2021年高考全國甲卷理科數(shù)學真題（含參考答案）

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應答案的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案

寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

1.設(shè)集合M二{x|0VxV4},N={x|WxW5},則MAN二

A.{x10VxW}

B.{x|WxV4}

C.{x|4WxV5}

D.{x|0VxW5}

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽

樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分

布直方圖：

根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為

10%

C.估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元

D.估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元

至8.5萬元之間

3.已知,則z=

A.-1-i

B.-1+i

C.-+i

D.一i

4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力

表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五

分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記數(shù)法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgVo已

知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)

記數(shù)法的數(shù)據(jù)約為（71.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D,0.6

5.已知F1,F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且N

F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,則C的離心率為

A.

B.

c.

D.

6.在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.

該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正

試圖如右圖所示，則相應的側(cè)視圖是

A.

B.

C.

D.

7.等比數(shù)列｛an｝的公比為q,前n項和為Sn,設(shè)甲：q>0,

乙：｛Sn｝是遞增數(shù)列，則

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

8.2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最

新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程

測量方法之一.右圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有

以A,B,C三點，且A,B,C在同一水平而上的投影A',B',

C'滿足.由c點測得B點的仰角為15°,曲，與的差為100:

由B點測得A點的仰角為45°,則A,C兩點到水平面的高度

差約為

A.346B.373C.446D.473

9.若，，則

A.B.C.D.

10.將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概

率為

A.B.C.D.

11.已知A,B,C是半徑為1的求0的球面上的三個點，且AC

±BC,AC=BC=1,則三棱錐0-ABC的體積為

A.B.C.D.

12.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為

偶函數(shù)，當時，.若，則

A.B.C.D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線在點(-1,-3)處的切線方程為o

14.已知向量a=(3,1),b=(1,0),,若a_Lc,則k=。

15.已知F1,F2為橢圓C:的兩個焦點，P,Q為C上關(guān)于坐

標原點堆成的兩點，且，則四邊形PF1QF2的面積為

16.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整

數(shù)X為O

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或

演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。

第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.(12分)

甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二

級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生

產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：

(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多

少？

⑵能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品

質(zhì)量有差異?

附：

18.(12分)

已知數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù),記Sn為｛an｝的前n項和,

從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列：②數(shù)列(｝是等差數(shù)列;③a2=3al

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

19.(12分)

已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC

=2,E,F分別為AC和CC1的中點，D為棱A1B1上的點，

BFJ_A1B1.

(1)證明：BF±DE;

(2)當為B1D何值時，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正

弦值最小？

20.(12分)

拋物線C的頂點為坐標原點0,焦點在x軸上，直線L:x=1

交C于P,Q兩點，且0PJ_0Q.已知點M(2,0),且M與L

相切，

(1)求C,M的方程;

(2)設(shè)A1,A2,A3,是C上的三個點，直線A1A2,A1A3均與

M相切，判斷A2A3與M的位置關(guān)系，并說明理由.

21.(12分)

己知a>0且a手1,函數(shù)f(x)二(x>0),

(1)當a=2時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點，求a

的取值范圍.

(二)選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題

作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.［選修4一4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極

軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為二2cos6.

(1)將C的極坐標方程化為直角坐標方程；

(2)設(shè)點A的直角坐標為(1,0),M為C上的動點，點P滿

足