專(zhuān)題3.17切線長(zhǎng)定理（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解切線長(zhǎng)定義；理解切線的判定和性質(zhì)；理解三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的定義；2.掌握切線長(zhǎng)定理；利用切線長(zhǎng)定理解決相關(guān)的計(jì)算和證明.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、切線的判定定理和性質(zhì)定理1．切線的判定定理：

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

特別說(shuō)明：切線的判定方法：（1）定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，這條直線就是圓的切線；（2）定理：和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過(guò)交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可）.

2．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

特別說(shuō)明：切線的性質(zhì)：（1）切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）切線和圓心的距離等于圓的半徑；（3）切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；（4）經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；（5）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心.要點(diǎn)二、切線長(zhǎng)定理

1．切線長(zhǎng)：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).

特別說(shuō)明：切線長(zhǎng)是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，不是“切線的長(zhǎng)”的簡(jiǎn)稱(chēng).切線是直線，而非線段.

2．切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

特別說(shuō)明：切線長(zhǎng)定理包含兩個(gè)結(jié)論：線段相等和角相等.3．圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外切四邊形的兩組對(duì)邊之和相等.

要點(diǎn)三、三角形的內(nèi)切圓

1．三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

2．三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.

特別說(shuō)明：

(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱(chēng)確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.【典型例題】類(lèi)型一、切線的定義1．下列命題中正確的是（）A．與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線B．經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線是圓的直徑C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線D．到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線【答案】D解：A．割線與圓相交也有公共點(diǎn)，但不是圓的切線，故此選項(xiàng)不正確；B．符合切線的概念，而不是圓的直徑，故此選項(xiàng)不正確；C．應(yīng)該為經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)且與這條半徑垂直的直線是圓的切線，故此選項(xiàng)不正確；D．符合圓的切線概念，故此選項(xiàng)正確．【變式1】下面給出了用三角尺畫(huà)一個(gè)圓的切線的步驟示意圖，但順序需要進(jìn)行調(diào)整，則正確的畫(huà)圖步驟是（）A．②③④① B．③②④① C．②④①③ D．③①②④【答案】A解：略【變式2】如圖，以點(diǎn)O為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（）A．以O(shè)A為半徑的圓 B．以O(shè)B為半徑的圓C．以O(shè)C為半徑的圓 D．以O(shè)D為半徑的圓【答案】D【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．解：于，以為圓心，為半徑的圓與直線相切，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系—相切，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式3】如圖，點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，以下條件不能判定BC是⊙A切線的是（）A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠AC．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵點(diǎn)B在⊙A上，∴AB是⊙A的半徑，∴BC是⊙A切線；D、∵⊙A與AC的交點(diǎn)是AC中點(diǎn)，∴AB＝AC，但不能證出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切線；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的判定、勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二、構(gòu)成切線的條件2．張老師在講解復(fù)習(xí)《圓》的內(nèi)容時(shí)，用投影儀屏幕展示出如下內(nèi)容：如圖，內(nèi)接于，直徑的長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．張老師讓同學(xué)們添加條件后，編制一道題目，并按要求完成下列填空．（1）在屏幕內(nèi)容中添加條件，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（2）以下是小明、小聰?shù)膶?duì)話(huà)：小明：我加的條件是，就可以求出的長(zhǎng)小聰：你這樣太簡(jiǎn)單了，我加的是，連結(jié)，就可以證明與全等．參考上面對(duì)話(huà)，在屏幕內(nèi)容中添加條件，編制一道題目（此題目不解答，可以添線、添字母）．______．【答案】3，求的長(zhǎng)【分析】(1)連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠OCD=90°，再根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到OD=2，然后計(jì)算OA+OD即可；

(2)添加∠DCB=30°，求ACAC的長(zhǎng)，利用圓周角定理得到∠ACB=90°，再證明∠A=∠DCB=30°，然后根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系求AC的長(zhǎng)．解：解：(1)連接OC，如圖，

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∵∠D=30°，

∴OD=2OC=2，

∴AD=AO+OD=1+2=3；

(2)添加∠DCB=30°，求AC的長(zhǎng)，

解：∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠DCB=90°，

∴∠ACO=∠DCB，

∵∠ACO=∠A，

∴∠A=∠DCB=30°，

在Rt△ACB中，BC=AB=1，

∴AC==．故答案為3；，求的長(zhǎng).【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，得出垂直關(guān)系．【變式1】如圖，已知，M為OB邊上任意一點(diǎn)，以M為圓心，2cm為半徑作，當(dāng)________cm時(shí)，與OA相切.【答案】4【分析】過(guò)M作MN⊥OA于點(diǎn)N，此時(shí)以MN為半徑的圓與OA相切，根據(jù)30°角所對(duì)直角邊為斜邊的一半可得OM的長(zhǎng).解：如圖，過(guò)M作MN⊥OA于點(diǎn)N，∵M(jìn)N=2cm，，∴OM=4cm，則當(dāng)OM=4cm時(shí)，與OA相切.故答案為4.【點(diǎn)撥】本題主要考查切線判定，直角三角形中30°角所對(duì)直角邊為斜邊的一半，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).【變式2】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標(biāo)為（-3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為_(kāi)______________.【答案】1或5解：試題分析：當(dāng)⊙P位于y軸的左側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為1；當(dāng)⊙P位于y軸的右側(cè)且與y軸相切時(shí)，平移的距離為5．故答案為1或5．考點(diǎn)：1．直線與圓的位置關(guān)系；2．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；3．平移的性質(zhì)．【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)A，B，C畫(huà)圓弧，則點(diǎn)B與下列格點(diǎn)連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2)【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定在網(wǎng)格中作圖即可得結(jié)論．解：如圖，過(guò)格點(diǎn)A，B，C畫(huà)圓弧，則點(diǎn)B與下列格點(diǎn)連線所得的直線中，能夠與該圓弧相切的格點(diǎn)坐標(biāo)是(6，2)．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵.類(lèi)型三、證明直線為圓的切線3．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的延長(zhǎng)線上，且∠BCD＝∠A．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為3，CD＝4，求BD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2【分析】（1）連接OC，由AB是⊙O的直徑可得出∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合∠BCD=∠A，即可得出∠OCD=90°，即CD是⊙O的切線；（2）在Rt△OCD中，由勾股定理可求出OD的值，進(jìn)而可得出BD的長(zhǎng)．解：解：（1）如圖，連接OC．∵AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°．∵OA=OC，∠BCD=∠A，∴∠ACO=∠A=∠BCD，∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切線．（2）在Rt△OCD中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4，∴OD==5，∴BD=OD﹣OB=5﹣3=2．【變式1】如圖，AB是⊙O的直徑，射線BC交⊙O于點(diǎn)D，E是劣弧AD上一點(diǎn)，且＝，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FE和BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）證明：GF是⊙O的切線；（2）若AG＝6，GE＝6，求⊙O的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3【分析】（1）連接OE，由知∠1＝∠2，由∠2＝∠3可證OE∥BF，根據(jù)BF⊥GF得OE⊥GF，得證；（2）設(shè)OA＝OE＝r，在Rt△GOE中由勾股定理求得r＝3．解：（1）如圖，連接OE，∵，∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OE∥BF，∵BF⊥GF，∴OE⊥GF，∴GF是⊙O的切線；（2）設(shè)OA＝OE＝r，在Rt△GOE中，∵AG＝6，GE＝6，∴由OG2＝GE2+OE2可得（6+r）2＝（6）2+r2，解得：r＝3，故⊙O的半徑為3．【點(diǎn)撥】本題考查圓切線的性質(zhì),關(guān)鍵在于熟記基本性質(zhì),結(jié)合圖形靈活運(yùn)用.【變式2】如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)，PO交圓O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，連接PB．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求證：PB是⊙O的切線．【答案】（1）2（2）見(jiàn)解析解：（1）連接OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，∴弧BC與弧AC的度數(shù)為：60°．∴∠BOC=60°．∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形．∵OC=2，∴BC=OC=2．（2）證明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP．∴∠CBP=∠CPB．∵△OBC是等邊三角形，∴∠OBC=∠OCB=60°．∴∠CBP=30°．∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°．∴OB⊥BP．∵點(diǎn)B在⊙O上，∴PB是⊙O的切線．（1）連接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度數(shù)為120°，易證得△OBC是等邊三角形，則可求得BC的長(zhǎng)．（2）由OC=CP=2，△OBC是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，∠OBC=60°，∠CBP=30°，則可證得OB⊥BP，從而證得PB是⊙O的切線．類(lèi)型四、切線的性質(zhì)4．如圖，AB是直徑，分別過(guò)上點(diǎn)B,C的切線，且，連接AC．求的度數(shù).【答案】【分析】首先連接OC，由BD，CD分別是過(guò)⊙O上點(diǎn)B，C的切線，且∠BDC＝110°，可求得∠BOC的度數(shù)，又由圓周角定理，即可求得答案．解：連接OC，∵BD，CD分別是過(guò)⊙O上點(diǎn)B，C的切線，∴OC⊥CD，OB⊥BD，∴∠OCD＝∠OBD＝90°，∵∠BDC＝110°，∴∠BOC＝360°?∠OCD?∠BDC?∠OBD＝70°，∴∠A＝∠BOC＝35°．【點(diǎn)撥】此題考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，是半圓的直徑，是半圓上不同于的兩點(diǎn)與相交于點(diǎn)是半圓所在圓的切線，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，求證：；若求平分．【答案】證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析．【分析】利用證明利用為直徑，證明結(jié)合已知條件可得結(jié)論；利用等腰三角形的性質(zhì)證明：再證明利用切線的性質(zhì)與直徑所對(duì)的圓周角是直角證明：從而可得答案．證明：為直徑，．證明：為半圓的切線，平分．【點(diǎn)撥】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，弧，弦，圓心角，圓周角之間的關(guān)系，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形的全等的判定，切線的性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，BE是圓O的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)D是⊙O上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,（1）若∠ADE=25°，求∠C的度數(shù)；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半徑的長(zhǎng)．【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半徑為2．【分析】（1）連接OA，利用切線的性質(zhì)和角之間的關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）如圖，連接OA，∵AC是⊙O的切線，OA是⊙O的半徑，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵,∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=OC，設(shè)⊙O的半徑為r，∵CE=2，∴r=(r+2)，解得：r=2，∴⊙O的半徑為2．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.【變式3】已知，分別與相切于點(diǎn)，，，為上一點(diǎn)．（Ⅰ）如圖①，求的大?。唬á颍┤鐖D②，為的直徑，與相交于點(diǎn)，若，求的大?。敬鸢浮浚á瘢?；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP=∠OBP=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°計(jì)算；

（Ⅱ）連接CE，根據(jù)圓周角定理得到∠ACE=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．解：解：（Ⅰ）如圖，連接．∵是的切線，∴，．即．∵，∴在四邊形中，．∵在中，，∴．（Ⅱ）如圖，連接．∵為的直徑，∴．由（Ⅰ）知，，∴．∴．∵在中，，∴．又是的一個(gè)外角，有，∴．【點(diǎn)撥】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵類(lèi)型五、切線的性質(zhì)與判定綜合5如圖，BD為△ABC外接圓⊙O的直徑，且∠BAE=∠C（1）求證：AE與⊙O相切于點(diǎn)A；（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AD=2．【分析】（1）如圖，連接OA，根據(jù)同圓的半徑相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所對(duì)的圓周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直徑所對(duì)的圓周角是直角得：∠BAD=90°，可得結(jié)論；（2）先證明OA⊥BC，由垂徑定理得：，F(xiàn)B=BC，根據(jù)勾股定理計(jì)算AF、OB、AD的長(zhǎng)即可．解：（1）如圖，連接OA，交BC于F，則OA=OB，∴∠D=∠DAO，∵∠D=∠C，∴∠C=∠DAO，∵∠BAE=∠C，∴∠BAE=∠DAO，∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD=90°，即∠DAO+∠BAO=90°，∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，∴AE⊥OA，∴AE與⊙O相切于點(diǎn)A；（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC，∴，F(xiàn)B=BC，∴AB=AC，∵BC=2，AC=2，∴BF=，AB=2，在Rt△ABF中，AF==1，在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，∴OB=4，∴BD=8，∴在Rt△ABD中，AD=．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理及垂徑定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握切線的判定方法是關(guān)鍵：有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑，證垂直”．【變式1】閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：如圖①，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，平分交于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．則．下面是證明的部分過(guò)程：證明：如圖②，連接，是的直徑，，①________．（1）為的切線，，，（2）由（1）（2）得，②________________．平分．，③________，．任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，補(bǔ)全證明過(guò)程：①________，②________，③________；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①，②，③；（2）．【詳解】（1）①，②，③；（2）為的切線，．，，，．在中，．【變式2】如圖，在中，D是邊上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，求弦的長(zhǎng)．【答案】（1）相切，理由見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）如圖，連接，由圓周角定理可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得，可得結(jié)論；（2）由勾股定理可求，由面積法可求的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)．解：（1）直線是的切線，理由如下：如圖，連接，為的直徑，，，，又，，，，又是半徑，直線是的切線；（2）過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了切線的判定，圓的有關(guān)知識(shí)，勾股定理等知識(shí)，求圓的半徑是本題的關(guān)鍵．類(lèi)型六、用切線長(zhǎng)定理求解6．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，∠BAC＝20°，求∠P的度數(shù)．【答案】40°【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得等腰△PAB，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求解即可．解：∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∴PA=PB，∠PAC=90°，∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=70°，∴∠P=180°﹣70°×2=40°．【點(diǎn)撥】本題考查了切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)，得出PA=PB是解題的關(guān)鍵．【變式1】已知PA，PB分別切⊙O于A，B，E為劣弧AB上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)的切線交PA于C，交PB于D．(1)若PA＝6，求△PCD的周長(zhǎng)；(2)若∠P＝50°，求∠DOC．【答案】(1)△PCD的周長(zhǎng)為12；(2)∠DOC＝65°.【分析】(1))連接OE，由切線長(zhǎng)定理可得PA＝PB＝6,AC＝CE，BD＝DE.再由△PCD的周長(zhǎng)＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB即可求得△PCD的周長(zhǎng)；（2）根據(jù)已知條件易求∠AOB＝130°；再證明Rt△AOC≌Rt△EOC，由全等三角形的性質(zhì)可得∠AOC＝∠COE.同理可求得∠DOE＝∠BOD，由此可得∠DOC＝∠AOB＝65°.解：(1)連接OE，∵PA，PB與⊙O相切，∴PA＝PB＝6.同理可得：AC＝CE，BD＝DE.∴△PCD的周長(zhǎng)＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋CE＋DE＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋PB＝12.(2)∵PA，PB與⊙O相切，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠P＝50°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.在Rt△AOC和Rt△EOC中，∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL)．∴∠AOC＝∠COE.同理：∠DOE＝∠BOD，∴∠DOC＝∠AOB＝65°.【點(diǎn)撥】本題考查了切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理，熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.【變式2】已知：PA、PB、CD分別切⊙O于A、B、E三點(diǎn)，PA＝6．求：（1）△PCD的周長(zhǎng)；（2）若∠P＝50°，求∠COD的度數(shù)．【答案】(1)12;(2)65°.【解析】【分析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，從而求得三角形的周長(zhǎng)=2PA；

（2）連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠P+∠AOB=180°，由切線長(zhǎng)定理得∠COD=∠AOB，即可得出結(jié)果．解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴PA＝PB＝6，ED＝AD，CE＝BC；∴△PCD的周長(zhǎng)＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12；（2）連接OE，如圖所示：由切線的性質(zhì)得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°，∴∠AOB+∠P＝180°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°，由切線長(zhǎng)定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，∴∠COD＝∠AOB＝×130°＝65°．【點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理；解題關(guān)鍵是熟記運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．【變式3】如圖，⊙O與△ABC的AC邊相切于點(diǎn)C，與BC邊交于點(diǎn)E，⊙O過(guò)AB上一點(diǎn)D，且DE∥AO，CE是⊙O的直徑．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AC＝6【分析】（1）要證AB切線，連接半徑OD，證∠ADO＝90°即可，由∠ACB＝90°，由OD＝OE，DE∥OA，可得∠AOD＝∠AOC，證△AOD≌△AOC（SAS）即可，（2）AB是⊙O的切線，∠BDO＝90°，由勾股定理求BE，BC＝BE+EC可求，利用AD，AC是⊙O的切線長(zhǎng)，設(shè)AD＝AC＝x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2構(gòu)造方程求AC即可．解：（1）證明：連接OD，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切線，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中，∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半徑，∴AB是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的切線，∴∠BDO＝90°，∴BD2+OD2＝OB2，∴42+32＝（3+BE）2，∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD，AC是⊙O的切線，∴AD＝AC，設(shè)AD＝AC＝x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+x）2＝x2+82，解得：x＝6，∴AC＝6．【點(diǎn)撥】本題考查AB切線與切線長(zhǎng)問(wèn)題，掌握連接半徑OD，證∠ADO＝90°是證切線常用方法，利用△AOD≌△AOC（SAS）來(lái)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，先在Rt△BOD，用勾股定理求BE，再利用AD，AC是⊙O的切線長(zhǎng)，在Rt△ABC中，用勾股定理構(gòu)造方程求AC是解題關(guān)鍵．類(lèi)型七、用切線長(zhǎng)定理證明7．如圖，在中，，以為直徑的交于，點(diǎn)在線段上，且.(1)求證：是的切線．(2)若，求的半徑．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)的半徑為1.【分析】（1）如圖（見(jiàn)解析），連接OD，先根據(jù)等邊對(duì)等角求出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余得，從而可得，最后根據(jù)圓的切線的判定定理即可得證；（2）先根據(jù)圓的切線的判定定理得出是的切線，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，從而可得AC的長(zhǎng)，最后在中，利用直角三角形的性質(zhì)即可得.解：如圖，連接又，則，且OD為的半徑是的切線；（2），是直徑是的切線由（1）知，是的切線在中，，則故的半徑為1.【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓的切線的判定定理、切線長(zhǎng)定理，較難的是（2），利用切線長(zhǎng)定理求出EC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.【變式1】如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，且⊙O與△ABC的三邊分別切于點(diǎn)D、E、F，已知AB長(zhǎng)為10cm，BC長(zhǎng)為6cm，AC長(zhǎng)為8cm．（1）求AE、CD、BF的長(zhǎng)；（2）連接OD，OE，判斷四邊形ODCE的形狀，并說(shuō)明理由；（3）求⊙O的面積．【答案】（1）AE=6cm；CD=2cm；BF=4cm；（2）四邊形ODCE是正方形，理由見(jiàn)解析；（3）4π．

【分析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理列出方程組可以得到解答；（2）連接OD、OE，則由切線性質(zhì)和勾股定理可得∠C=∠OEC=∠ODC=90°，所以四邊形ODCE是矩形，再由OE=OD可知四邊形ODCE是正方形；（3）由（2）可得⊙O的半徑OD=CD=2cm，所以由面積公式即可求得⊙O的面積．解：（1）設(shè)AE=xcm，CD=ycm，BF=zcm，則由切線長(zhǎng)定理可得：AF=AE=x，CE=CD=ycm，BD=BF=zcm，∴由題意可得：，解之可得：，∴AE=6cm，CD=2cm，BF=4cm；（2）四邊形ODCE是正方形，理由如下：如圖，連接OD、OE，

∵，∴∠C=90°，又CA、CB與⊙O相切，∴∠OEC=∠ODC=90°，∴四邊形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四邊形ODCE是正方形；（3）由（2）知，⊙O的半徑OD=CD=2cm，∴．【點(diǎn)撥】本題考查圓、正方形和二元一次方程組的綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A的切線性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理、勾股定理、正方形的判定和性質(zhì)及圓的面積求法是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AC上，以CO為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，AE切⊙O于E．（1）求證：AD=AE．（2）填空：①當(dāng)∠ACB=_______時(shí)，四邊形ADOE是正方形；②當(dāng)BC=__________時(shí)，四邊形ADCE是菱形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①45o；②2【分析】（1）先證明OD∥BC，證出AB是圓的切線，利用切線長(zhǎng)定理判斷出AE=AD；（2）①當(dāng)四邊形ADOE是正方形，利用正方形的性質(zhì)可求∠AOD=45°，再由平行線的性質(zhì)求∠ACB=45°；②當(dāng)四邊形ADCE是菱形，利用菱形的性質(zhì)可求∠CAD=∠ACD，進(jìn)而可求∠CAD=∠ACD=∠BCD=30°，然后根據(jù)30°角的性質(zhì)和勾股定理求解即可．解：（1）證明：連接OE，∵CD平分∠ACB，∴∠OCD=∠BCD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ODC=∠BCD，∴OD//BC，∵∠B=90°，∴∠ADO=90°，∴AD是圓O的切線，∵AE是圓O的切線，∴AD=AE．（2）①45°；②2，理由如下：①∵ADOE是正方形，∴OD=AD，∴∠AOD=45°，∵OD//BC，∴∠ACB=45°；②連接CE，∵四邊形ADCE為菱形，∴AD=CD，∠CAD=∠ACD，∵∠BCD=∠ACD，∴∠CAD=∠ACD=∠BCD=30°，∴CD=2BD，∴AD=2BD，∵AB=6，∴BD=2，AD=CD=4，∴BC=2，故答案為：45°；2．【點(diǎn)撥】此題是考查了切線的判定，切線長(zhǎng)定理，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含30°角的性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)切線的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)解答．類(lèi)型八、直角三角形周長(zhǎng)、面積和內(nèi)切圓半徑關(guān)系8．如圖，已知銳角內(nèi)接于⊙O，于點(diǎn)D，連結(jié)AO.⑴若.①求證：；②當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；⑵點(diǎn)E在線段OA上，，連接DE，設(shè)，（m、n是正數(shù)），若，求證：【答案】（1）①見(jiàn)解析；②△ABC面積的最大值是；（2）見(jiàn)解析.【分析】（1）①連接OB，OC，由圓的性質(zhì)可得答案；②先作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，要使得面積最大，則當(dāng)點(diǎn)A，O，D在同一直線上時(shí)取到，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到答案；（2）先設(shè)∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，由銳角三角形性質(zhì)得到即，再結(jié)合題意及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得到兩式聯(lián)立即可得到答案.解：（1）①證明：連接OB，OC，因?yàn)镺B=OC，OD⊥BC，所以∠BOD=∠BOC=×2∠BAC=60°，所以O(shè)D=OB=OA②作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，所以AF≤AD≤AO+OD=，等號(hào)當(dāng)點(diǎn)A，O，D在同一直線上時(shí)取到由①知，BC=2BD=，所以△ABC的面積即△ABC面積的最大值是（2）設(shè)∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，即（*）又因?yàn)椤螦BC<∠ACB，所以∠EOD=∠AOC+∠DOC因?yàn)椤螼ED+∠ODE+∠EOD=180°，所以（**）由（*），（**），得，即【點(diǎn)撥】本題綜合考查圓的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)勾股定理.【變式1】已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半徑r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半徑r．【答案】（1）r=3cm.(2)r=（a+b-c）．【分析】首先設(shè)AC、AB、BC與⊙O的切點(diǎn)分別為D、E、F；易證得四邊形OFCD是正方形；那么根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：CD=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的長(zhǎng)．解：（1）如圖,連接OD，OF；在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm；根據(jù)勾股定理AB==15cm；四邊形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；則四邊形OFCD是正方形；由切線長(zhǎng)定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；則CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（12+9-15）=3cm．（2）當(dāng)AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得：CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（a+b-c）．則⊙O的半徑r為：（a+b-c）．【點(diǎn)撥】此題主要考查直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及半徑的求法．利用切線長(zhǎng)定理得出四邊形OFCD是正方形是解題關(guān)鍵．【變式2】已知關(guān)于的一元二次方程.（1）求證：無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、，滿(mǎn)足，求的值；（3）若△的斜邊為5，另外兩條邊的長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根、，求的內(nèi)切圓半徑.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）2；（3）1【分析】（1）將二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別代入根的判別式△中，并進(jìn)行整理，可得，恒大于等于0，故此一元二次方程無(wú)論為任何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，，將進(jìn)行分式的加法，再將，代入即可求得k.（3）解一元二次方程可得，，由題意△的斜邊為5，通過(guò)勾股定理可求得，k=4，根據(jù)直角三角形中的內(nèi)切圓半徑為r=（a+b-c）/2(a,b為直角邊，c為斜邊)，代入即可求得半徑.解：（1）證明：∵，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（2）由題意得：，，即，解得：；解：解方程得：，根據(jù)題意得：，即設(shè)直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，如圖，由切線長(zhǎng)定理可得：，直角三角形的內(nèi)切圓半徑=；【點(diǎn)撥】本題考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，直角三角形內(nèi)切圓的半徑，解本題的關(guān)鍵是掌握根據(jù)直角三角形三邊求其內(nèi)切圓的半徑公式.【變式3】如圖所示，在中，（1）求.（2）求內(nèi)切圓半徑.【答案】（1）；（2）內(nèi)切圓半徑為1.【分析】（1）由三角形內(nèi)角和可得∠CBA+∠CAB=90°，由O為內(nèi)切圓圓心可得OA、OB為∠CBA和∠CAB的角平分線，即可得出∠OAB+∠OBA=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BOA的度數(shù)即可；（2）連接OD，OE、OF，由切線性質(zhì)可得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，由∠C=90°，OD=OE可證明四邊形DCEO是正方形，可得OD=CD，利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得CD=CE，AE=AF，BD=BF，設(shè)內(nèi)切圓半徑OD=r，根據(jù)AB=BF+AF列方程即可求出r的值，即可得答案.解：（1）∵∠C=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵O為內(nèi)切圓圓心，∴OA、OB為∠CBA和∠CAB的角平分線，∴∠OAB+∠OBA=∠CBA+∠CAB=45°，∴∠BOA=180°-45°=135°.（2）連接OD，OE、OF，∵AB、AC、BC是切線，切點(diǎn)為D、E、F，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，CD=CE，AE=AF，BD=BF，∵∠C=90°，OD=OE，∴四邊形DCEO是正方形，∴CD=OD，設(shè)OD=r，∴AF=AE=3-r，BF=BD=4-r，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∴AB=BF+AF=3-r+4-r=5，解得r=1，即內(nèi)切圓半徑為1.【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、正方形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．類(lèi)型九、三角形外接圓和內(nèi)切圓綜合9．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是△ABC的中線，AE∥BC，射線BE交AD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，連接CE．（1）求證：四邊形ADCE為平行四邊形；（2）若BC=2AB，求證:．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定證明即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)解答即可．解：（1）∵AD是△ABC的中線，∴D是BC的中點(diǎn)，∵F是BE的中點(diǎn)，∴DF是△BCE的中位線，∴DF∥CE，∴AD∥CE，∵AE∥BC，∴四邊形ADCE是平行四邊形；（2）∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴AE=CD，∵AD是△ABC的中線，∴BC=2CD，∴BC=2AE，∵BC=2AB，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠DBE，∴∠ABE=∠DBE，∴．【點(diǎn)撥】此題考查三角形的外接圓與外心，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定證明．【變式】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FO交BE于點(diǎn)G，