專題1.19添加條件證明三角形全等（分層練習(xí)）從判定兩個三角形全等的方法可知,要判定兩個三角形全等,需要知道這兩個三角形分別有三個元素(其中至少一個元素是邊)對應(yīng)相等,這樣就可以利用題目中的已知邊角迅速、準(zhǔn)確地確定要補充的邊角,有目的地完善三角形全等的條件,從而得到判定兩個三角形全等的思路。。1．如圖，在和中，，，，在同一直線上，且，．(1)請你添加一個條件：_________，使；（只添一個即可）(2)根據(jù)（1）中你所添加的條件，試說明的理由．．如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，作射線AD，在線段AD及其延長線上分別取點E、F，連接CE、BF．添加一個條件，使得△BDF≌△CDE，并加以證明．你添加的條件是．（不添加輔助線）．3．如圖，四邊形中，，點E在對角線上，且，如果___________，那么．請?zhí)钌夏苁菇Y(jié)論成立的一個條件，并證明你的結(jié)論．

4．如圖，點D，E分別在線段上，．現(xiàn)給出下列條件：①；②；，請你選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使得，并證明．5．在①，②，③這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，，，若______，求證：．（注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．）6．如圖，點C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，，下列3個條件：①；②；③，選出能推出的一個條件．已知：如圖，，___________（寫出一種情況即可）；求證：．7．如圖，C為BE上一點，點A、D分別在BE兩側(cè)，AC=CD，AB=CE，請你添加一個條件，使△ABC≌△CED，你添加的條件是，并寫出證明過程．8．課上，老師提出了這樣一個問題：已知：如圖，，請你再添加一個條件，使得同學(xué)們認(rèn)為可以添加的條件并不唯一，你添加的條件是______，并完成證明若添加的條件是，證明：9．如圖，在五邊形中，，．請你添加一個條件，使得，并說明理由；在(1)的條件下，若，，求的度數(shù)．10．如圖，點D在上，．(1)添加條件：____________（只需寫出一個），使；(2)根據(jù)你添加的條件，寫出證明過程．11．如圖，△ABC中，點D是BC中點，連接AD并延長到點E，連接BE．(1)若要使，應(yīng)添上條件：；(2)證明上題；(3)在△ABC中，若AB＝5，，可以求得BC邊上的中線AD的取值范圍是．12．如圖，在①，②，③這三個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，并完成問題的解答．問題：如圖，在中，D是BC邊上一點，DE，DF分別是和高，EF交AD于O，若______，求證：；若，，求的面積．13．如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在BC上，BD=BE．（1）請你再添加一個條件，使得△BEA≌△BDC，并給出證明．你添加的條件是；（2）證明：

14．如圖，在長方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，點P從點B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點C運動，設(shè)點P的運動時間為t秒：（1）PC＝cm．（用t的代數(shù)式表示）（2）當(dāng)t為何值時，△ABP≌△DCP？（3）當(dāng)點P從點B開始運動，同時，點Q從點C出發(fā)，以vcm/秒的速度沿CD向點D運動，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請求出v的值；若不存在，請說明理由．15．如圖，已知，．（1）若添加條件，則嗎？請說明理由；（2）若運用“”判定與全等，則需添加條件：_________；（3）若運用“”判定與全等，則需添加條件：___________．16．如圖，在△ABC中，點D在線段BC上，∠1＝∠2，AE＝AC．（1）在不添加任何字母的情況下，請再補充一個條件，使得△ABC≌△ADE，你補充的條件是（至少寫出兩個可行的條件）；（2）請你從所給條件中選一個，使△ABC≌△ADE，并證明．17．如圖，在△ABC中，點D在AB上，點E在BC上，BD＝BE．（1）請你再添加一個條件，使得△BEA≌△BDC，并給出證明．你添加的條件是．（2）根據(jù)你添加的條件，再寫出圖中的一對全等三角形．（只要求寫出一對全等三角形，不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母，不必寫出證明過程）18．已知：點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB＝OC．(1)如圖①，若點O在BC上，求證：∠B＝∠C；(2)如圖②，若點O在△ABC的內(nèi)部，求證：∠ABO＝∠ACO.19．如圖，AB⊥AC，CD⊥BD，AC、BD相交于點O．①已知AB＝CD，利用可以判定△ABO≌△DCO；②已知AB＝CD，∠BAD＝∠CDA，利用可以判定△ABD≌△DCA；③已知AC＝BD，利用可以判定△ABC≌△DBC；④已知AO＝DO，利用可以判定△ABO≌△DCO；⑤已知AB＝CD，BD＝AC，利用可以判定△ABD≌△DCA；20．如圖，已知∠B＝∠DEC，AB＝DE，要推得△ABC≌△DEC；（1）若以“SAS”為依據(jù)，還缺條件______________；（2）若以“ASA”為依據(jù)，還缺條件__________________；（3）若以“AAS”為依據(jù)，還缺條件_____________________；21．如圖，在長方形中，=6，10，點從點出發(fā)，以2/秒的速度沿向點運動，設(shè)點的運動時間為秒：（1）_______；（用的代數(shù)式表示）（2）如圖①當(dāng)為何值時，？（3）如圖②當(dāng)點從點開始運動，同時，點以/秒從出發(fā)沿向點運動，一點到達(dá)終點時兩點都停止運動．當(dāng)為何值時，與全等？

22．根據(jù)全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個內(nèi)角、四條邊分別對應(yīng)相等）的四邊形叫做全等四邊形．請借助三角形全等的知識，解決有關(guān)四邊形全等的問題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，B=B，C=C，現(xiàn)在只需補充一個條件，就可得四邊形ABCD≌四邊形ABCD．下列四個條件：①A=A；②D=D；③AD=AD；④CD=CD；（1）其中，符合要求的條件是．（直接寫出編號）（2）選擇（1）中的一個條件，證明四邊形ABCD≌四邊形ABCD．23．在直角三角形中，，直線過點．(1)當(dāng)時，①如圖1，分別過點和作直線于點，直線于點．求證：；②如圖2，過點作直線于點，點與點關(guān)于直線對稱，連接交直線于，連接．求證：．當(dāng)cm，cm時，如圖3，點與點關(guān)于直線對稱，連接、．點從點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿路徑運動，終點為，點以每秒3cm的速度沿路徑運動，終點為，分別過點、作直線于點，直線于點，點、同時開始運動，各自達(dá)到相應(yīng)的終點時停止運動，設(shè)運動時間為秒．當(dāng)與全等時，求的值．24．如圖①、②、③中，點E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且BE=CD，DB交AE于P點．（1）求圖①中，∠APD的度數(shù)為_______；（2）圖②中，∠APD的度數(shù)為_________，（3）圖③中，∠APD的度數(shù)為_______；參考答案1．(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理即可求解．（2）結(jié)合（1）的條件，利用ASA即可求證．【詳解】（1）解：添加使，故答案為：．（2）∵，∴，即，在和中，，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．DE=DF(答案不唯一)，理由見詳解【詳解】解：添加的條件是：DE=DF．理由如下：∵點D是BC的中點，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，∵∴△BDF≌△CDE．故答案為：DE=DF．3．，證明見解析【分析】添加條件：，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，結(jié)合已知利用證明全等即可．【詳解】添加條件：，證明如下：∵，∴，在和中，∴故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的證明，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．見解析【分析】添加，由證明即可．【詳解】解：添加，使得，證明：在和中，，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．∠A=∠E（答案不唯一）【分析】由“ASA”可證△ABC≌△EDF，可得EF=AC．【詳解】解：若∠A=∠E，∵AD=BE，∴AB=DE，∵∠ADF=∠CBE，∴∠FDE=∠CBA，在△ABC和△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（ASA），∴EF=AC．故答案為：∠A=∠E（答案不唯一）．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．①或③；見解析【分析】若選，由可得，由定理可得，利用三角形的性質(zhì)定理可得結(jié)果；若選，由可得，可證得，利用全等三角形的性質(zhì)定理可得結(jié)果．【詳解】.法一：若選①，證明如下：∵，∴．∵，∴．∴．法二：若選③，證明如下：∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．【點撥】本題只要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．BC=ED（答案不唯一），證明見解析【分析】可添加：BC=ED，利用SSS即可證明結(jié)論．【詳解】解：可添加：BC=ED，證明如下在ABC和CED中∴ABC≌CED（SSS）故答案為：BC=ED（答案不唯一）．【點撥】此題考查的是添加條件，使兩個三角形全等，掌握全等三角形的各個判定定理是解題關(guān)鍵．8．(1)答案不唯一，，證明見解析(2)見解析【分析】（1）添加條件，直接證明，即可得證；（2）連接，證明，得出，進(jìn)而證明，即可得證．【詳解】（1）答案不唯一，添加條件，證明：在與中，∴，故答案為：；（2）連接，如圖，在與中，，∴，∴，∴，在與中，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．(1)見解析；(2)．【分析】（1）或．根據(jù)或，證明即可求解；（2）根據(jù)得出，繼而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：添加：或．∵在和中，∴或．（2）∵，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，，結(jié)合三角形全等的判定條件添加條件即可；（2）結(jié)合（1）的條件，根據(jù)三角形全等的判定條件添加條件進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）添加的條件是：,故答案為；（2）∵∴，∵∴，即，又∴【點撥】本題主要考查了三角形全等的判定，確定出三角形全等判定條件是解答本題的關(guān)鍵．11．(1)或AD=DE（答案不唯一）(2)見解析(3)0.5＜AD＜4.5【分析】（1）若要使△ACD≌△EBD，應(yīng)添上條件：或AD=DE（答案不唯一）；（2）由AC與BE平行，得到兩內(nèi)錯角相等，再由D為BC的中點，得到BD=CD，利用AAS可得出三角形ACD與EBD全等；（3）在三角形ABE中，利用兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊得到AE的取值范圍，由D為AE的中點，得到AD的取值范圍．【詳解】（1）解：可添加：或AD=DE（答案不唯一）．（2）證明：∵，∴∠CAD=∠E，∠ACD=∠EBD，又∵D為BC的中點，∴BD=CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（AAS）；若添加AD=DE．又∵D為BC的中點，∴BD=CD，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）；（3）解：∵△ACD≌△EBD，∴AD=DE=AE，BE＝，在△ABE中，AE＞AB-BE=5-4=1，AE<AB+BE=5+4=9，∴1<AE<9．∴0.5<AD<4.5．故答案為：0.5<AD<4.5．【點撥】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理．12．(1)證明過程見解析(2)16【分析】（1）若①，利用證明；若②，利用證明；若③，利用證明；（2）根據(jù)，可得，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：若①∵DE，DF分別是?和?高∴在和中∵∴若②∵DE，DF分別是?和?高∴在和中∵∴若③∵DE，DF分別是?和?高∴在和中∵∴（2）解：∵∴∵∴【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積等知識點，掌握全等三角形的判定方法和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．13．（1）BC=BA（答案不唯一）；（2）見解析．【分析】(1)根據(jù)三角形全等的判定方法添加條件即可；(2)根據(jù)已知條件，用（ASA）判定△BEA≌△BDC即可；【詳解】解：(1)添加條件為：BC=BA；(2)證明：由題意可知：BD=BE，BC=BA，在△BEA和△BDC中，∴△BEA≌△BDC（SAS）．【點撥】本題主要考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．14．（1）(10﹣2t)；（2）t＝2.5；（3）存在；v的值為2.4或2【分析】（1）根據(jù)題意求出BP，計算即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定定理解答；（3）分△ABP≌△QCP和△ABP≌△PCQ兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答.【詳解】解：（1）∵點P的速度是2cm/s，∴ts后BP=2tcm，∴PC=BC?BP=(10?2t)cm，故答案為：(10﹣2t)（2）當(dāng)t=2.5時，△ABP≌△DCP，∵當(dāng)t=2.5時，BP=CP=5，在△ABP和△DCP中，∴△ABP≌△DCP；（3）∵∠B=∠C=90°，∴當(dāng)AB=PC,BP=CQ時,△ABP≌△PCQ，∴10?2t=6，2t=vt，解得，t=2，v=2，當(dāng)AB=QC,BP=CP時,△ABP≌△QCP，此時，點P為BC的中點，點Q與點D重合，∴2t=5,vt=6，解得，t=2.5，v=2.4，綜上所述，當(dāng)v=1或v=2.4時，△ABP≌△PCQ全等．【點撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的對邊相等、四個角都是直角以及全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵.15．（1），見解析；（2）；（3）【分析】(1)添加條件，只要再推導(dǎo)出AF=BE，便可利用“AAS”證明出，即可得；(2)要利用“”判定與全等，已經(jīng)有了，?？梢缘玫紸F=BE，只要再找到圖形中以AF、BE為邊另外一組角相等即可；(3)要運用“”判定與全等，已知條件中已經(jīng)有了，，即一邊一角的條件，由“”的特點，再找到，的另外一邊相等即可．【詳解】解：（1）.理由如下：因為，所以，即.在和中，因為，，.所以，所以.（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.（2）；（3）.【點撥】本題考查的是全等三角形的判定，熟記各判定定理的內(nèi)容并理解它們的要點是解決此類題型的關(guān)鍵．16．（1）∠B=∠ADE；BC=DE；（2）見解析．【分析】（1）利用全等三角形的判定定理進(jìn)一步得出答案即可；（2）從（1）中選取一個條件，根據(jù)全等三角形判定定理進(jìn)一步證明即可.【詳解】（1）∵∠1＝∠2，∴∠E+∠AOE=∠C+COD，∵∠AOE=∠COD，∴∠E=∠C，又∵AE=AC，∴當(dāng)∠B=∠ADE時，△ABC≌△ADE（AAS）；當(dāng)BC=DE時，△ABC≌△ADE（SAS）；故答案為：∠B=∠ADE；BC=DE；（2）證明當(dāng)∠B=∠ADE時，△ABC≌△ADE，理由如下：∵∠1=∠2，∴∠E+∠AOE=∠C+COD，∵∠AOE=∠COD，∴∠E=∠C，在△BAC和△DAE中∵．．∴△ABC≌△ADE（AAS）．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.17．（1）見解析；（2）見解析.【分析】本題是開放題，應(yīng)先確定選擇哪對三角形，再對應(yīng)三角形全等條件求解．【詳解】（1）添加條件例舉：BA=BC；∠AEB=∠CDB；∠BAE=∠BCD；證明例舉（以添加條件∠AEB=∠CDB為例）：∵∠AEB=∠CDB，BE=BD，∠B=∠B，∴△BEA≌△BDC．（2）另一對全等三角形是：△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA．故答案為∠AEB=∠CDB；△ADF≌△CEF或△AEC≌△CDA．【點撥】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．18．(1)詳見解析;(2)詳見解析【分析】根據(jù)HL判斷直角三角形全等即可.【詳解】在Rt△OEC和Rt△OFB中，∵，∴Rt△OEC≌Rt△OFB(H.L.)，∴∠B＝∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等)(2)在Rt△OEC和Rt△OFB中，∵，∴Rt△OEC≌Rt△OFB(H.L.)，∴∠ABO＝∠ACO【點撥】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知HL判定直角三角形的方法.19．①AAS；②SAS；③HL；④ASA；⑤SSS.【分析】結(jié)合已知條件和垂直條件,根據(jù)全等三角形的判定即可解題.【詳解】解：①由垂直可得∠BAO＝∠CDO，和對頂角∠AOB＝∠DOC，結(jié)合AB＝CD，可利用AAS判定△ABO≌△DCO，故答案為AAS；②由條件AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，結(jié)合AD＝DA，利用SAS可以判△ABD≌△DCA，故答案為SAS；③由垂直可得∠BAC＝∠CDB，AC＝DB，結(jié)合BC＝CB，利用HL可以判定△ABC≌△DCB，故答案為HL；④由垂直可得∠BAO＝∠CDO，AO＝DO，且對頂角∠AOB＝∠DOC，利用ASA可判定△ABO≌△DCO，故答案為ASA；⑤由條件AB＝DC，BD＝CA，結(jié)合AD＝DA，利用SSS可以判定△ABD≌△DCA，故答案為SSS．【點撥】本題考查了全等三角形的判定,中等難度,熟悉全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.20．BC=EC∠A=∠EDC∠ACB=∠DCE(或∠ACD=∠BCE)【詳解】試題分析：根據(jù)三角形全等的判定方法，和題目中所給的條件，依次去判斷添加哪一個條件；現(xiàn)有的條件是，∠B＝∠DEC，AB＝DE，如以“SAS”為依據(jù)，還缺邊相等，找邊即可；若以“ASA”為依據(jù)，還缺角相等，找角即可；以“AAS”為依據(jù)，也是缺角相等，找角即可．試題解析：∵∠B=∠DEC，AB=DE∴（1）要利用SAS，則還缺少一邊即：BC=EC（2）要利用ASA，則缺少一角即：∠A=∠EDC（3）要利用AAS，則缺少一角即：∠ACB=∠DCE．故填BC=EC，∠A=∠EDC，∠ACB=∠DCE．點撥：本題屬開放型的題目，解答關(guān)鍵是明白SAS、ASA、AAS的含義，據(jù)已知，缺什么條件，找什么條件，直接或間接的都可以．答案不唯一是本題的特點．要根據(jù)已知條件的位置選擇方法．21．（1）；（2）；（3）或2．【分析】（1）根據(jù)點的運動速度可得的長，再利用即可得到的長；（2）已知，，根據(jù)三角形全等的條件可得當(dāng)時，可得；（3）此題主要分兩種情況①當(dāng)，時，；當(dāng)，時，，然后分別計算出的值，進(jìn)而得到的值．【詳解】解：（1）點從點出發(fā)，以秒的速度沿向點運動，點的運動時間為秒時，，則；（2）當(dāng)時，，理由：∵當(dāng)時，在和中，，；即：時，，∴，解得：，（2）①當(dāng)，時，，，，，，解得：，，，解得：；②當(dāng)，時，，，，∴，解得：，，，解得：．綜上所述：當(dāng)或2時與全等．【點撥】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形全等的條件，找準(zhǔn)對應(yīng)邊．22．（1）①②④；（2）選④，證明見解析【分析】（1）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（2）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）符合要求的條件是①②④，當(dāng)選擇①A=A時，證明：連接AC、AC，在△ABC與△ABC中，，∴△ABC≌△ABC(SAS)，∴AC=AC，ACB=ACB，BAC=B'A'C'，∵BCD=BCD，∴BCDACB=BCDACB，∴ACD=ACD，∵BAD=BAD，∴BADBAC=BADBAC，∴DAC=DAC，在△ACD和△ACD中，，∴△ACD≌△ACD(ASA)，∴D=D'，DC=DC，DA=DA，∴四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，∴四邊形ABCD≌四邊形ABCD；當(dāng)選擇②D=D時，證明：同理得到AC=AC，ACD=ACD，∵D=D，在△ACD和△ACD中，，∴△ACD≌△ACD(AAS)，∴D=D'，DC=DC，DA=DA，∴四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=AB，BC=BC，AD=AD，DC=DC，B=B，BCD=BCD，D=D，BAD=BAD，∴四邊形ABCD≌四邊形ABCD；當(dāng)選擇③AD=AD時，在△ACD和△ACD中，AC=AC，ACD=ACD，AD=AD，不符合全等的條件，不能得到△ACD≌△ACD；（2）選④CD=CD，證明：連接AC、AC，在△ABC與△ABC中，，∴△ABC≌△ABC(SAS)，∴AC=AC，ACB=ACB，BAC=B'A'C'，∵BCD=BCD，∴BCDACB=BCDACB，∴ACD=ACD，在△ACD和△ACD中，，∴△ACD≌△ACD(SAS)，∴D=D'，DAC=DAC，DA=DA，∴BACDAC=BACDAC，即BAD=BAD，∴四邊形ABCD和四邊形ABCD中，AB=