第第頁專題08難點探究專題：數(shù)軸上的動點問題之四大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】 1【考點二數(shù)軸上的動點中求定值問題】 9【考點三數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】 15【考點四數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】 23【典型例題】【考點一數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】例題：（2023秋·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上有、、三個點，分別表示有理數(shù)，，，動點從出發(fā)，以每秒個單位的速度向終點移動，設移動時間為秒．(1)當時，點到點的距離______；此時點所表示的數(shù)為______；(2)當點運動到點時，點同時從點出發(fā)，以每秒個單位的速度向點運動，點到達點后也停止運動，則點出發(fā)秒時與點之間的距離______；(3)在（2）的條件下，當點到達點之前，請求出點移動幾秒時恰好與點之間的距離為個單位？【答案】(1)，(2)3(3)秒或秒【分析】（1）利用線段的長點的移動速度點的移動時間，可求出的長；利用點表示的數(shù)點的移動速度點的移動時間，可求出點所表示的數(shù)；（2）由點，的出發(fā)點、移動方向、移動速度及移動時間，可求出點出發(fā)秒時點，表示的數(shù)，再利用數(shù)軸上兩點間的距離公式，即可求出此時的長；（3）當點的移動時間為秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，根據(jù)，可得出關于的一元二次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）動點從出發(fā)，以每秒個單位的速度向終點移動，當移動時間為秒時，；又點表示有理數(shù)，當移動時間為秒時，點表示的數(shù)為．故答案為：，；（2）當點出發(fā)秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，此時．故答案為：；（3）當點的移動時間為秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，根據(jù)題意得：，即或，解得：或．答：在的條件下，當點到達點之前，點移動秒或秒時恰好與點之間的距離為個單位．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及數(shù)軸，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·福建三明·七年級統(tǒng)考期中）如圖，數(shù)軸上有、兩個動點，點以3個單位長度/秒作勻速移動，點以2個單位長度/秒作勻速移動，兩點初始位置是：點對應的數(shù)是、點對應的數(shù)是3．(1)若點分別到、兩點的距離相等，那么點對應的數(shù)是幾?(2)若、兩點同時出發(fā)且相向移動，則經(jīng)過幾秒兩點相遇?(3)若、兩點同時出發(fā)向右移動，則經(jīng)過幾秒兩點相距3個單位長度?【答案】(1)(2)秒(3)6或12秒【分析】（1）由數(shù)軸上兩點之間的距離相等，即可求出答案；（2）先求出線段的長度，然后列出方程求解即可；（3）由題意，可以分為兩種情況進行分析：追上前和追上后相距3個單位長度，然后分別求出時間即可．【詳解】（1）解：由題意，設點C表示的數(shù)是，則∵點分別到、兩點的距離相等，，解得：，∴點C對應的數(shù)是．（2）解：∵，設經(jīng)過秒兩點相遇，則，∴；∴經(jīng)過秒兩點相遇．（3）解：有兩種情況：①在追上之前：（秒）②在追上超過后：（秒）此時經(jīng)過6或12秒兩點相距3個單位長度．【點睛】本題考查了數(shù)軸上表示的數(shù)，一元一次方程的應用，數(shù)軸上兩點之間的距離等知識，解題的關鍵是熟練掌握題意，正確的列出方程，從而進行解題．2．（2023秋·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在點A左側的一點，且A，B兩點間的距離為10，動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為秒．(1)數(shù)軸上點B表示的數(shù)是；當點P運動到的中點時，它所表示的數(shù)是．(2)動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，問：經(jīng)過多少秒，①點P追上點Q？②點P與點Q間的距離為8個單位長度？【答案】(1)，1(2)①當P運動2.5秒時，點P追上點Q；②當點P運動0.5秒或4.5秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側的一點，且A，B兩點間的距離為10．即可得點B表示的數(shù)；進而可得當點P運動到的中點時，它所表示的數(shù)；（2）①根據(jù)題意，得，解方程即可求解；②根據(jù)點P追上點Q之前和之后之間的距離為8個單位長度，分兩種情況列方程即可求解．【詳解】（1）∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在A左側的一點，且A，B兩點間的距離為10，∴得B點表示的數(shù)為；當點P運動到的中點時，它所表示的數(shù)為．故答案為：；1；（2）①根據(jù)題意，得，解得．答：當P運動2.5秒時，點P追上點Q．②分情況討論：當點P追上Q點之前，根據(jù)題意，得：，；當點P追上Q點之后，根據(jù)題意，得：，．答：當點P運動秒或秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用、數(shù)軸，解決本題的關鍵是根據(jù)數(shù)軸上動點的運動情況列方程．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱風華中學?？计谥校┤鐖D，數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)為、19，動點P從點A出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒3個單位長度勻速向右運動，動點Q從點B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位長度勻速向左運動，且兩點同時出發(fā)，設運動時間為t秒．

(1)求點A與點B兩點間的距離；(2)當t為何值時，P、Q兩點相遇，求此時點P表示的數(shù)；(3)若點P、Q相遇后，點Q按原路立即返回，速度變?yōu)樵瓉淼?倍，點P繼續(xù)按原速原方向運動，在整個運動過程中，t為何值時？【答案】(1)25(2)，點P表示的數(shù)是9(3)或24【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式求解；（2）根據(jù)時間、路程、速度之間的關系求出t的值，再根據(jù)點P移動的距離求出表示的數(shù)；（3）用含t的代數(shù)式表示出點P、Q表示的數(shù)，再分點Q在點B右側和點Q在點B左側兩種情況，根據(jù)分別列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：，即點A與點B兩點間的距離是25；（2）解：由（1）知點A與點B兩點間的距離是25，P、Q兩點相遇時，，解得，，因此時，P、Q兩點相遇，求此時點P表示的數(shù)是9；（3）解：點P、Q相遇后，t時點P表示的數(shù)是，點Q表示的數(shù)是，分兩種情況，當點Q在點B左側時：由可得，解得；當點Q在點B右側時：由可得，解得；綜上可知，t為或24時．【點睛】本題考查數(shù)軸上的動點問題，一元一次方程的實際應用，解題的關鍵是掌握數(shù)軸上兩點間距離公式，第3問注意分情況討論，避免漏解．4．（2023秋·福建三明·七年級統(tǒng)考期末）【閱讀理解】定義：A，B，C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離一半，則稱點C是（A，B）的相伴點．例如：如圖1，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為1，點C表示的數(shù)為，點D表示的數(shù)為0．點C到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點C是（A，B）的相伴點；又如，點D到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點D就不是（A，B）的相伴點，但點D是（B，A）的相伴點．【知識應用】如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為，點N所表示的數(shù)為1．(1)點E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是，，，其中___________是（M，N）的相伴點；(2)現(xiàn)有一個動點P從點M出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向右運動，當運動時間t為何值時，點P是（N，M）的相伴點？【拓展提升】(3)如圖3，A，B為數(shù)軸上兩點，若點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是，現(xiàn)有兩個動點P、Q分別從點A，B開始，同時出發(fā)，均以每秒3個單位長度的速度向右運動．當點P，Q和B中恰有一個點為其余兩點的相伴點時，運動時間為___________秒（直接寫出答案）．【答案】(1)點E或(2)或6秒(3)或或或或或【分析】（1）根據(jù)概念分別求出三點到M、N的距離，即可得出答案；（2）方法一：依題意得：，，，分當時，當時列出方程求解即可得出答案；方法二：依題意得：，，，分當時，當時列出方程求解即可得出答案；（3）求出表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為，根據(jù)相伴點的概念分情況討論即可得出答案．【詳解】（1）點E點M的距離為9，點E點N的距離為點E是（M，N）的相伴點；點F點M的距離為6，點E點N的距離為3點F不是（M，N）的相伴點；點G點M的距離為，點E點N的距離為點G不是（M，N）的相伴點；綜上，E是（M，N）的相伴點（2）方法一：解：依題意得：，，當時，，則有：解得：當時，，則有：解得：∴綜上所述，當運動時間或6秒時，點P是（N，M）的相伴點方法二：依題意得：，，當時，，則有：解得：當時，，則有：解得：∴綜上所述，當當運動時間t=2或6秒時，點P是（N，M）的相伴點；（3）兩個動點P、Q分別從點A，B開始，同時出發(fā)，均以每秒3個單位長度的速度向右運動，設運動時間為動點P、Q運動的距離為點P表示為，點Q表示為①點B是的相伴點時則解得；②點B是的相伴點時則解得；③點P是的相伴點時則解得；④點P是的相伴點時則解得；⑤點Q是的相伴點時則解得；⑥點Q是的相伴點時則解得綜上所述，運動時間為：或或或或或秒．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系式并理解相伴點的概念．【考點二數(shù)軸上的動點中求定值問題】例題：點在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為，且滿足．(1)如圖，求線段的長；(2)若點C在數(shù)軸上對應的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點P使，若存在，求出點P對應的數(shù)，若不存在，說明理由；(3)如圖，點P在B點右側，的中點為為靠近于B點的四等分點，當P在B的右側運動時，有兩個結論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個結論正確，請判斷正確的結論，并求出其值．【答案】(1)4(2)或(3)正確的結論為①的值不變，其值為2【分析】（1）利用非負數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，即可確定出的長；（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點，設點P在數(shù)軸上對應的數(shù)是m，由確定出P位置，即可做出判斷；（3）設P點所表示的數(shù)為n，就有，，根據(jù)條件就可以表示出，，再分別代入①和②求出其值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，∴．答：的長為4；（2）∵，∴，∴BC==5．設點P在數(shù)軸上對應的數(shù)是m，∵，∴，令，，∴或．①當時，，；②當時，，（舍去）；③當時，，．∴當點P表示的數(shù)為或時，；（3）解：設P點所表示的數(shù)為n，∴，．∵PA的中點為M，∴．∵N為的四等分點且靠近于B點，∴B，∴①=2（不變），②（隨點P的變化而變化），∴正確的結論為①，且．【點睛】此題考查了數(shù)軸的運用，數(shù)軸上任意兩點間的距離公式的運用，去絕對值的運用，一元一次方程的解，解題的關鍵是靈活運用兩點間的距離公式．【變式訓練】1．（2023秋·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）如圖，為數(shù)軸的原點，點A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a，b，且滿足，點C為數(shù)軸上一動點且對應的數(shù)為x．

(1)求a，b的值；(2)若點C在點A的左側運動，M是的中點，式子的值是否變化？若不變化，請求出其值；若變化，請說明理由；(3)若點P以每秒2個單位長度的速度，點Q以每秒3個單位長度的速度，分別從A，B兩點同時向左運動了t秒，當時，請求出此時t的值．【答案】(1)，(2)的值不變，是15(3)20或10【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負性進行求解即可；（2）根據(jù)點C在點A的左側運動，M是的中點，得出M表示的數(shù)是，求出，，得出即可；（3）根據(jù)P，Q兩點均向左運動，得出P表示的數(shù)是，Q表示的數(shù)是，根據(jù)，分兩種情況列出關于t的方程或，解方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，．（2）解：的值不變，理由如下：∵點C在點A的左側運動，M是的中點，∴M表示的數(shù)是，∴，，∴，∴的值為15；

（3）解：P，Q兩點均向左運動，則P表示的數(shù)是，Q表示的數(shù)是，∵，∴或，解得或，∴當時，的值是20或10．【點睛】本題主要考查了絕對值的非負性，數(shù)軸上兩點之間的距離，用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，一元一次方程的應用，解題的關鍵是數(shù)形結合，注意進行分類討論．2．（2023秋·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期中）已知點A、在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為、，且，，點A、之間的距離記作，(1)線段的長為___________；（直接寫出結果）(2)若動點在數(shù)軸上對應的數(shù)為，①當點是線段上一點，，則點表示的數(shù)為__________；此時____________；（直接寫出結果）②當時，求的值；③當動點在點A的左側，、分別是、的中點，在運動過程中的值是否發(fā)現(xiàn)變化？若不變，求出其值，若變化，請求出變化范圍．【答案】(1)12(2)①6；12；②或；③在運動過程中的值不變，且其值為3【分析】（1）根據(jù)，，求出的長即可；（2）①根據(jù)點是線段上一點，得出，根據(jù)，求出，求出點P表示的數(shù)即可；②分兩種情況討論，點P在點A的左邊時，點P在點B的右邊時，分別列出方程，求出結果即可；③設點P表示的數(shù)為m，點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，根據(jù)動點在點A的左側，得出點M、N都在點P的右側，求出，，得出即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，故答案為：．（2）解：①∵點是線段上一點，∴，∵，∴，∴點P表示的數(shù)為：；故答案為：6；12．②當點P在點A的左邊時，根據(jù)題意得：，解得：；當點P在點B的右邊時，根據(jù)題意得：，解得：；綜上分析可知，或；③在運動過程中的值不變，且其值為3；設點P表示的數(shù)為m，點M表示的數(shù)為，點N表示的數(shù)為，∵動點在點A的左側，∴點M、N都在點P的右側，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，用數(shù)軸上點表示有理數(shù)，動點問題，解題的關鍵是熟練掌握數(shù)軸上點的特點．3．（2023秋·重慶巴南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，且，我們把數(shù)軸上任意兩點、之間的距離記作．(1)求和的值，并求點、之間的距離；(2)設動點從數(shù)對應的點開始向右運動．速度為每秒2個單位長度．同時點、在數(shù)軸上運動，點的速度是每秒3個單位長度，點是每秒4個單位長度，設運動時間為秒．①若點向右運動，點向左運動，且．求的值：②若點向左運動，點向右運動，若的值不隨時間的變化而改變，求的值．【答案】(1)，，(2)①或；②15【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負性求出和的值，即可解答；（2）①當運動時間為秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，根據(jù)，解方程即可求出的值；②當運動時間為秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，已知點恒在點左側，點恒在點右側，得到，，根據(jù)的值不隨時間的變化而改變，得到，解方程即可求出的值【詳解】（1）∵，∴，，∴（2）①當運動時間為秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，∵，∴，∴或，解得：或．∴的值為或；②當運動時間為秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，由題意可知點恒在點左側，點恒在點右側，∴，，∴．∵的值不隨時間的變化而改變，∴，∴．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用、數(shù)軸以及多項式的定義，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出一元一次方程．【考點三數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】例題：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，使表示數(shù)1的點與表示數(shù)﹣1的點重合，則此時表示數(shù)4的點與表示數(shù)的點重合；(2)操作二：折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，回答下列問題：①表示數(shù)9的點與表示數(shù)的點重合；②若這樣折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側），求A，B兩點所表示的數(shù)分別是多少？③在②的條件下，在數(shù)軸上找到一點P，設點P表示的數(shù)為x．當PA+PB＝12時，直接寫出x的值．【答案】(1)-4(2)①-5；②A、B兩點表示的數(shù)分別是-3，7；③x的值為-4或8．【分析】（1）先求出中心點，再求出對應的數(shù)即可；（2）①求出中心點是表示2的點，再根據(jù)對稱求出即可；②求出中心點是表示2的點，求出A、B到表示2的點的距離是5，即可求出答案；③根據(jù)點P在數(shù)軸上的位置，分類討論，當點P在點A的左側時，當點P在點A、B之間時，當點P在點A的右側時，根據(jù)各種情形求解即可．【詳解】（1）解：∵折疊紙面，使數(shù)字1表示的點與-1表示的點重合，可確定中心點是表示0的點，∴4表示的點與-4表示的點重合，故答案為∶-4；（2）解：①∵折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，可確定中心點是表示2的點，∴表示數(shù)9的點與表示數(shù)-5的點重合；故答案為∶-5；②∵折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側），∴A、B兩點距離中心點的距離為10÷2=5，∵中心點是表示2的點，∴A、B兩點表示的數(shù)分別是-3，7；③當點P在點A的左側時，∵PA+PB＝12，∴-3-x+7-x=12，解得x=-4；當點P在點A、B之間時，此時PA+PB=12不成立，故不存在點P在點A、B之間的情形；當點P在點A的右側時，∵PA+PB＝12，∴x-(-3)+x-7=12，解得x=8，綜上x的值為-4或8．【點睛】本題考查了數(shù)軸的應用，能求出折疊后的中心點的位置是解此題的關鍵．【變式訓練】1．已知在數(shù)軸上A，B兩點對應數(shù)分別為﹣2，6．(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標出點A、點B；(2)若同一時間點M從點A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向右運動，點N從點B出發(fā)以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左運動，點P從原點出發(fā)以2個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運動．①若點P向右運動，幾秒后點P到點M、點N的距離相等？②若點P到A的距離是點P到B的距離的三倍，我們就稱點P是【A，B】的三倍點．當點P是【B，A】的三倍點時，求此時P對應的數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)①秒或2秒后點P到點M、點N的距離相等，②P對應數(shù)-6或0．【分析】（1）畫出數(shù)軸，找出A、B所對應的點即可；（2）①根據(jù)兩點間距離表示出MP=2t+2－t=t+2．當點P在點N左側時，NP=6－5t；當點P在點N左右側時，NP=5t－6，計算即可；②根據(jù)點P是【B，A】的三倍點，可得PB=3PA．分情況討論：當點P在A點左側時，求出點P對應數(shù)-6；當點P在A、B之間時，求出點P對應數(shù)0，綜上可知點P對應數(shù)-6或0．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：①MP=2t+2－t=t+2．當點P在點N左側時，NP=6－5t；當點P在點N左右側時，NP=5t－6∴t+2=6－5t，得：t=；或t+2=5t－6，得：t=2．即秒或2秒后點P到點M、點N的距離相等，②∵點P是【B，A】的三倍點，∴PB=3PA．當點P在A點左側時，AB=2PA=8，∴PA=4，點P對應數(shù)-6；當點P在A、B之間時，AB=4PA=8，∴PA=2，點P對應數(shù)0，綜上可知點P對應數(shù)-6或0．【點睛】本題考查數(shù)軸，解題的關鍵是掌握數(shù)軸的三要素及畫法，數(shù)軸上兩點之間的距離，注意對于動點問題需要進行分情況討論．2．如圖，已知為數(shù)軸上的兩個點，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是20．(1)直接寫出線段的中點對應的數(shù)；(2)若點在數(shù)軸上，且，直接寫出點對應的數(shù)；(3)若熊大從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向右前進8個單位長度；同時熊二從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進12個單位長度它們在點處相遇，求點對應的數(shù)；(4)若熊大從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進8個單位長度；同時熊二從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進12個單位長度，當它們在數(shù)軸上相距20個單位長度時，求熊大所在位置點對應的數(shù)．【答案】(1)線段的中點對應的數(shù)為(2)點對應的數(shù)為或50(3)點對應的數(shù)為(4)熊大所在位置點對應的數(shù)為或【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上線段中點所對應的數(shù)計算方法進行計算即可；（2）分兩種情況進行解答，即點在點的左側或右側，列式計算即可；（3）求出相遇的時間，再根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的方法進行計算即可；（4）分追及前相距20和追及后相距20兩種情況進行解答，設未知數(shù)，根據(jù)速度、時間、路程之間的關系列方程求解即可．【詳解】（1）解：線段的中點對應的數(shù)為，答：線段的中點對應的數(shù)為；（2）解：當點在點的左側時，點所對應的數(shù)為：，當點在點的右側時，點所對應的數(shù)為：，答：點對應的數(shù)為或50；（3）解：設相遇時間為s，由題意得，，解得，點對應的數(shù)為；（4）解：追及前相距20，設行駛的時間為s，由題意得，，解得，此時熊大所在位置點對應的數(shù)為，追及后相距20，設行駛的時間為s，由題意得，，解得，此時熊大所在位置點對應的數(shù)為，答：熊大所在位置點對應的數(shù)為或．【點睛】本題考查數(shù)軸，理解數(shù)軸表示數(shù)的方法，掌握速度、時間、路程之間的關系是解決問題的關鍵．3．（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習）定義：對于數(shù)軸上的三點，若其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關系．如下圖，數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B就是點A，C的一個“關聯(lián)點”．(1)寫出點A，C的其他三個“關聯(lián)點”所表示的數(shù)：______、______、______．(2)若點M表示數(shù)，點N表示數(shù)4，數(shù)，，0，2，10所對應的點分別是，，，，，其中不是點M，N的“關聯(lián)點”是點______．(3)若點M表示的數(shù)是，點N表示的數(shù)是10，點P為數(shù)軸上的一個動點．①若點P在點N左側，且點P是點M，N的“關聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．②若點P在點N右側，且點P，M，N中，有一個點恰好是另外兩個點的“關聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．【答案】(1)、2、7；(2)．(3)①，，；②，，．【分析】（1）根據(jù)“關聯(lián)點”的概念即可解得．（2）根據(jù)“關聯(lián)點”的概念逐個點計算即可解得（3）①根據(jù)“關聯(lián)點”的概念表示出距離，根據(jù)2倍的數(shù)量關系列式即可解得．②根據(jù)“關聯(lián)點”的概念表示出距離，分四種情況進行解答．【詳解】（1）解：，，2是A，C的一個“關聯(lián)點”，設是A，C的一個“關聯(lián)點”，解得，設是A，C的一個“關聯(lián)點”，解得，A，C的其他三個“關聯(lián)點”所表示的數(shù)為：、2、7；（2）∵，，∴是關聯(lián)點，∵，，∴不是關聯(lián)點，∵，，∴是關聯(lián)點，∵，，∴是關聯(lián)點，∵，，∴是關聯(lián)點，故答案為：．（3）①若點P在點N左側且在M的右側，設點P表示的數(shù)為，當解得，當解得，若點P在M點左側，設點P表示的數(shù)為，∴解得，綜上所述：P表示的數(shù)為：；②若點P在點N右側，設點P表示的數(shù)為，當時，則解得，當時，則解得，當時，則解得，當時，則解得，綜上所述：P表示的數(shù)為：，．【點睛】此題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用，解題的關鍵是理解“關聯(lián)點”的概念，讀懂題意并根據(jù)題意列出方程．4．（2022秋·山東濟南·七年級統(tǒng)考期中）已知關于x的代數(shù)式不含三次項，且二次項系數(shù)為，數(shù)軸上兩點所對應的數(shù)分別是和．(1)＝，＝，兩點之間的距離為；(2)有一動點從點出發(fā)第一次向左運動1個單位長度，然后在新的位置第二次運動，向右運動2個單位長度，在此位置第三次運動，向左運動3個單位長度……按照如此規(guī)律不斷地左右運動，求點運動到第2023次時所對應的有理數(shù)；(3)在（2）的條件下，點會不會在某次運動時恰好到達某一個位置，使點到點的距離是點到點的距離的3倍？若可能請求出此時點的位置，若不可能請說明理由．【答案】(1)?4，8，12(2)(3)會，P點對應的數(shù)為?10或?1【分析】（1）根據(jù)不含三項式的定義得出，由此得出a的值，然后由多項式的系數(shù)的定義得到b的值，則易求線段的值；（2）根據(jù)題意得到點P每一次運動后所在的位置，然后由有理數(shù)的加法進行計算即可；（3）設點P對應的有理數(shù)的值為x，分情況進行解答：點P在點A的左側，點P在點A、B之間，點P在點B的右側三種情況．【詳解】（1）∵不含三次項，且二次項系數(shù)為，∴則∴A、B兩點之間的距離為故答案為-4；8；12（2）由題意可得：；（3）由題意知，P點不可能在B點的右側，①當P點在A點的左側時，∵，∴，∴，∴P點對應的數(shù)是?10；②當P點在之間時，∵，∴，∴，∴P點對應的數(shù)是?1；∴P點對應的數(shù)為?10或?1．【點睛】此題主要考查了數(shù)軸和兩點間的距離公式，運用分類討論是解題的關鍵．【考點四數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】例題：（2023春·湖北武漢·七年級校聯(lián)考階段練習）數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離．因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應的點與所對應的點之間的距離．(1)探究問題：如圖，數(shù)軸上，點A，B，P分別表示數(shù)，2，x．

填空：因為的幾何意義是線段與的長度之和，而當點P在線段上時，，當點P在點A的左側或點B的右側時，．所以的最小值是______；(2)解決問題：①直接寫出式子的最小值為_______；②直接寫出不等式的解集為_______；③當a為_______時，代數(shù)式的最小值是2．（直接寫出結果）【答案】(1)3(2)①6；②或；③或【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；（2）①把原式轉化看作是數(shù)軸上表示x的點與表示4與的點之間的距離最小值，進而問題可求解；②根據(jù)題意畫出相應的圖形，然后根據(jù)數(shù)軸可直接進行求解；③根據(jù)原式的最小值為2，得到表示3的點的左邊和右邊，且到3距離為2的點即可．【詳解】（1）解：當點P在點A的左側或點B的右側時，．所以的最小值是3；故答案為：3；（2）解：①，表示到與到的距離之和，

點在線段上，，當點在點的左側或點的右側時，，∴的最小值是6；故答案為：6；②如圖所示，滿足，表示到和1距離之和大于4的范圍，

當點在和1之間時，距離之和為4，不滿足題意；當點在的左邊或1的右邊時，距離之和大于4，則范圍為或；故答案為：或；③當為或時，代數(shù)式為或，∵數(shù)軸上表示數(shù)1的點到表示數(shù)3的點的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)5的點到表示數(shù)3的點的距離也為，因此當為或時，原式的最小值是．故答案為：或．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點問題及數(shù)軸上兩點之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離問題是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022秋·江蘇·七年級期中）我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離：因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應的點與－1所對應的點之間的距離．（?。┌l(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？（ⅱ）探究問題：如圖，點A、B、P分別表示數(shù)－1、2、x，AB＝3∵的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，∴當點P在線段AB上時，PA＋PB＝3，當點P在點A的左側或點B的右側時，PA＋PB＞3∴的最小值是3請你根據(jù)上述自學材料，探究解決下列問題：(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；(3)當a為何值時，代數(shù)式的最小值是2【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6【分析】（1）把原式轉化看作是數(shù)軸上表示x的點與表示3與-2的點之間的距離最小值，進而問題可求解；（2）根據(jù)題意畫出相應的圖形，然后根據(jù)數(shù)軸可直接進行求解；（3）根據(jù)原式的最小值為2，得到表示4的點的左邊和右邊，且到4距離為2的點即可．【詳解】（1）解：，表示到與到的距離之和，點在線段上，，當點在點的左側或點的右側時，，的最小值是5；（2）解：如圖所示，滿足，表示到和1距離之和大于4的范圍，當點在和1之間時，距離之和為4，不滿足題意；當點在的左邊或1的右邊時，距離之和大于4，則范圍為或；（3）解：當為或時，代數(shù)式為或，數(shù)軸上表示數(shù)2的點到表示數(shù)4的點的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)6的點到表示數(shù)4的點的距離也為，因此當為或時，原式的最小值是．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點問題及數(shù)軸上兩點之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離問題是解題的關鍵．3．（2023·全國·七年級專題練習）在數(shù)學問題中，我們常用幾何方法解決代數(shù)問題，借助數(shù)形結合的方法使復雜問題簡單化．材料一：我們知道|a|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離；|a﹣b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，b的兩點之間的距離；|a+b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，﹣b的兩點之間