專題七概率與統(tǒng)計(jì)的熱點(diǎn)問題題型一概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用

[例1](2022年湖北九師聯(lián)盟模擬)某校高三年級(jí)舉行了高校強(qiáng)基計(jì)劃模擬考試(滿分100分)，將不低于50分的考生的成績(jī)分為5組，即[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并繪制頻率分布直方圖如圖7-1所示，其中在[90，100]內(nèi)的人數(shù)為3. (1)求a的值，并估計(jì)不低于50分考生的平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)；圖7-1

(2)現(xiàn)把[50，60)和[90，100]內(nèi)的所有學(xué)生的考號(hào)貼在質(zhì)地、形狀和大小均相同的小球上，并放在盒子內(nèi)，現(xiàn)從盒中隨機(jī)抽取2個(gè)小球，若取出的兩人成績(jī)差不小于30，則稱這兩人為“黃金搭檔組”.現(xiàn)隨機(jī)抽取4次，每次取出2個(gè)小球，記下考號(hào)后再放回盒內(nèi)，記取出“黃金搭檔組”的次數(shù)為X，求X的分布列和均值E(X).

解：(1)由題意，得(0.005＋0.01＋0.015＋a＋0.045)×10＝1，解得a＝0.025，

不低于50分考生的平均成績(jī)估計(jì)為55×0.1＋65×0.25＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.05＝73(分).

【反思感悟】概率與統(tǒng)計(jì)作為考查學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn).它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性.【互動(dòng)探究】

1.(2022年湛江市模擬)某高三學(xué)生小明準(zhǔn)備利用暑假的7月和8月勤工儉學(xué)，現(xiàn)有“送外賣員”和“銷售員”兩份工作可供其選擇.已知“銷售員”工作每日底薪為50元，每日銷售的前5件每件獎(jiǎng)勵(lì)20元，超過5件的部分每件獎(jiǎng)勵(lì)30元.小明通過調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了100名銷售員1天的銷售記錄，其柱狀圖如圖7-2.“送外賣員”沒有底薪，收入與送的單數(shù)相關(guān)，在一日內(nèi)：1至20單(含20單)每送一單3元，超過20單且不超過40單的部分每送一單4元，超過40單的部分，每送一單4.5元.小明通過隨機(jī)調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了100名送外賣員的日送單數(shù)，并繪制成如下頻率分布直方圖(如圖7-3).圖7-2圖7-3

(1)分別求出“銷售員”的日薪y(tǒng)1(單位：元)與銷售件數(shù)x1

的函數(shù)關(guān)系式、“送外賣員”的日薪y(tǒng)2(單位：元)與所送單數(shù)x2的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若將頻率視為概率，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，試分別估計(jì)“銷售員”的日薪X1

和“送外賣員”的日薪X2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)的均值，分析小明選擇哪種工作比較合適，并說明你的理由.銷售量/件34567頻率0.050.20.250.40.1X1110130150180210P0.050.20.250.40.1(2)由柱狀圖知，日平均銷售量滿足如下表格：所以X1

的分布列為所以E(X1)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋210×0.1＝162(元).單數(shù)/單1030507090頻率0.050.250.450.20.05X230100185275365P0.050.250.450.20.05由頻率分布直方圖可知，日送單數(shù)滿足如下表格：所以X2

的分布列為所以E(X2)＝30×0.05＋100×0.25＋185×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元).由以上計(jì)算得E(X2)＞E(X1)，做“送外賣員”掙的更多，故小明選擇做“送外賣員”的工作比較合適.題型二概率與統(tǒng)計(jì)案例的綜合應(yīng)用

[例2](2022年蘇州市模擬)為落實(shí)“十三五”規(guī)劃節(jié)能減排的國(guó)家政策，某職能部門對(duì)市場(chǎng)上兩種設(shè)備的使用壽命進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取A型和B型設(shè)備各100臺(tái)，分別得到如圖7-4和圖7-5所示的頻率分布直方圖：圖7-4圖7-5型號(hào)超過2500小時(shí)不超過2500小時(shí)合計(jì)A型B型合計(jì)(1)將使用壽命超過2500小時(shí)和不超過2500小時(shí)的臺(tái)數(shù)填入下面的列聯(lián)表：根據(jù)上面的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時(shí)與型號(hào)有關(guān)？

(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從不超過2500小時(shí)的A型和B型設(shè)備中抽取8臺(tái)，再?gòu)倪@8臺(tái)設(shè)備中隨機(jī)抽取3臺(tái)，其中A型設(shè)備為X臺(tái)，求X的分布列和均值；

(3)已知用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)有一項(xiàng)工作需要10臺(tái)同型號(hào)設(shè)備同時(shí)工作2500小時(shí)才能完成，工作期間設(shè)備損壞立即更換同型號(hào)設(shè)備(更換設(shè)備時(shí)間忽略不計(jì))，A型和B型設(shè)備每臺(tái)的價(jià)格分別為1萬元和0.6萬元，A型和B型設(shè)備每臺(tái)每小時(shí)耗電分別為2度和6度，電價(jià)為0.75元/度.只考慮設(shè)備的成本和電費(fèi)，你認(rèn)為應(yīng)選擇哪種型號(hào)的設(shè)備，請(qǐng)說明理由.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828參考數(shù)據(jù)：型號(hào)超過2500小時(shí)不超過2500小時(shí)合計(jì)A型7030100B型5050100合計(jì)12080200

解：(1)由頻率分布直方圖可知，A型超過2500小時(shí)的有100×(0.0006＋0.0005＋0.0003)×500＝70(臺(tái))，則A型不超過2500小時(shí)的有30臺(tái)，同理，B型超過2500小時(shí)的有100×(0.0006＋0.0003＋0.0001)×500＝50(臺(tái))，則B型不超過2500小時(shí)的有50臺(tái).列聯(lián)表如下：零假設(shè)為H0：使用壽命是否超過2500小時(shí)與型號(hào)無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2＝200×(70×50－30×50)2

≈8.333＞6.635＝x0.010， 100×100×120×80

所以依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0

不成立，即認(rèn)為使用壽命是否超過2500小時(shí)與型號(hào)有關(guān).

(2)由(1)和分層隨機(jī)抽樣的定義可知A型設(shè)備有3臺(tái)，B型設(shè)備有5臺(tái)，

所以X的所有可能取值為0，1，2，3，(3)由頻率分布直方圖中的頻率估計(jì)概率知：A型設(shè)備每臺(tái)更換的概率為0.3，所以10臺(tái)A型設(shè)備估計(jì)要更換3臺(tái)；B型設(shè)備每臺(tái)更換的概率為0.5，所以10臺(tái)B型設(shè)備估計(jì)要更換5臺(tái)，選擇A型設(shè)備的總費(fèi)用y1＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×2500×10-4＝16.75(萬元)，選擇B型設(shè)備的總費(fèi)用y2＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×2500×10-4＝20.25(萬元)，y1<y2，所以選擇A型設(shè)備.

【反思感悟】高考常將獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列等交匯在一起進(jìn)行考查，由頻率分布直方圖解決相關(guān)問題，解題的關(guān)鍵是正確理解頻率分布直方圖，能利用頻率分布直方圖正確計(jì)算出各組數(shù)據(jù).第x度ycm0479111213【互動(dòng)探究】2.(2022年瓊山區(qū)校級(jí)月考)設(shè)某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測(cè)得的一些數(shù)據(jù)如下表所示：作出這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：y(cm)與x(天)之間近似滿足關(guān)系(2)試借助一元線性回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.題型三均值與方差在決策中的應(yīng)用

[例3]某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件做檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有新產(chǎn)品做檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品為不合格品相互獨(dú)立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0；

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品做出檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E(X)；②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn)？解：(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為令f′(p)＝0，得p＝0.1.當(dāng)p∈(0，0.1)時(shí)，f′(p)>0；當(dāng)p∈(0.1，1)時(shí)，f′(p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1，①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180，0.1)，則E(Y)＝180×0.1＝18，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×18＝490.②如果對(duì)余下的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于490>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品做檢驗(yàn).消費(fèi)次數(shù)第1次第2次第3次不少于4次收費(fèi)比例10.950.900.85【互動(dòng)探究】

3.某嬰幼兒游泳館為了吸引顧客，推出優(yōu)惠活動(dòng)，即對(duì)首次消費(fèi)的顧客按80元收費(fèi)，并注冊(cè)成為會(huì)員，對(duì)會(huì)員消費(fèi)的不同次數(shù)給予相應(yīng)的優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下：消費(fèi)次數(shù)1次2次3次不少于4次頻數(shù)6025105該游泳館從注冊(cè)的會(huì)員中，隨機(jī)抽取了100位會(huì)員統(tǒng)計(jì)他們的消費(fèi)次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：假設(shè)每位顧客游泳1次，游泳館的成本為30元.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，回答下列問題：(1)估計(jì)該游泳館1位會(huì)員至少消費(fèi)2次的概率；(2)某會(huì)員消費(fèi)4次，求這4次消費(fèi)中，游泳館獲得的平均利潤(rùn)；

(3)假設(shè)每個(gè)會(huì)員最多消費(fèi)4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，從該游泳館的會(huì)員中隨機(jī)抽取2位，記游泳館從這2位會(huì)員的消費(fèi)中獲得的平均利潤(rùn)之差的絕對(duì)值為X，求X的分布列和均值E(X).

解：(1)25＋10＋5＝40，即隨機(jī)抽取的100位會(huì)員中，至少消費(fèi)2次的會(huì)員有40位，所以估計(jì)該游泳館1位會(huì)員