二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法節(jié)

函數(shù)的極值與最大值最小值2021/5/91一、函數(shù)的極值及其求法2021/5/92定義:在其中當時,(1)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點

.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值

.2021/5/93注意:為極大值點為極小值點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導數(shù)為0或不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質.例如,為極大值點,是極大值是極小值為極小值點,函數(shù)2021/5/94設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(x0-δ

x0)

(x0

x0+δ)內(nèi)可導

(1)如果在(x0-δ

x0)內(nèi)f

(x)

0

在(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)

0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(x0-δ

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(x0-δ

x0)及(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)的符號相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

定理2(第一充分條件)

x1x2x3x4x5“左正右負”“左負右正”2021/5/95確定極值點和極值的步驟(1)求出導數(shù)f

(x);(2)求出f(x)的全部駐點和不可導點;(3)考察在每個駐點和不可導點的左右鄰近f

(x)的符號;

(4)確定出函數(shù)的所有極值點和極值.設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

且在(x0-δ

x0)

(x0

x0+δ)內(nèi)可導

(1)如果在(x0-δ

x0)內(nèi)f

(x)

0

在(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)

0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)如果在(x0-δ

x0)內(nèi)f

(x)<0

在(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)>0

那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

(3)如果在(x0-δ

x0)及(x0

x0+δ)內(nèi)f

(x)的符號相同

那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值

定理2(第一充分條件)

2021/5/96例1.

求函數(shù)的極值.解:1)求導數(shù)2)求極值可疑點令得令得3)列表判別是極大值點，其極大值為是極小值點，其極小值為2021/5/97證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.定理3(第二充分條件)

設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)且f

(x0)

0

f

(x0)

0

那么

(1)當f

(x0)

0時

函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)當f

(x0)

0時

函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.

2021/5/98定理3(第二充分條件)

設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)且f

(x0)

0

f

(x0)

0

那么

(1)當f

(x0)

0時

函數(shù)f(x)在x0處取得極大值

(2)當f

(x0)

0時

函數(shù)f(x)在x0處取得極小值.

應注意的問題：

如果f

(x0)

0

f

(x0)

0

則定理3不能應用

但不能由此說明f(x0)不是f(x)的極值。討論：

函數(shù)f(x)

x4

g(x)

x3在點x

0是否有極值？2021/5/99例2.

求函數(shù)的極值.解:1)求導數(shù)2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.2021/5/910定理3(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當為偶數(shù)時,是極小點;是極大點.2)當為奇數(shù)時,為極值點,且不是極值點.當充分接近時,上式左端正負號由右端第一項確定,故結論正確.證:利用在點的泰勒公式,可得2021/5/911例如,例2中所以不是極值點.極值的判別法(定理1~

定理3)都是充分的.說明:當這些充分條件不滿足時,不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理3的條件.2021/5/912觀察與思考：

觀察哪些點有可能成為函數(shù)的最大值或最小值點,

怎樣求函數(shù)的最大值和最小值.

二、最大值與最小值問題x1x2x3x4x5Mm2021/5/913

閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間的端點及區(qū)間內(nèi)的極值點處取得.

函數(shù)在閉區(qū)間[a

b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中的最大者;其最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中的最小者

極值與最值的關系x1x2x3x4x5Mm2021/5/914最大值和最小值的求法

(1)求出函數(shù)f(x)在(a

b)內(nèi)的駐點和不可導點

設這此點為x1

x2

xn;

(2)計算函數(shù)值

f(a)

f(x1)

f(xn)

f(b);(3)判斷:

最大者是函數(shù)f(x)在[a

b]上的最大值

最小者是函數(shù)f(x)在[a

b]上的最小值

最大值最小值2021/5/915特別:

當在內(nèi)只有一個極值可疑點時,

當在上單調(diào)時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)

對應用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)2021/5/916例3.

求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.2021/5/917因此也可通過例3.

求函數(shù)說明:求最值點.與最值點相同,由于令(自己練習)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.2021/5/918

例4

工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km

A點到火車站B的距離為100km

欲修一條從工廠到鐵路的公路CD

已知鐵路與公路每公里運費之比為3:5

為了使火車站B與工廠C間的運費最省

問D點應選在何處？DC20kmAB100km

解

x

設AD

x(km)

y

5k

CD

3k

DB(k是某個正數(shù))

B與C間的運費為y

則DB=100

x

2021/5/919其中以y|x

15

380k為最小

因此當AD

15km時

運費最省

由于y|x

0

400k

y|x

15

380k

例4

工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km

A點到火車站B的距離為100km

欲修一條從工廠到鐵路的公路CD

已知鐵路與公路每公里運費之比為3:5

為了使火車站B與工廠C間的運費最省

問D點應選在何處？y

5k

CD

3k

DB(k是某個正數(shù))

解

設AD

x(km)

B與C間的運費為y

則2021/5/920

解

把W表示成b的函數(shù)

函數(shù)在唯一駐點b0處一定取得最大值

由W

b

0知

例5

把直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁

問矩形截面的高h和寬b應如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W()最大?2021/5/921用開始移動,例6.設有質量為5kg的物體置于水平面上,受力F作解:

克服摩擦的水平分力正壓力即令則問題轉化為求的最大值問題.設摩擦系數(shù)問力F與水平面夾角

為多少時才可使力F的大小最小?2021/5/922令解得而因而F

取最小值.解:即令則問題轉化為求的最大值問題.2021/5/923清楚(視角

最大)?觀察者的眼睛1.8m,例7.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點根據(jù)問題的實際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點又因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清楚.問觀察者在距墻多遠處看圖才最2021/5/924存在一個取得最大利潤的生產(chǎn)水平?如果存在,找出它來.售出該產(chǎn)品x千件的收入是例8.設某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x千件的成本是解:售出x千件產(chǎn)品的利潤為問是否故在x2=3.414千件處達到最大利潤,而在x1=0.586千件處發(fā)生局部最大虧損.2021/5/925說明：在經(jīng)濟學中稱為邊際成本稱為邊際收入稱為邊際利潤由此例分析過程可見,在給出最大利潤的生產(chǎn)水平上即邊際收入＝邊際成本（見右圖）成本函數(shù)收入函數(shù)即收益最大虧損最大2021/5/926內(nèi)容小結1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣定理3定理32021/5/927最值點應在極值點