得，，∴點坐標為或，∴拋物線上存在點，使得.【點睛】主要考查了二次函數(shù)的性質，以及求兩邊和的最小值，面積等常見的題型，計算量較大，但難度不是很大.6．如圖，直線l：y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B，交x軸正半軸于點C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值及此時動點M的坐標；（3）將點A繞原點旋轉得點A′，連接CA′、BA′，在旋轉過程中，一動點M從點B出發(fā)，沿線段BA′以每秒3個單位的速度運動到A′，再沿線段A′C以每秒1個單位長度的速度運動到C后停止，求點M在整個運動過程中用時最少是多少？【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S與m的函數(shù)表達式是S＝，S的最大值是，此時動點M的坐標是（，）；（3）點M在整個運動過程中用時最少是秒．【解析】【分析】（1）首先求出B點的坐標，根據B點的坐標即可計算出二次函數(shù)的a值，進而即可計算出二次函數(shù)的解析式;（2）計算出C點的坐標，設出M點的坐標，再根據△ABM的面積為S＝S四邊形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化簡成二次函數(shù)，再根據二次函數(shù)求解最大值即可.（3）首先證明△OHA′∽△OA′B，再結合A′H+A′C≥HC即可計算出t的最小值.【詳解】（1）將x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，∴點B的坐標為（0，3），∵拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B，∴3＝a+4，得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）將y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，∴點C的坐標為（3，0），∵點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，點M的橫坐標為m，∴0＜m＜3，點M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），將y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，∴點A的坐標（1，0），∵△ABM的面積為S，∴S＝S四邊形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB＝，化簡，得S＝＝，∴當m＝時，S取得最大值，此時S＝，此時點M的坐標為（，），即S與m的函數(shù)表達式是S＝，S的最大值是，此時動點M的坐標是（，）；（3）如右圖所示，取點H的坐標為（0，），連接HA′、OA′，∵∠HOA′＝∠A′OB，，，∴△OHA′∽△OA′B，∴，即，∵A′H+A′C≥HC＝，∴t≥，即點M在整個運動過程中用時最少是秒．【點睛】本題主要考查拋物線的性質，關鍵在于設元，還有就是（3）中利用代替法計算t的取值范圍，難度系數(shù)較大，是中考的壓軸題.7．如圖，在平面直角坐標系中有拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2經過原點，與x軸正半軸交于點A，與其對稱軸交于點B；點P是拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2上一動點，且點P在x軸下方，過點P作x軸的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點D，過點D作PD的垂線交拋物線y＝a（x﹣h）2于點D′（不與點D重合），連接PD′，設點P的橫坐標為m：（1）①直接寫出a的值；②直接寫出拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2的函數(shù)表達式的一般式；（2）當拋物線y＝a（x﹣h）2經過原點時，設△PDD′與△OAB重疊部分圖形周長為L：①求的值；②直接寫出L與m之間的函數(shù)關系式；（3）當h為何值時，存在點P，使以點O、A、D、D′為頂點的四邊形是菱形？直接寫出h的值．【答案】（1）①；②y＝﹣2x；（2）①1；②L＝；（3）h＝±．【解析】【分析】（1）①將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中計算即可；②y＝﹣2x；（2）將（0，0）代入y＝a（x﹣h）2中，可求得a＝，y＝x2，待定系數(shù)法求OB、AB的解析式，由點P的橫坐標為m，即可表示出相應線段求解；（3）以點O、A、D、D′為頂點的四邊形是菱形，DD′＝OA，可知點D的縱坐標為2，再由AD＝OA＝4即可求出h的值．【詳解】解：（1）①將x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，得：0＝a（0﹣2）2﹣2，解得：a＝；②y＝﹣2x；．（2）∵拋物線y＝a（x﹣h）2經過原點，a＝；∴y＝x2，∴A（4，0），B（2，﹣2），易得：直線OB解析式為：y＝﹣x，直線AB解析式為：y＝x﹣4如圖1，，①②如圖1，當0＜m≤2時，L＝OE+EF+OF＝，當2＜m＜4時，如圖2，設PD′交x軸于G，交AB于H，PD交x軸于E，交AB于F，則，，∵DD′∥EG，即：EG?PD＝PE?DD′，得：EG?（2m）＝（2m﹣m2）?2m∴EG＝2m﹣m2，EF＝4﹣m∴L＝EG+EF+FH+GH＝EG+EF+PG；（3）如圖3，∵OADD′為菱形∴AD＝AO＝DD′＝4，∴PD＝2，【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質，拋物線的平移等，解題時要注意考慮分段函數(shù)表示方法．8．如圖，直線y＝-x-3與x軸，y軸分別交于點A，C，經過點A，C的拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸的另一個交點為點B(2，0)，點D是拋物線上一點，過點D作DE⊥x軸于點E，連接AD，DC．設點D的橫坐標為m．(1)求拋物線的解析式；(2)當點D在第三象限，設△DAC的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值及此時點D的坐標；(3)連接BC，若∠EAD＝∠OBC，請直接寫出此時點D的坐標．【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面積最大值為；此時D(﹣3，﹣)；(3)滿足條件的點D坐標為(﹣4，﹣3)或(8，21).【解析】【分析】（1）求出A坐標，再用待定系數(shù)法求解析式；（2）設DE與AC的交點為點F.設點D的坐標為：(m，m2+m﹣3)，則點F的坐標為：(m，﹣m﹣3)，根據S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①當點D與點C關于對稱軸對稱時，D(﹣4，﹣3)，根據對稱性此時∠EAD＝∠ABC．②作點D(﹣4，﹣3)關于x軸的對稱點D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，解方程組求出函數(shù)圖像交點坐標.【詳解】解：(1)在y＝﹣x﹣3中，當y＝0時，x＝﹣6，即點A的坐標為：(﹣6，0)，將A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2+x﹣3；(2)設點D的坐標為：(m，m2+m﹣3)，則點F的坐標為：(m，﹣m﹣3)，設DE與AC的交點為點F.∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC＝DF?AE+?DF?OE＝DF?OA＝×(﹣m2﹣m)×6＝﹣m2﹣m＝﹣(m+3)2+，∵a＝﹣＜0，∴拋物線開口向下，∴當m＝﹣3時，S△ADC存在最大值，又∵當m＝﹣3時，m2+m﹣3＝﹣，∴存在點D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面積最大，最大值為；(3)①當點D與點C關于對稱軸對稱時，D(﹣4，﹣3)，根據對稱性此時∠EAD＝∠ABC．②作點D(﹣4，﹣3)關于x軸的對稱點D′(﹣4，3)，直線AD′的解析式為y＝x+9，由，解得或，此時直線AD′與拋物線交于D(8，21)，滿足條件，綜上所述，滿足條件的點D坐標為(﹣4，﹣3)或(8，21)【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)的應用，二次函數(shù)的性質等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數(shù)解決最值問題，學會構建一次函數(shù)解決實際問題，屬于中考壓軸題．.9．如圖，已知點A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），拋物線F：y=x2-2mx+m2-2與直線x=-2交于點P．（1）當拋物線F經過點C時，求它的解析式；（2）設點P的縱坐標為yP，求yP的最小值，此時拋物線F上有兩點（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤-2，比較y1與y2的大小.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據拋物線F：y=x2-2mx+m2-2過點C（-1，-2），可以求得拋物線F的表達式；

（2）根據題意，可以求得yP的最小值和此時拋物線的表達式，從而可以比較y1與y2的大小.【詳解】(1)∵拋物線F經過點C（－1，－2），∴.∴m1=m2=-1.∴拋物線F的解析式是.(2)當x=-2時，=.∴當m=-2時，的最小值為－2.此時拋物線F的表達式是.∴當時，y隨x的增大而減小.∵≤－2，∴>.【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答問題．10．已知二次函數(shù)的圖象以A（﹣1，4）為頂點，且過點B（2，﹣5）（1）求該函數(shù)的關系式；（2）求該函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標；（3）將該函數(shù)圖象向右平移，當圖象經過原點時，A、B兩點隨圖象移至A′、B′，求△OA′B′的面積．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）拋物線與x軸的交點為：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了拋物線的頂點坐標，可用頂點式設該二次函數(shù)的解析式，然后將B點坐標代入，即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）根據函數(shù)解析式，令x=0，可求得拋物線與y軸的交點坐標；令y=0，可求得拋物線與x軸交點坐標；（3）由（2）可知：拋物線與x軸的交點分別在原點兩側，由此可求出當拋物線與x軸負半軸的交點平移到原點時，拋物線平移的單位，由此可求出A′、B′的坐標．由于△OA′B′不規(guī)則，可用面積割補法求出△OA′B′的面積．【詳解】（1）設拋物線頂點式y(tǒng)=a（x+1）2+4，將B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴該函數(shù)的解析式為：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此拋物線與y軸的交點為：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即拋物線與x軸的交點為：（﹣3，0），（1，0）；（3）設拋物線與x軸的交點為M、N（M在N的左側），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），當函數(shù)圖象向右平移經過原點時，M與O重合，因此拋物線向右平移了3個單位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖象與坐標軸交點、圖形面積的求法等知識．熟練掌握待定系數(shù)法、函數(shù)圖象與坐標軸的交點的求解方法、不規(guī)則圖形的面積的求解方法等是解題的關鍵.11．某商場銷售一種商品的進價為每件30元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系如圖所示．（1）根據圖象直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式．（2）設這種商品月利潤為W（元），求W與x之間的函數(shù)關系式．（3）這種商品的銷售單價定為多少元時，月利潤最大？最大月利潤是多少？【答案】（1）y＝；（2）W＝;（3）這種商品的銷售單價定為65元時，月利潤最大，最大月利潤是3675．【解析】【分析】（1）當40≤x≤60時，設y與x之間的函數(shù)關系式為y=kx+b，當60＜x≤90時，設y與x之間的函數(shù)關系式為y=mx+n，解方程組即可得到結論；（2）當40≤x≤60時，當60＜x≤90時，根據題意即可得到函數(shù)解析式；（3）當40≤x≤60時，W=-x2+210x-5400，得到當x=60時，W最大=-602+210×60-5400=3600，當60＜x≤90時，W=-3x2+390x-9000，得到當x=65時，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到結論．【詳解】解：（1）當40≤x≤60時，設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝kx+b，將（40，140），（60，120）代入得，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關系式為y＝﹣x+180；當60＜x≤90時，設y與x之間的函數(shù)關系式為y＝mx+n，將（90，30），（60，120）代入得，解得：，∴y＝﹣3x+300；綜上所述，y＝；（2）當40≤x≤60時，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，當60＜x≤90時，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，綜上所述，W＝；（3）當40≤x≤60時，W＝﹣x2+210x﹣5400，∵﹣1＜0，對稱軸x＝＝105，∴當40≤x≤60時，W隨x的增大而增大，∴當x＝60時，W最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，當60＜x≤90時，W＝﹣3x2+390x﹣9000，∵﹣3＜0，對稱軸x＝＝65，∵60＜x≤90，∴當x＝65時，W最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，∵3675＞3600，∴當x＝65時，W最大＝3675，答：這種商品的銷售單價定為65元時，月利潤最大，最大月利潤是3675．【點睛】本題考查了把實際問題轉化為二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質進行實際應用．根據題意分情況建立二次函數(shù)的模型是解題的關鍵．12．如圖①，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經過點A(-1，0)、B(3，0)兩點，且與y軸交于點C.（1）求拋物線的表達式；（2）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點（點P在點Q的左側），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點D，連接DP、DQ.①若點P的橫坐標為，求△DPQ面積的最大值，并求此時點D的坐標；②直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由.【答案】（1）拋物線y=-x2+2x+3；（2）①點D（）；②△PQD面積的最大值為8【解析】分析：（1）根據點A、B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；（2）（I）由點P的橫坐標可得出點P、Q的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達式，過點D作DE∥y軸交直線PQ于點E，設點D的坐標為（x，-x2+2x+3），則點E的坐標為（x，-x+），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+6x+，再利用二次函數(shù)的性質即可解決最值問題；（II）假設存在，設點P的橫坐標為t，則點Q的橫坐標為4+t，進而可得出點P、Q的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達式，設點D的坐標為（x，-x2+2x+3），則點E的坐標為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利用二次函數(shù)的性質即可解決最值問題．詳解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，∴拋物線的表達式為y=-x2+2x+3．（2）（I）當點P的橫坐標為-時，點Q的橫坐標為，∴此時點P的坐標為（-，），點Q的坐標為（，-）．設直線PQ的表達式為y=mx+n，將P（-，）、Q（，-）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直線PQ的表達式為y=-x+．如圖②，過點D作DE∥y軸交直線PQ于點E，設點D的坐標為（x，-x2+2x+3），則點E的坐標為（x，-x+），∴DE=-x2+2x+3-（-x+）=-x2+3x+，∴S△DPQ=DE?（xQ-xP）=-2x2+6x+=-2（x-）2+8．∵-2＜0，∴當x=時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8，此時點D的坐標為（，）．（II）假設存在，設點P的橫坐標為t，則點Q的橫坐標為4+t，∴點P的坐標為（t，-t2+2t+3），點Q的坐標為（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系數(shù)法易知，直線PQ的表達式為y=-2（t+1）x+t2+4t+3．設點D的坐標為（x，-x2+2x+3），則點E的坐標為（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，∴S△DPQ=DE?（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．∵-2＜0，∴當x=t+2時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8．∴假設成立，即直尺在平移過程中，△DPQ面積有最大值，面積的最大值為8．點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及二次函數(shù)的最值，解題的關鍵是：（1）根據點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達式；（2）（I）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=-2x2+6x+；（II）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．13．如圖，已知拋物線的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點（B點在A點右側）與y軸交于C點．（1）求拋物線的解析式和A、B兩點的坐標；（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；（3）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN=3時，求M點的坐標．【答案】（1），點A的坐標為(-2，0)，點B的坐標為(8，0)；（2）存在點P，使△PBC的面積最大，最大面積是16，理由見解析；（3）點M的坐標為(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．【解析】【分析】（1）由拋物線的對稱軸為直線x=3，利用二次函數(shù)的性質即可求出a值，進而可得出拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，即可求出點A、B的坐標；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，由點B、C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，假設存在，設點P的坐標為（x,），過點P作PD//y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標為（x,），PD=-x2+2x，利用三角形的面積公式即可得出三角形PBC的面積關于x的函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質即可解決最值問題；（3）設點M的坐標為（m,），則點N的坐標為（m,），進而可得出MN，結合MN=3即可得出關于m的含絕對值符號的一元二次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）拋物線的對稱軸是直線，，解得：，拋物線的解析式為．當時，，解得：，，點的坐標為，點的坐標為．（2）當時，，點的坐標為．設直線的解析式為．將、代入，，解得：，直線的解析式為．假設存在，設點的坐標為，過點作軸，交直線于點，則點的坐標為，如圖所示．，．，當時，的面積最大，最大面積是16．，存在點，使的面積最大，最大面積是16．（3）設點的坐標為，則點的坐