勾股定理及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計一、教案背景（一）教材分析這節(jié)課是九年制義務(wù)教育初級中學(xué)教材魯教版版七年級下冊第十章第三節(jié)《直角三角形》第一課時：直角三角形三邊的關(guān)系。勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它是直角三角形的一條重要性質(zhì)，揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系。它把三角形有一個直角的“形”的特點，轉(zhuǎn)化為三邊之間的“數(shù)”的關(guān)系，它是數(shù)形結(jié)合的典范。它可以解決許多直角三角形中的計算問題，勾股定理有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實世界中有著廣泛的作用。是初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容重點之一。（二）學(xué)情分析1．通過前面的數(shù)學(xué)學(xué)習，初二學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習活動，對數(shù)學(xué)學(xué)習有較強的好奇心和求知欲，他們能探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，也能較清楚地表達解決問題的過程及所獲得的解題經(jīng)驗，他們愿意對數(shù)學(xué)問題進行討論，并敢于對不懂的地方和不同的觀點提出自己的疑問。2.以與勾股定理有關(guān)的人文歷史知識為背景展開對勾股定理的認識，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣。（三）教學(xué)任務(wù)分析1.學(xué)生通過對勾股定理的學(xué)習，可以在原有的基礎(chǔ)上對直角三角形有進一步的認識和理解。也可了解我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情。2.具體內(nèi)容是運用勾股定理解決簡單的實際問題．當然，在這些具體問題的解決過程中，需要經(jīng)歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實踐活動，這些都有助于發(fā)展學(xué)生的分析問題、解決問題能力和應(yīng)用意識；一些探究活動具體一定的難度，需要學(xué)生相互間的合作交流，有助于發(fā)展學(xué)生合作交流的能力．二、本節(jié)課的教學(xué)目標：通過了解勾股定理的歷史背景，激發(fā)學(xué)生的愛國之情，提高數(shù)學(xué)學(xué)習的興趣。②通過對勾股定理的證明及其應(yīng)用中的幾種題型和解題技巧的復(fù)習鞏固，進一步提高觀察、實驗、動手操作的能力，體會數(shù)形結(jié)合、化歸、方程的數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用。教學(xué)重難點：①提高觀察、實驗、動手操作的能力。體會數(shù)形結(jié)合、化歸、方程的數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用。勾股定理的應(yīng)用的解題技巧及方法的掌握。三、教學(xué)方法：引導(dǎo)—探究—歸納1、由于本節(jié)課的教學(xué)對象是初二學(xué)生，他們的參與意識教強，思維活躍，為了實現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標，我力求以下三個方面對學(xué)生進行引導(dǎo)：（1）從創(chuàng)設(shè)問題情景入手，通過知識再現(xiàn)，孕育教學(xué)過程；（2）從學(xué)生活動出發(fā)，順勢教學(xué)過程；（3）利用探索研究手段，通過思維深入，領(lǐng)悟教學(xué)過程．2、課前準備教具：①教材②電腦、白板投影儀③多媒體網(wǎng)絡(luò)④學(xué)案⑤白板課件學(xué)具：四個全等的直角三角形、教材、筆記本、課堂練習本、文具．四、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計了七個環(huán)節(jié)．第一環(huán)節(jié)：；第二環(huán)節(jié)：復(fù)習舊知，夯實基礎(chǔ)；第三環(huán)節(jié)：科學(xué)驗證，體會創(chuàng)新；第四環(huán)節(jié)：勇于展示，體現(xiàn)自我；第五環(huán)節(jié)：反思鞏固小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：檢測反饋，完善自我；第七環(huán)節(jié)：課后鞏固，復(fù)習提高（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣師：在人類文化歷史的長河中，有一顆璀璨的明珠，這就是勾股定理。生集體朗誦：勾股定理的歷史背景師：本節(jié)課的主要內(nèi)容（拖拉展示）了解勾股定理的相關(guān)歷史知識，掌握幾個常見的勾股定理的證明方法。掌握勾股定理的應(yīng)用中的幾種常見的題型的解題方法和解題技巧。③體會數(shù)形結(jié)合、化歸、方程的數(shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用。目的：通過勾股定理歷史背景的介紹，提高學(xué)生的學(xué)習興趣，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情。（二）復(fù)習舊知，夯實基礎(chǔ)。師：首先我們復(fù)習勾股定理的基本內(nèi)容（黑板板書：勾股定理）（黑板展示，師生共同）文字敘述：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。ACB字母表示：如圖RtΔABC中，∠C=90o,∠A,∠B,∠C所對邊為a，b，c，則有a2+b2ACB師生（共同符號表示）：∵∠C=90o∴a2+b2=c2其中隨著直角表示的變化勾股定理的內(nèi)容也隨之變化：∵∠B=90o∵∠A=90o∴a2+c2=b2∴c2+b2=a2目的：讓學(xué)生鞏固前面所學(xué)的勾股定理的內(nèi)容，并注意形式變化的多樣化。（三）科學(xué)驗證，體會創(chuàng)新師：下面我們研究一下勾股定理的證明。我們以前學(xué)習過的課本的證明方法是在方格紙中數(shù)出直角三角形和正方形的邊長通過計算面積加以驗證。下面我們看一下其他幾種有趣的證明方法。實驗法：實驗?zāi)＞邩?gòu)成包括透明的厚度相同的三個長方體，底面分別是以直角三角形三邊為邊的正方形。可以看出2個較小長方體內(nèi)的水恰好注滿較大的長方體，所以兩較小長方體的體積和等于較大長方體的體積，由于厚度相同，因此兩較小正方形的面積和等于較大的正方形的面積，從而驗證了勾股定理。目的及效果：提高學(xué)生的觀察、分析、歸納能力。師：這幅圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造的“弦圖”，這幅圖案被2002年8月在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會選為會徽。下面請同學(xué)們用手中的四個全等直角三角形拼出這個圖驗，并考慮如何用它來證勾股定理。生：小組互相交流，探討驗證思路。師：下面找同學(xué)上黑板演示一下，并推導(dǎo)出勾股定理生：小組推選，演示，推導(dǎo)。目的及效果：學(xué)生分為四人小組，通過操作，提高動手能力、觀察分析能力，能夠用數(shù)形結(jié)合的方式解決問題，并在小組合作中培養(yǎng)學(xué)生與人合作交流的能力，增強學(xué)生探究能力，操作能力，分析能力。師：那么趙爽是如何利用“弦圖”證明的勾股定理呢?下面我們看一下(班班通白板資源——初中數(shù)學(xué)勾股定理)師：古往今來，中外很多人給出了勾股定理的證明方法，多達幾百種，上至達官顯貴，下至平民百姓，都對他有著濃厚的興趣，像項名達，梅文鼎，陳杰等都作出了證明，同學(xué)們可以課后查閱收集資料，繼續(xù)了解勾股定理的其他證明方法。AB圖甲..目的及效果：①AB圖甲..（四）勇于展示，體現(xiàn)自我該部分分為兩部分：1、勾股定理在求幾何體表面最短距離之間的應(yīng)用圖乙AB..①如圖甲，邊長為圖乙AB..沿著正方體的外表面爬到相對頂點B的最短距離是。②如圖乙中幾何體是長寬高分別為2,1,1的長方體，一只螞蟻從頂點A出發(fā)沿著正方體的外表面爬到圖丙AB..相對頂點圖丙AB..③如圖丙正方體的棱長為3cm，把它所在的面都分成3×3個小正方形，其邊長都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點爬至右側(cè)面的點B最少需秒鐘？(提示數(shù)據(jù)：5.3812≈29）B′QBAP．A′．．．．．④如圖：蒼蠅和蜘蛛在一個圓柱面上，這個圓柱高為10，底面半徑為4，AA′,BB′為圓柱的兩條母線，蜘蛛在AA′的點P處，PA=3，蒼蠅在BBB′QBAP．A′．．．．．DCBDCBA①筆直的公路上A、B兩點相距25km，C、D兩點為兩個村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)要在公路AB上建一土產(chǎn)收購站E，使C、D兩村到收購站E的距離相等，試求收購站E應(yīng)建在距A點處多遠？AA.BC②如圖,點A是一個半徑為400m的圓形森林公園的中心,在森林公園附近有B、C兩個村莊,現(xiàn)要在B、C兩村莊之間修一條長為1000m的筆直公路將兩村連通,經(jīng)測得∠B=60°,∠C=30°,問此公路是否會穿過該森林公園?請通過計算說明.目的與效果：通過4人小組的交流合作，讓學(xué)生合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，通過具體計算，總結(jié)出最短路線．讓學(xué)生理解：研究“怎么走最近”就是研究同一平面內(nèi)兩點連線最短問題，引導(dǎo)學(xué)生體會利用數(shù)學(xué)解決實際問題的方法。其中①至③題是屬于逐步加深的過程，其中隱含的解題技巧是“將較短的兩條邊接在一起”可以的到長方體表面的兩點之間的表面最短距離，讓學(xué)生在交流合作中體會到這一方法。④題主要能理解圓柱體表面展開圖中相對兩母線所處的位置，理解圓柱底面圓周長等于側(cè)面展開圖中長方形的長，這是這類題目的難點，重點在交流中突破這一點。通過學(xué)生的合作探究，找到解決沿表面“怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉(zhuǎn)化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解．在活動中體驗數(shù)學(xué)建摸，培養(yǎng)學(xué)生與人合作交流的能力，增強學(xué)生探究能力，操作能力，分析能力，發(fā)展空間觀念．讓學(xué)生理解解決實際問題的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，解決這一類幾何型問題的具體步驟大致可以歸納如下：1．審題——分析實際問題；2．建?！⑾鄳?yīng)的數(shù)學(xué)模型；3．求解——運用勾股定理計算；4．檢驗——是否符合實際問題的真實性．（五）反思鞏固小結(jié)師：同學(xué)們交流收獲生:交流……師：打開白板頁面選擇進行重點總結(jié)。①長方體表面展開圖三種情況讓較短邊拼在一起求最短距離。②圓柱體側(cè)面展開圖注意底面圓周長等于展開圖中長方形的長。而相對兩母線上的在展開圖中正好位于一半的位置。2、方程的思想在解決幾何問題中非常廣泛，注意體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法。AB目的與效果：鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習談自己的收獲和感想，體會到勾股定理的廣泛應(yīng)用及它們的悠久歷史。AB（六）檢測反饋完善自我1、如圖，長方體長寬高分別為1,1,3，一只螞蟻從下地面A點出發(fā)爬行到相對定點B覓食，爬行速度為每秒2個單位長度，則至少需秒鐘爬過去。（答案保留根號）A′AB′FSA′AB′FSB1cm的點S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處1cm的點F處有一蒼蠅，則急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度為。3、在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？目的與效果：檢測學(xué)生本節(jié)課的收獲情況，及時查漏補缺，讓學(xué)生獲得良好的學(xué)習反饋與訓(xùn)練。(七)課后鞏固，預(yù)習提高A類：1、查閱資料了解其他歷史名人對勾股定理的證明方法僅思路。2、查閱我們手中的書籍資料，匯總整理有關(guān)勾股定理及應(yīng)用的題目類型及解法，注意體會數(shù)形結(jié)合及方程等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。B類：復(fù)習勾股定理逆定理的內(nèi)容，解決下面兩道題目:CBAP已知ΔABC中∠ACB=90oCBAP試說明:∠BPC=135oAABCP已知P為正ΔABC內(nèi)一點，PA=6，PB=8，PC=10，試求∠APB的度數(shù)注意事項：作業(yè)B類作為學(xué)有余力的學(xué)生的思考題．五、教學(xué)設(shè)計反思本節(jié)從創(chuàng)設(shè)情景出發(fā)，通過學(xué)生自主探究，運用勾股定理解決簡單的實際問題，既鞏固了基本知識點，又在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，學(xué)會觀察，提高分析能力，滲透數(shù)學(xué)建摸思想．在設(shè)計中，注重以下幾點：1．要充分利用好素材：勾股定理的歷史背景及幾種證法，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣及愛國熱情；“怎么走最近”是一個生動有趣的問題，這個問題體現(xiàn)了二、三維圖形的轉(zhuǎn)化，對發(fā)展學(xué)生的空間觀念很有好處．2．突破重點、突