第九單元微分方程主要內(nèi)容學(xué)習(xí)要求典型例題基本概念一階方程

類型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.可化為齊次方程5.全微分方程6.線性方程可降階方程線性方程解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)特征方程的根及其對(duì)應(yīng)項(xiàng)f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數(shù)法特征方程法一、主要內(nèi)容(1)可分離變量的微分方程解法分離變量法1、一階微分方程的解法(2)齊次方程解法作變量代換(3)一階線性微分方程上方程稱為齊次的．上方程稱為非齊次的.齊次方程的通解為(使用分離變量法)解法非齊次微分方程的通解為（常數(shù)變易法）2、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):3、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.特征方程為4、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法

待定系數(shù)法.二、學(xué)習(xí)要求了解線性微分方程解的結(jié)構(gòu).掌握二階可降階的微分方程及其解法，能熟練地求解二階常系數(shù)的齊次線性微分方程，并會(huì)求非齊次的特解。理解常微分方程的通解及特解的概念，會(huì)解一階可分離變量的微分方程，齊次微分方程與一階線性微分方程。三、典型例題分析例1解求下列微分方程的通解方程1),2),3)為可分離變量方程,4)為線性微分方程通解為

通解為通解為

通解為4)直接法4)公式法對(duì)應(yīng)齊次方程為代入原方程并化簡(jiǎn)為設(shè)原方程解為(常數(shù)變異法)，則例2解解下列微分方程1).整理方程為所以方程的解為2).方程兩邊求導(dǎo)得又因?yàn)?設(shè)y=f(x)所以所以原方程的解為例3求下列微分方程的通解解1)對(duì)應(yīng)特征方程為

通解為2)對(duì)應(yīng)特征方程為

通解為3)對(duì)應(yīng)特征方程為

通解為4)對(duì)應(yīng)特征方程為

通解為例4寫出下列二階非齊次微分方程應(yīng)設(shè)的特解形式解1)對(duì)應(yīng)特征方程為因?yàn)?0不是特征方程的根，

設(shè)特解為2)對(duì)應(yīng)特征方程為因?yàn)?1是特征方程的二重根，

設(shè)特解為3)對(duì)應(yīng)特征方程為因?yàn)?0i不是特征方程的根，

設(shè)特解為4)對(duì)應(yīng)特征方程為因?yàn)?0是特征方程的根，

設(shè)特解為例5解下列微分方程解1)對(duì)應(yīng)齊次方程為解,其特征方程為

通解為設(shè)特解為代入原方程得

原方程通解為2)對(duì)應(yīng)齊次方程為解,其特征方程為

通解為設(shè)特解為代入原方程得

原方程通解為例6解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為由解得所以原方程滿足初始條件的特解為習(xí)題:12-2:1,212-4:1,2