2019年人教版九年級數(shù)學(xué)下冊28.1第3課時特殊角的三角函數(shù)值

28．1銳角三角函數(shù)

第3課時特殊角的三角函數(shù)

1．經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義；(重點(diǎn))

2．能夠進(jìn)行30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算；(重點(diǎn))

3．能夠結(jié)合30°、45°、60°的三角函數(shù)值解決簡單實(shí)際問題．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

問題1：一個直角三角形中，一個銳角的正弦、余弦、正切值是怎么定義的？

問題2：兩塊三角尺中有幾個不同的銳角？各是多少度？設(shè)每個三角尺較短的邊長為1，分別求出這幾個銳角的正弦值、余弦值和正切值．

二、合作探究

探究點(diǎn)一：特殊角的三角函數(shù)值

【類型一】利用特殊的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算

計(jì)算：

(1)2cos60°?sin30°－6sin45°?sin60°；

(2)sin30°－sin45°cos60°＋cos45°.

解析：將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．

解：(1)原式＝2×12×12－6×22×32＝12－32＝－1；

(2)原式＝12－2212＋22＝22－3.

方法總結(jié)：解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第4題

【類型二】已知三角函數(shù)值求角的取值范圍

若cosα＝23，則銳角α的大致范圍是()

A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°

C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°

解析：∵cos30°＝32，cos45°＝22，cos60°＝12，且12＜23＜22，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴銳角α的范圍是45°＜α＜60°.故選C.

方法總結(jié)：解決此類問題要熟記特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)的增減性．

【類型三】根據(jù)三角函數(shù)值求角度

若3tan(α＋10°)＝1，則銳角α的度數(shù)是()

A．20°B．30°C．40°D．50°

解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝33，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故選A.

方法總結(jié)：熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第9題

探究點(diǎn)二：特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用

【類型一】利用三角形的邊角關(guān)系求線段的長

如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是邊AB上一點(diǎn)，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的長．

解析：由題意可知△BCD為等腰直角三角形，則BD＝BC，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長即可．

解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD為等腰直角三角形，∴BD＝BC.在Rt△ABC中，tan∠A＝tan30°＝BCAB，即BCBC＋4＝33，解得BC＝2(3＋1)．

方法總結(jié)：在直角三角形中求線段的長，如果有特殊角，可考慮利用三角函數(shù)的定義列出式子，求出三角函數(shù)值，進(jìn)而求出答案．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第2題

【類型二】判斷三角形的形狀

已知△ABC中的∠A與∠B滿足(1－tanA)2＋|sinB－32|＝0，試判斷△ABC的形狀．

解析：根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出tanA及sinB的值，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A及∠B的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解：∵(1－tanA)2＋|sinB－32|＝0，∴tanA＝1，sinB＝32，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是銳角三角形．

方法總結(jié)：一個數(shù)的絕對值和偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的絕對值或偶次方相加和為0時，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題

【類型三】構(gòu)造三角函數(shù)模型解決問題

要求tan30°的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜邊AB＝2，直角邊AC＝1，那么BC＝3，∠ABC＝30°，∴tan30°＝ACBC＝13＝33.在此圖的基礎(chǔ)上，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，探究tan15°與tan75°的值．

解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及勾股定理首先求出CD的長，進(jìn)而得出tan15°＝CDBC，tan75°＝BCCD求出即可．

解：作∠B的平分線交AC于點(diǎn)D，作DE⊥AB，垂足為E.∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.設(shè)CD＝x，則AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－3.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－3)2＝(1－x)2，解得x＝23－3，∴tan15°＝23－33＝2－3，tan75°＝BCCD＝323－3＝2＋3.

方法總結(jié)：解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造含有15°和75°的直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出15°和75°的三角函數(shù)值．

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第2題

三、板書設(shè)計(jì)

1．特殊角的三角函數(shù)值：

30°45°60°

sinα12

22

32

cosα32

22

12

tanα33

13

2.