專題5.4三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義,能畫出這些三角函數(shù)的圖象,了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值.2.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在0,2π上,正切函數(shù)在-π2數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在區(qū)間0,2π上的圖象（1）“五點(diǎn)法”作圖原理：在正弦函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：在余弦函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（2）五點(diǎn)法作圖的三步驟：列表、描點(diǎn)、連線(注意光滑)．2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RRx值域[[R周期2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱軸方程:x=對(duì)稱中心:kπ,0對(duì)稱軸方程:x=kπ,k∈Z對(duì)稱中心:π對(duì)稱中心:kπ單調(diào)性單調(diào)遞增區(qū)間：-單調(diào)遞減區(qū)間：π單調(diào)遞增區(qū)間：-單調(diào)遞減區(qū)間：2kπ,π+2kπ單調(diào)遞增區(qū)間-最值當(dāng)x=π2當(dāng)x=3πy當(dāng)x=2kπ,k∈Z時(shí)當(dāng)x=π+2kπ,k∈Zy無最值1.【人教A版必修一5.4.2練習(xí)5P207】函數(shù)f(x)=3sin(2π3-2x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是A.[7π12,13π12] B.[解：∵函數(shù)f(x)=3sin(2π3-2x)=-3sin(2x-2π3)，在-π2+2kπ≤2x-2π3≤π2+2kπ，k∈Z，上單調(diào)遞減，即π12+kπ≤x≤7π12+kπ(k∈Z)，

當(dāng)2.【人教A版必修一習(xí)題5.4第1題P213】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：=1\*GB3①最小正周期為π；=2\*GB3②最大值為2；=3\*GB3③f(0)=-1(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并利用“五點(diǎn)法”畫出f(x)在x∈[0,π]的簡圖；(2)求函數(shù)f(x)在x∈[-π解：(1)若函數(shù)f(x)滿足條件=3\*GB3③，則f(0)=Asinφ=-1．

這與A>0，0<φ<π2矛盾，故函數(shù)f(x)只能滿足條件=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③．

由條件=1\*GB3①，得2π|ω|=π，又因?yàn)棣?gt;0，所以ω=2；

由條件=2\*GB3x-π5π2π11π2x+0ππ3π2πf(x)020-20

(2)x∈[-π2,0]時(shí)，2x+π6∈[-5π6,π考點(diǎn)一考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域和值域【方法儲(chǔ)備】根據(jù)三角函數(shù)本身的屬性，及求其他函數(shù)求定義域的規(guī)律，如分母不為零，偶次根式下被開方數(shù)大于或等于0，真數(shù)大于0等，構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．解三角不等式時(shí)要注意周期，且k∈2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見的題目類型(1)形如y=asinx+ba≠0或y=acosx+ba≠0：(2)形如y=asinωx+bcosωx+k：可設(shè)sinφ=bay=Asinωx+φ+k求值域，即由x的范圍→ωx+φ的范圍→將ωx+φ看作一個(gè)整體，求正弦函數(shù)的值域→將sinωx+φ注意：常見求值域問題中，要先利用兩角和、差的正余弦公式及逆用、二倍角公式等先做變形，再利用輔助角公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=Asinωx+φ+k的形式(3)形如y＝asin2x+bsinx+ca≠0：可設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)注意：可先利用二倍角余弦公式升冪，靈活運(yùn)用sin2x=1-cos2(4)形如y＝asinxcosx+b或sinx-cosx=t,則sinxcosx=1-t22，轉(zhuǎn)補(bǔ)充：=1\*GB2⑴形如y=asinx+bcsinx+dac≠0：用y表示sinx，利用sinx的有界性求值域，或分離常數(shù)，結(jié)合不等式性質(zhì)求值域；=2\*GB2⑵形如y=csinx+dacosx+bac≠0：轉(zhuǎn)化為Asinx+Bcosx=C，再利用輔助角公式及三角函數(shù)的有界性求其最值，或?qū)osx,sinx看作借助單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為斜率問題解決.【典例精講】例1.(2023·廣東省佛山市月考)函數(shù)y=sin(2x-π4A.{x|π4+2kπ≤x≤5π4+2kπ,k∈Z}解：由題意得：sin(2x-π4)≥0，

故2kπ≤2x-π4≤2kπ+π，k∈Z例2.(2023·廣東省中山市期中)已知函數(shù)f(x)=2sin2x-3sin2x.A.0 B.-1 C.-3解：因?yàn)閒(x)=2sin2x-3sin2x=1-cos2x-3sin2x

=1-2sin?(2x+π6)，

且例3.(2023·北京市市轄區(qū)模擬)函數(shù)f(x)=sin2x?tanx是A.奇函數(shù)，且最小值為0 B.奇函數(shù)，且最大值為2

C.偶函數(shù)，且最小值為0 D.偶函數(shù)，且最大值為2解：由題可知，f(x)=sin2x?tanx的定義域?yàn)閧x|x≠π2+kπ,k∈Z}

且f(x)=sin2x?tanx=2sinxcosx?sinxcosx=2sin2x，

而f(-x)=2例4.(2023·浙江省溫州市月考)若函數(shù)f(x)=sinx-cos2x，則f(π6)=

，f(x)的值域?yàn)?/p>

解：由題意得，f(π6)=sinπ6-cos(2×π6)=12-12=0，

又f(x)=sinx-cos2x=sinx-(1-2sin2x)=2sin2x+sinx-1，

令t=sinx，則y=2t2+t-1，t=sinx∈[-1,1]，例5.(2023·四川省成都市模擬)函數(shù)y=sinx+cosx+3cosxsinx的最大值是

，最小值是

．解：令t=sinx+cosx=2sin?(x+π4)，則t∈-2,2．

∵(sinx+cosx)2-2sinxcosx=1，∴sinxcosx=t2-12，

∴y=f(t)=3【拓展提升】練11(2023·廣東省揭陽市月考)已知函數(shù)y=f(log2x)的定義域?yàn)閇1,4]，則函數(shù)y=f(2sinx-1)的定義域是(

)A.(2kπ-7π6,2kπ+π6)k∈Z解：函數(shù)y=f(log2x)的定義域?yàn)閇1,4]，所以log2x∈[0,2]，

則2sinx-1∈[0,2]，即12≤sinx≤32，因?yàn)閟inx≤1，

所以12練12(2022·安徽省蚌埠市月考)如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為π4的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠POC=α，矩形ABCD的面積最大值為(

)

A.2-12 B.2解：由題意知：在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα．

在Rt△OAD中，OA=DA=BC=sinα，

所以AB=OB-OA=cosα-sinα．

設(shè)矩形的面積為S，則

S=AB?BC=(cosα-sinα)sinα=cosα練13(2023·福建省泉州市期中)（多選）已知函數(shù)fx=sinωx-sinωx+π3ω>0在A.1 B.43 C.53解：f=12sinωx-32cosωx=sin(ωx-π3)，(ω>0)，

因?yàn)閤∈[0,π]，

當(dāng)ω=1時(shí)，ωx-π3=x-π3∈[-π3,2π3]，sin?(x-π3)∈[-32,1]，考點(diǎn)二考點(diǎn)二三角函數(shù)的單調(diào)性【方法儲(chǔ)備】1.與三角函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題=1\*GB2⑴求函數(shù)y=Asinωx+φA>0,ω>0或y=Acosωx+φA>0,ω>0的單調(diào)區(qū)間，將ωx+φ視作整體，代入y=sinx或y=cosx相應(yīng)即對(duì)于y=Asinωx+φ對(duì)于y=Acos注意：當(dāng)A<0時(shí)，要注意單調(diào)區(qū)間的變化，y=sinωx+φ或y=cosωx+φ=2\*GB2⑵當(dāng)ω<0時(shí)，可先利用誘導(dǎo)公式將x前的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．2.比較三角函數(shù)值大小的步驟：=1\*GB2⑴異名函數(shù)化為同名函數(shù)；=2\*GB2⑵利用誘導(dǎo)公式把角化到同一單調(diào)區(qū)間上；=3\*GB2⑶利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?.已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍=1\*GB2⑴子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，則已知區(qū)間是某單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；=2\*GB2⑵導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解.【易錯(cuò)警示】1.正切函數(shù)在定義域上不具有單調(diào)性．2.正切函數(shù)無單調(diào)遞減區(qū)間，有無數(shù)個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，在-π2,π2π2【典例精講】

例6.(2023·廣東省廣州市模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<π)，若f(x)≤|f(π3)|恒成立，且f(π)>f(A.[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)解：函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)，

由f(x)≤|f(π3)|恒成立，可得f(π3)=±1?sin(φ+2π3)=±1，

得φ+2π3=π2+kπ，k∈Z，解得φ=-π6+kπ，k∈Z，

又-π<φ<π，則φ=-π6或φ=5π6，

由f(π)>f(例7.(2023·廣東省潮州市模擬)若fx=sin2x+π6在區(qū)間-t,tA.[π6,π2]解：由題意得，t>-t,即t>0，

令-π2≤2x+π6≤π2,則-π例8.(2023·廣東省中山市月考)已知0<ω<π12，a=cosω，b=tanω，A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a解：當(dāng)0<ω<π12時(shí)，則a=cosω>cosπ4=22，b=tanω<tanπ6=33，c=cosω-sinω=【拓展提升】練21(2022·湖北省孝感市模擬)函數(shù)f(x)=-sin2x-2cosx的單調(diào)遞增區(qū)間是A.[2kπ,(2k+1)π]，k∈Z B.[2kπ-π2,2kπ+π2]，k∈Z

C.[(2k-1)π,2kπ]解：f(x)=-sin2x-2cosx=cos2x-2cosx-1，設(shè)t=cosx，則t∈-1,1，

故y=t2-2t-1=t-12-2，

當(dāng)t∈-1,1練22(2023·安徽省安慶市模擬)已知函數(shù)fx=sinωx+φ(ω>0,|φ|≤π2)，f(0)=22，且函數(shù)f(x)解：因?yàn)閒(x)在區(qū)間π16,π8上單調(diào)遞減，

所以π8-π16≤T2=πω，所以0<ω≤16，

因?yàn)閒(0)=sinφ=22，

又|φ|≤π2，所以φ=π4，則fx=sinωx+考點(diǎn)三考點(diǎn)三三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性【方法儲(chǔ)備】三角函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性問題的解題思路：若f(x)=Asinωx+φA>0,ω>0為奇函數(shù)，則f0若f(x)=Asinωx+φA>0,ω>0為偶函數(shù)，則f02.求三角函數(shù)的周期=1\*GB2⑴定義法：對(duì)于x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有fx+T=fx（T為非零常數(shù)），則為T為周期；=2\*GB2⑵公式法：即將函數(shù)化為y=Asinωx+φ+B或y=Acosωx+φ+B的形式，則最小正周期T=y＝tan(ωx+=3\*GB2⑶由對(duì)稱性求周期：相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為T2，相鄰兩對(duì)稱中心間的距離也為T2,相鄰對(duì)稱軸和對(duì)稱中心間的距離也為T4，(4)解析式含絕對(duì)值：如y=Asinωx+φ的最小正周期y=Asinωx+φ+By=sinx不是周期函數(shù)注意：=1\*GB2⑴函數(shù)的周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).研究某周期函數(shù)的性質(zhì)，一般只需要研究它在一個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì).=2\*GB2⑵將函數(shù)在某個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)擴(kuò)展到整個(gè)定義域時(shí)，要補(bǔ)上最小正周期的整數(shù)倍.3.三角函數(shù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的求解方法(1)定義法：正(余)弦函數(shù)的對(duì)稱軸是過函數(shù)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線，對(duì)稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)．(2)公式法：對(duì)于函數(shù)y=Asinωx+φ，令sinωx+φ=±1，則ωx+φ=π令sinωx+φ=0，則ωx+φ=kπ,k∈Z，故對(duì)稱軸中心【典例精講】例9.(2023·廣東省深圳市期中)若fx=2sinx+φ-cosx為奇函數(shù)，則解：∵函數(shù)f(x)=2sin(x+φ)-cosx=2sinxcosφ+cosx(1-2sinφ)，

又f(x)為奇函數(shù)，所以可知2sinxcosφ為奇函數(shù)，只需cosx(1-2sinφ)為零即可，

故cosx(1-2sinφ)=0，

所以1-2sinφ=0，得sinφ=12，φ=2kπ+π6，k∈Z.或φ=2kπ+5π6，k∈Z．例10.(2023·江蘇省南通市月考)函數(shù)f(x)=asinx+bcos2x+csinA.π2 B.π C.32解：當(dāng)a=b=0,c≠0時(shí)，f(x)=csin4x，最小正周期為π2，所以A正確;

當(dāng)a=c=0,b≠0時(shí)，f(x)=bcos2x，最小正周期為π，所以B正確;

當(dāng)b=c=0,a≠0時(shí)，f(x)=asinx，最小正周期為例11.(2022·江蘇省常州市月考)（多選）已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-π6A.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2π3對(duì)稱

B.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π12,0)中心對(duì)稱

C.y=f(x)的表達(dá)式可改寫為y=2解：由2x-π6=π2+kπ,k∈Z，可得x=π3+kπ2,k∈Z，

所以函數(shù)的對(duì)稱軸為x=π3+kπ2，k∈Z，則x=2π3不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；

由2x-π6=kπ,k∈Z，可得x=則兩個(gè)零點(diǎn)的距離為x1-x2【拓展提升】練31(2023·北京市原創(chuàng)試題)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(φ<|π2|)，那么函數(shù)f(x)的最小正周期是

：若函數(shù)f(x)在[π2,5π6解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)，

所以T=2π2=π，故函數(shù)f(x)的最小正周期是π；

因?yàn)閒(π2)=-f(5π6)，

則函數(shù)f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(π2+5π62,0)，即關(guān)于點(diǎn)(2π3,0)對(duì)稱，

令2×2π3+φ=kπ，解得練32(2023·山東省青島市模擬)若函數(shù)f(x)=sinx|cosx|，則下列說法正確的是A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)的最小正周期是π

C.f(x)在區(qū)間[-π4,π4]解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sinxcosx，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽．

對(duì)于A.因?yàn)閒(-x)=sin-xcos-x=-sinxcosx=-f(x)，

所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，故A不正確;

對(duì)于B.因?yàn)閒(π4+π)=sin?(π4+π)|cos?(π4+π)|=-sin?π4|cos?π4|=-12，

f(π4)=sin?π4|cos?π4|=12，所以f(π4練33(2023·陜西省榆林市聯(lián)考)已知直線x=π6為函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)圖象的一條對(duì)稱軸，f(x)的圖象與直線y=A.sin(x-π3) B.sin解：由sin(ωx+φ)=12，得ωx1+φ=π6+2kπ(k∈Z)，或ωx2+φ=5π6+2nπ(n∈Z)，

所以相鄰兩角的差的絕對(duì)值為ω|x2-x1|=2π3，或ω|x2-x1|=4π3，1.(2022·北京市市轄區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=sin2x.若非零實(shí)數(shù)a，b，使得f