未知驅(qū)動(dòng)探索，專注成就專業(yè)國家開放大學(xué)-工程數(shù)學(xué)（本）形成性考核第四次作業(yè)一、題目分析本次作業(yè)共包含三道題目，分別是：給定函數(shù)f(x)=2\*x-3，求其在區(qū)間[1,5]上的定積分。求函數(shù)f(x)=x^2-3\*x+2的不定積分。給定函數(shù)f(x)=x^3+2\*x^2-x-2，找出其在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。二、題目解答1.求定積分題目要求我們計(jì)算函數(shù)f(x)=2\*x-3在區(qū)間[1,5]上的定積分。根據(jù)定積分的定義，我們可以將區(qū)間[1,5]分成若干小的區(qū)間，計(jì)算這些小區(qū)間上函數(shù)值與區(qū)間長度的乘積，并將結(jié)果求和。具體計(jì)算過程如下：$$\\int_{1}^{5}f(x)dx=\\lim_{n\\to\\infty}\\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\\Deltax$$其中，$f(x)=2\\*x-3$，xi為區(qū)間的任一點(diǎn)，$\\Deltax$因?yàn)?f(x)=2\\*x-3$是一個(gè)線性函數(shù)，所以我們可以直接計(jì)算其在區(qū)間[1,5]上的面積。$$\\int_{1}^{5}f(x)dx=\\left.x^2-3\\*x\\right|_{1}^{5}$$將上式代入計(jì)算，得到積分值為：$$\\int_{1}^{5}f(x)dx=\\left.(5^2-3\\*5)-(1^2-3\\*1)\\right|$$計(jì)算得：$$\\int_{1}^{5}f(x)dx=(25-15)-(1-3)$$化簡得：$$\\int_{1}^{5}f(x)dx=10-(-2)=12$$所以，函數(shù)f(x)=2\*x-3在區(qū)間[1,5]上的定積分為12。2.求不定積分題目要求我們計(jì)算函數(shù)f(x)=x^2-3\*x+2的不定積分。不定積分是指對(duì)函數(shù)進(jìn)行積分，得到一個(gè)含有未知常數(shù)的結(jié)果。具體計(jì)算過程如下：$$\\intf(x)dx=F(x)+C$$其中，F(xiàn)(x)為原函數(shù)，對(duì)于函數(shù)f(x)=x^2-3\*x+2，我們可以逐項(xiàng)進(jìn)行不定積分：$$\\intx^2dx=\\frac{1}{3}x^3+C_1$$$$\\int-3\\*xdx=-\\frac{3}{2}x^2+C_2$$$$\\int2dx=2x+C_3$$將上述結(jié)果相加，得到：$$\\int(x^2-3\\*x+2)dx=\\frac{1}{3}x^3-\\frac{3}{2}x^2+2x+C$$其中，C為積分常數(shù)。所以，函數(shù)f(x)=x^2-3\*x+2的不定積分為$\\frac{1}{3}x^3-\\frac{3}{2}x^2+2x+C$。3.求最大值和最小值題目要求我們找出函數(shù)f(x)=x^3+2\*x^2-x-2在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。要找出函數(shù)的最大值和最小值，我們可以先找出函數(shù)的駐點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)），然后計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值，以及區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較它們的大小，即可得到最大值和最小值。具體計(jì)算過程如下：計(jì)算函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)：$f'(x)=3\\*x^2+4\\*x-1$令導(dǎo)數(shù)等于0，解方程$f'(x)=3\\*x^2+4\\*x-1=0$，求出駐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。根據(jù)韋達(dá)定理，可得：$x_1=\\frac{-4+\\sqrt{4^2-4\\cdot3\\cdot(-1)}}{2\\cdot3}=\\frac{-4+\\sqrt{40}}{6}$$x_2=\\frac{-4-\\sqrt{4^2-4\\cdot3\\cdot(-1)}}{2\\cdot3}=\\frac{-4-\\sqrt{40}}{6}$駐點(diǎn)橫坐標(biāo)x的取值范圍為[-2,2]，所以只需要考慮駐點(diǎn)處的函數(shù)值。計(jì)算駐點(diǎn)的縱坐標(biāo)：f(x1)$f(x_1)=(x_1)^3+2\\*(x_1)^2-x_1-2$$f(x_2)=(x_2)^3+2\\*(x_2)^2-x_2-2$計(jì)算區(qū)間的端點(diǎn)的函數(shù)值：f(?2)$f(-2)=(-2)^3+2\\*(-2)^2-(-2)-2$$f(2)=(2)^3+2\\*(2)^2-2-2$比較函數(shù)值，找出最大值和最小值。比較f(x1)、f(x2)經(jīng)過計(jì)算，得到：$$(x_1,f(x_1))=\\left(\\frac{-4+\\sqrt{40}}{6},\\frac{53-\\sqrt{40}}{12}\\right)$$$$(x_2,f(x_2))=\\left(\\frac{-4-\\sqrt{40}}{6},\\frac{53+\\sqrt{40}}{12}\\right)$$((可以看出，最大值為$\\frac{53+\\sqrt{40}}{12}$，最小值為-12。三、總結(jié)本次作業(yè)涉及到定積分、不定積分以及最大最小值的計(jì)算。通過對(duì)題目的分析和計(jì)算，我們學(xué)習(xí)到了如何計(jì)算函數(shù)在給定區(qū)間上的定積分，以及函數(shù)的不定積分和最大最小值的求解方法。這些知識(shí)在工程數(shù)學(xué)中具有重要的應(yīng)用價(jià)