第5課工程技術中函數(shù)和經(jīng)濟函數(shù)的建立課題建立函數(shù)關系課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：1．掌握函數(shù)關系的建立方法2．掌握工程技術中函數(shù)的建立3．掌握經(jīng)濟函數(shù)的建立4．掌握用MATLAB繪制函數(shù)圖像的方法思政育人目標：培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；通過實際案例，引導學生運用所學知識揭示生活中的奧秘，在實踐中深化認識，達到學以致用的目的教學重難點教學重點：函數(shù)關系建立的方法教學難點：實際問題和工程問題的函數(shù)關系的建立教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第一節(jié)課：課前任務→考勤（2min）→講授新課（43min）第二節(jié)課：課堂測驗（10min）→數(shù)學實驗（32min）→課堂小結（3min）→課后拓展教學過程主要教學內(nèi)容及步驟設計意圖第一節(jié)課課前任務【教師】和學生負責人取得聯(lián)系，布置課前任務，提醒同學做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【學生】做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學習軟件，布置課前問答題：什么是數(shù)學建模？如何在實際生活中應用數(shù)學？【學生】提前上網(wǎng)搜索了解，查閱資料，了解問題，熟悉教材通過課前的預熱，讓學生了解所學科目的大概方向，激發(fā)學生的學習欲望考勤（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況講授新課（23min）【教師】通過例題講解建立函數(shù)關系的方法，以及工程技術中函數(shù)的建立在運用數(shù)學知識解決實際問題時，常常要先用數(shù)學語言描述實際問題，也就是建立問題中變量之間的函數(shù)關系，即建立該實際問題的數(shù)學模型，然后進行分析并解決問題．由于實際問題各不相同，因此應先明確問題中的自變量和因變量，再運用數(shù)學及相關專業(yè)知識，分析各變量之間的數(shù)量關系，列出函數(shù)關系式，并根據(jù)實際背景確定函數(shù)的定義域．下面通過幾個實例介紹如何建立變量之間的函數(shù)關系．例1建筑工程中采石或取土時，常用炸藥包進行爆破．實踐表明，爆破部分呈倒立圓錐形狀，如圖1-23所示．圓錐的母線長度即爆破作用半徑L，它是一定的，圓錐的底面半徑即漏斗底半徑為r，試求炸藥包爆破體積與埋藏深度之間的函數(shù)關系例1圖1-23解由圖1-23可知．因為圓錐的體積公式為，所以將代入體積公式，可得炸藥包爆破體積與埋藏深度之間的函數(shù)關系為，．例2一條橫斷面為等腰梯形的排水渠道，底寬為，邊坡1∶1（即坡角），如圖1-24所示．在過水斷面（即垂直于水流的橫斷面）的面積一定的條件下，試建立渠道的濕周（即水流與界壁接觸的長度）與水深之間的函數(shù)關系．例2圖1-24解由已知可得．因為，又因為過水斷面的面積一定，即為常量，所以可求得．將上式代入濕周的表達式，便得到濕周與水深的函數(shù)關系式，即為．由于底寬總是取正，即，即，則或，又由于水深總是取正的，即，因此濕周與水深的函數(shù)定義域為．例3電力部門規(guī)定：當居民每月用電量不超過30度時，按每度0.5元收費；當用電量超過30度但不超過60度時，超過的部分按每度0.6元收費；當用電量超過60度時，超過部分按每度0.8元收費．試建立居民月用電費G與月用電量W例3解當時，；當時，；當時，．因此，居民月用電費G與月用電量W之間的函數(shù)關系為例4彈簧在汽車懸吊系統(tǒng)中廣泛應用，在彈性限度內(nèi)，彈簧伸長量與受力大小成正例4解設彈簧受力為FN時，其伸長量為lm，由題意可知，其中k為比例常數(shù)．根據(jù)已知條件，將，代入上式得，解得．因此，該彈簧的伸長量l與受到的力F之間的函數(shù)關系為．【教師】講解需求函數(shù)，并通過例題介紹其建立和應用需求（量）是指在一定的價格條件下，消費者對某種商品有支付能力購買的商品量．人們對某一商品的需求受許多因素的影響，如商品的價格、質量，消費者的收入、偏好等．其中，商品的價格是影響需求量的主要因素，若把其他因素視為常量，則市場對某商品的需求量Q是商品價格p的函數(shù)．這個函數(shù)就是一個需求函數(shù)，它可表示為．一般來說，在商品量一定的情況下，商品價格越低，需求量越大；商品價格越高，需求量越小．因此，通常需求量是價格的單調(diào)減函數(shù)．常見的需求函數(shù)有如下三種形式：線性需求函數(shù)：；二次需求函數(shù)：；指數(shù)需求函數(shù)：．例1例1解設該商品的線性需求函數(shù)為．由題意可知，當時，；當時，．將其分別代入得解得．因此，所求的線性需求函數(shù)為．【教師】講解供給函數(shù)的概念和作用某商品的市場供給量S受商品價格的影響，價格上漲將刺激生產(chǎn)者向市場提供更多的商品，從而使供給量增加，價格下跌將使供給量減少．供給量S是商品價格p的函數(shù)，稱為供給函數(shù)，記作．供給量S是價格p的單調(diào)增函數(shù)．一般地，使某種商品的市場需求量與供給量相等的價格稱為均衡價格．當價格時，商品供不應求，商品的價格有上升的趨勢；當價格時，商品供過于求，商品的價格有下降的趨勢；當價格在處時，供給量等于需求量．這就體現(xiàn)了價格的市場調(diào)節(jié)作用．【教師】講解成本函數(shù)的概念和表示方法總成本C是指用于生產(chǎn)的總費用，它由固定成本和可變成本構成．固定成本是指在一定時期內(nèi)，不受產(chǎn)量變動影響的成本，如廠房、設備等費用．可變成本是指隨產(chǎn)量變化而變化的成本，如工人的工資、原材料費用等．因此，總成本C是產(chǎn)量q的函數(shù)．成本函數(shù)可表示為．平均成本函數(shù)（也叫單位成本函數(shù)）可表示為．【教師】講解收入函數(shù)和利潤函數(shù)的概念，并通過例題介紹其建立和應用總收入R是指生產(chǎn)者將產(chǎn)品售出后的全部所得，總收入等于產(chǎn)品的單價p與銷售量q的乘積．假設銷售過程中價格p不變，則總收入是銷售量q的函數(shù)，即，稱為收入函數(shù)．為了研究問題的方便，我們假設生產(chǎn)的產(chǎn)量全部銷售出去，即產(chǎn)量銷售量q．那么，總利潤L就是總收入R減去總成本C，即．所以，總利潤是產(chǎn)量或銷售量q的函數(shù)，稱為利潤函數(shù)．例2某廠生產(chǎn)一種元器件，每日最多生產(chǎn)200件．每日的固定成本為240元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的可變例2（1）該廠日總成本函數(shù)、日總收入函數(shù)和日總利潤函數(shù)；（2）日產(chǎn)量為100件時的總成本和平均成本；（3）該廠每日至少生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，才不虧本．解（1）日總成本函數(shù)為，．日總收入函數(shù)為，．日總利潤函數(shù)為，．（2）日產(chǎn)量為100件時的總成本為（元）．日產(chǎn)量為100件時的平均成本為（元/件）．（3）若不虧本，則利潤至少為零．于是令，得件，即該廠每日至少生產(chǎn)60件產(chǎn)品，才不虧本．例3已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為，該產(chǎn)品的價格p與銷售量q的關系為，求總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)．例3解總收入函數(shù)為．總利潤函數(shù)為．【教師】講解單利計算公式和復利計算公式，并通過例題介紹其應用利息是資金所有者因向資金使用者借出資金而取得的報酬，它是根據(jù)本金的數(shù)額按一定比例計算出來的，常用的計息方式有單利和復利．1．單利計算公式設初始本金為，計息期（如1年）的利率為r，則第1年末的本利和為；第2年末的本利和為；……第n年末的本利和為．2．復利計算公式設初始本金為，計息期（如1年）的復利率為r，則第1年末的本利和為；第2年末的本利和為；……第n年末的本利和為．例4例4（1）按單利計算，5年末的本利和是多少？（2）按復利計算，5年末的本利和又是多少？解由題意可知，．（1）按單利計算，5年末的本利和為（元）．（2）按復利計算，5年末的本利和為（元）．利息是資金時間價值的一種表現(xiàn)形式，復利計息更好地體現(xiàn)了資金的時間價值，而且結算周期越短，越能體現(xiàn)資金的時間價值．設初始本金為，計息期（如1年）的利率為r，若每個計息期結算n次，則m個計息期的本利和為．例5初始本金例5（1）復利計息，1年結算1次；（2）復利計息，3個月結算1次．解（1）復利計息，1年結算1次，5年后的本利和為（元）．（2）復利計息，3個月結算1次，5年后的本利和為（元）．【學生】掌握建立經(jīng)濟函數(shù)的相關知識；掌握建立函數(shù)關系的方法，以及工程技術中函數(shù)的建立學習建立函數(shù)關系的方法，工程技術中函數(shù)的建立，以及建立經(jīng)濟函數(shù)的相關知識。邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化第二節(jié)課課堂測驗（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生加入測試。【教師】從教材配套題庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學習情況【學生】做測試題目【教師】公布正確答案，演示正確解法【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象數(shù)學實驗（32min）?使用MATLAB進行數(shù)學實驗【教師】介紹MATLAB軟件MATLAB是美國MathWorks公司開發(fā)的軟件，它具有強大的數(shù)值計算、符號計算和圖形繪制等功能，其清晰明了的操作界面及接近數(shù)學表達式的自然化語言，使初學者易于學習和掌握．MATLAB可以方便、快捷地計算很多復雜的數(shù)學問題，使人們避免了煩瑣的計算．例如，它可以進行多項式的計算以及代數(shù)式的進一步化簡；進行代數(shù)方程和微分方程的求解；可以求極限、導數(shù)、積分，進行冪級數(shù)的展開等．這些運算功能將在后續(xù)章節(jié)中進行介紹．【教師】演示MATLAB的啟動，并介紹其操作界面MATLAB軟件安裝之后，一般會在桌面生成快捷方式．雙擊圖標即可啟動MATLAB軟件．啟動MATLAB軟件之后，可以看到MATLAB的操作界面．該操作界面是一個高度集成的工作界面，常用的區(qū)域有菜單欄、命令窗口（CommandWindow）、當前路徑窗口（CurrentDirectory）、工作空間（Workspace）、歷史命令窗口（CommandHistory），如圖1-26所示．歷史命令窗口命令窗口菜單欄歷史命令窗口命令窗口菜單欄工作空間圖1-26【教師】演示MATLAB的基本操作MATLAB語言是一種表達式語言，用戶所輸入的表達式將被MATLAB系統(tǒng)解釋并求值．具體操作就是在命令窗口輸入函數(shù)、矩陣、表達式等信息，單擊回車鍵后就可執(zhí)行了．我們先認識MATLAB中常用的基本運算符，如表1-2所示．表1-2例1計算．例1解在命令窗口輸入：>>1.5^3-sin(pi)/3+sqrt(5)回車，輸出結果為ans=5.6111【教師】演示用MATLAB繪制函數(shù)圖像MATLAB具有強大的作圖功能，無論是二維圖像還是三維圖像，作圖方法都非常簡單．它是通過描點、連線來實現(xiàn)的，故在畫一個圖形之前，必須先取得該圖形上一系列點的坐標，然后將該點集的坐標傳給MATLAB函數(shù)作圖．在作圖過程中，數(shù)據(jù)點通過向量或矩陣的形式給出．1）利用MATLAB作二維圖形（1）矩陣的輸入法．在MATLAB輸入矩陣時，將矩陣的所有元素用方括號括起來，按矩陣行的順序輸入各元素．同一行的各元素之間用空格或逗號分隔，不同行的元素之間用分號分隔．例如，>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]A=123456789（2）冒號表達式．在MATLAB中利用冒號可以產(chǎn)生行向量．冒號表達式的一般格式為a:b:c其中，a為初始值，b為步長，c為終止值．冒號表達式可產(chǎn)生一個由a開始到c結束、以步長b自增的行向量．例如，>>t=0:2:10t=0246810（3）矩陣乘法．在用MATLAB進行矩陣A和B的乘法運算時，要求A的列數(shù)與B的行數(shù)相等，如果不滿足這個條件，就會給出錯誤信息，此時提示用戶兩個矩陣是不可乘的．例如，>>A=[1,2,3;4,5,6];B=A*A錯誤使用*內(nèi)部矩陣維度必須一致．在MATLAB中，還可以進行矩陣和數(shù)的乘法運算．矩陣和數(shù)相乘是矩陣中的每個元素與這個數(shù)相乘．例如，>>A=[1,2,3;4,5,6];>>5*Aans=51015202530（4）點運算．兩矩陣進行點運算是指它們對應的元素之間進行相關運算，要求兩矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相同．點運算符有“.*”，“./”和“.^”．例如，>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];>>B=[-1,0,1;1,-1,0;0,1,1];>>C=A.*BC=-1034-50089（5）繪制二維圖形．在MATLAB軟件中，plot函數(shù)是繪制二維圖形最常用的函數(shù)．它有多種語法格式，可以實現(xiàn)多種功能，最基本的語法格式是plot(x,y)例2繪制函數(shù)在區(qū)間的圖形．例2圖1-27解圖1-27>>x=-10*pi:0.1:(10*pi);>>y=sin(x)./x;>>plot(x,y)運行結果得到的圖形如圖1-27所示．2）利用MATLAB作三維圖形在MATLAB中繪制三維網(wǎng)格圖時，先要生成在x-y平面的網(wǎng)格數(shù)據(jù)，再以一組z軸的數(shù)據(jù)對應這個二維的網(wǎng)格，最后調(diào)用繪圖函數(shù)繪制．（1）產(chǎn)生三維數(shù)據(jù)．在MATLAB中產(chǎn)生三維數(shù)據(jù)的方法是：將x方向的區(qū)間分成份，將y方向的區(qū)間分成份；再根據(jù)各劃分點分別作平行于兩坐標軸的直線，將區(qū)域分成個小矩形，生成代表每個小矩形頂點坐標的平面網(wǎng)格坐標矩陣；最后求對應網(wǎng)格坐標的Z矩陣．MATLAB中的meshgrid函數(shù)可以將向量轉換為矩陣，它的調(diào)用格式為[X,Y]=meshgrid(x,y);其中，x，y為向量．語句執(zhí)行后，矩陣X的每一行都是向量x，行數(shù)等于向量y的元素的個數(shù)；矩陣Y的每一列都是向量y，列數(shù)等于向量x元素的個數(shù)．根據(jù)每個網(wǎng)格點上的x，y坐標求函數(shù)值，則得到函數(shù)值矩陣Z．矩陣X，Y，Z的對應元素構成了曲面上的點集．例如，>>[x,y]=meshgrid(1:1:3,4:1:7)x=123123123123y=444555666777如果，則對應的點集為，，，，，，，，，，，．將對應的點在空間中畫出來，即可得到函數(shù)的部分圖像．（2）繪制三維圖形．在MATLAB軟件中，使用mesh函數(shù)可以實現(xiàn)三維圖形的繪制，它的調(diào)用格式為mesh(x,y,z)例3繪制二元函數(shù)在矩形區(qū)域

內(nèi)的圖像．例3解在命令窗