考點(diǎn)27圓錐曲線的綜合問(wèn)題1.【2020新高考Ⅰ卷】已知曲線C:mx2+ny2A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為n

C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±?mnx

D.若【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查圓錐曲線的相關(guān)概念，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．

根據(jù)m，n的范圍，結(jié)合橢圓、雙曲線、圓及直線的標(biāo)準(zhǔn)方程一一判斷即可．【解答】

解：當(dāng)m,n≠0時(shí)，mx2+ny2=1可化為x21m+y21n=1，

若m>n>0，則1m<1n，故x21m+y21n=1表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，故A正確；

若m=n>0，mx2+ny2故選ACD．2.【2020全國(guó)Ⅱ卷】已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過(guò)F且與x(1)求C1(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若MF=5，求C1【答案】解：(1)?∵F為橢圓C1的右焦點(diǎn)，且AB垂直x軸，∴F(c,0)，AB設(shè)拋物線C2方程為y2=2px(p>0)，

∵F為拋物線C2的焦點(diǎn)，且∴F(p2,0)，∵CD=43AB，C整理得4c=8b23a設(shè)C1的離心率為e，則2e2+3e?2=0，解得e=1故橢圓C1的離心率為1(2)由(1)知a=2c，b=3c，p=2c，

∴C1：x聯(lián)立兩曲線方程，消去y得3x2+16cx?12c∴x=23c或x=?6c(舍)，

所以C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為x2【解析】本題主要考查橢圓和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．(1)根據(jù)題意，列出橢圓a,b,c之間的齊次方程，求出離心率；(2)由(1)可設(shè)C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程，聯(lián)立求出M的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線焦半經(jīng)公式，即可求出c的值，從而得到C13.【2020浙江】如圖，已知橢圓C1：x22+y2=1，拋物線C2：y2=2px(p>0)，點(diǎn)A是橢圓C1與拋物線C2的交點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A的直線l交橢圓C1于點(diǎn)B，交拋物線C2于點(diǎn)M(B,M不同于A)．

(1)若p=116【答案】解：(1)當(dāng)p=116，則?p2=132，則拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)(132,0)，

(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合，不滿足題意，

由題意可設(shè)直線l：x=my+tm≠0,t≠0，點(diǎn)Ax0,y0，

將直線l的方程代入橢圓C1：x22+y2=1得

m2+2y2+2mty+t2?2=0，

∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM=?mtm2+2，

將直線l的方程代入拋物線C【解析】本題考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，基本不等式等知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，分類與整合能力，屬于中檔題．

(1)根據(jù)p=116，可得?p2=132，即可得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)由題意可設(shè)直線l：x=my+tm≠0,t≠0，點(diǎn)Ax04.【2023新高考Ⅰ卷】在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)0,12的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長(zhǎng)大于33【答案】解：(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，由題意得y=整理，得y=x故W的方程為：y=x(2)設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)Aa,a2+14，Bb,b2令kAB=a+b=m<0，kBC設(shè)矩形的周長(zhǎng)為C，由對(duì)稱性不妨設(shè)|m|≥|n|，c?a=n?m=n+1則12C=AB+BC令f(x)=則f′(x)=2令f′(x)=0,得x=22,當(dāng)x>22所以f(x)≥f所以12C≥274=3等號(hào)不能同時(shí)成立，所以C>3【解析】本題考查軌跡方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，弦長(zhǎng)的求解，利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于壓軸題．(1)

設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由距離公式即可求解；(2)

由軌跡方程設(shè)出三點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱性結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示出矩形的周長(zhǎng)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解．5.【2022全國(guó)乙卷】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，y軸，且過(guò)A(0,?2)，B(32,?1)兩點(diǎn)

(1)求E的方程;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,?2)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT=TH【答案】解：(1)設(shè)E的方程為x2a2+y2b2=1，將A(0,?2)，B(32,?1)兩點(diǎn)代入得

4b2=194a2+1b2=1，解得a2=3，b2=4，故E的方程為x23+y24=1．

(2)由A(0,?2)，B(32,?1)可得直線AB:y=23x?2

?①若過(guò)P(1,?2)的直線的斜率不存在，直線為x=1.代入x23+y24=1，可得M(1,?263)，

N(1,263)，將y=?263代入AB:y=23x?2，可得【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題．

(1)根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，坐標(biāo)滿足橢圓方程，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)分類討論過(guò)點(diǎn)P的直線斜率是否存在，再根據(jù)題干依次表示出T，N坐標(biāo)，表示出直線HN方程，判斷直線過(guò)定點(diǎn)即可．6.【2021全國(guó)乙卷】已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4．

(1)求p；

(2)若點(diǎn)P在M上，PA，PB為C的兩條切線，A【答案】解：(1)點(diǎn)F(0,p2)到圓M上的點(diǎn)的距離的最小值為|FM|?1=p2+4?1=4，解得p=2；

(2)由(1)知，拋物線的方程為x2=4y，即y=14x2，則y′=12x，

設(shè)切點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則易得lPA：y=x12x?x124,lPB：y=x22x?x224，

從而得到P(x1+x22,x1x24)，

設(shè)【解析】本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于拔高題．

(1)由點(diǎn)F到圓M上的點(diǎn)最小值為4建立關(guān)于p的方程，解出即可；

(2)對(duì)y=14x2求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出直線PA及PB的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再將AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，可得P(2k,?b)，|AB|以及點(diǎn)P到直線7.【2021新高考Ⅱ卷】已知橢圓C的方程為x2a2+y2b2(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切．證明：M【答案】(1)解：由題意，橢圓半焦距c=2且e=c又b2=a(2)證明：由(1)得，曲線為x2當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN:x=1，不滿足M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線；當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)Mx必要性：

若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線MN:y=kx?2由直線MN與曲線x2+y2=1(x>0)聯(lián)立y=±x?2x23+所以MN=所以必要性成立；充分性：

設(shè)直線MN:y=kx+b,kb<0即kx?y+b=0由直線MN與曲線x2+y2=1(x>0)聯(lián)立y=kx+bx23所以x1所以MN=化簡(jiǎn)得3k2?1所以k=1b=?2或k=?1所以直線MN過(guò)點(diǎn)F(2,0)，M，N所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=【解析】本題考查了直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重．

(1)由離心率公式可得a=3，進(jìn)而可得(2)必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證MN=充分性：設(shè)直線MN:y=kx+b,kb<0，由直線與圓相切得b2=k28.【2020天津】已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,?3)，右焦點(diǎn)為F，且|OA|=|OF|，其中O為原點(diǎn)．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)已知點(diǎn)C滿足3OC=OF，點(diǎn)B在橢圓上(B異于橢圓的頂點(diǎn))，直線AB與以【答案】解：(Ⅰ)由已知可得b=3，記半焦距為c，由|OF|=|OA|可得c=b=3，

由a2=b2+c2，可得a2=18，

∴橢圓的方程為?x218+y29=1，

(Ⅱ)：∵直線AB與C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，

∴AB⊥CP，

根據(jù)題意可得直線AB和直線CP的斜率均存在，設(shè)直線AB的方程為y=kx?3，

由方程組y=kx?3x218+y29=1，消去y可得(2k2+1)x2?12kx=0，解得x=0，或x=12k2k2+1，

依題意可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(12k2k2+1,6k2?32k2+1)，

∵P為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)【解析】本題考查