思政教育7直梁彎曲

剪力和彎矩的計(jì)算方法——截面法直梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件本章要點(diǎn)：剪力和彎矩的計(jì)算方法；剪力方程和彎矩方程；橫力彎曲時(shí)正應(yīng)力和切應(yīng)力計(jì)算。應(yīng)掌握內(nèi)容：7.1梁的類(lèi)型及計(jì)算簡(jiǎn)圖1.彎曲變形

桿件受到垂直軸線的外力或位于軸線所在平面的力偶作用，桿件軸線變彎。此類(lèi)變形稱為彎曲變形，通常將承受彎曲變形的桿件稱為梁。2.工程實(shí)例

桿件都是受到與桿軸線相垂直的外力（橫向力）或外力偶的作用。

其變形為桿軸線由直線變成曲線，這種變形稱為彎曲變形。受力特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：

梁的類(lèi)型及計(jì)算簡(jiǎn)圖以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。

梁的類(lèi)型及計(jì)算簡(jiǎn)圖

梁的類(lèi)型及計(jì)算簡(jiǎn)圖3.簡(jiǎn)單靜定梁的分類(lèi)1）簡(jiǎn)支梁

梁的兩端分別為固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座，如圖(a)所示。

2）外伸梁

簡(jiǎn)支梁的一端或兩端伸出支座之外的梁，如圖(c)所示。

3）懸臂梁

梁的一端為固定端，另一端為自由端的梁，如圖(b)所示。7.2梁彎曲時(shí)的內(nèi)力7.2.1.彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩如圖所示簡(jiǎn)支梁AB受集中力P作用，設(shè)其約束反力分別為RA，RB。在距左支座x處用假想截面將梁截開(kāi)，取左脫離體進(jìn)行分析。由梁的平衡可知，在m-m截面上必存在內(nèi)力Q和力偶M。對(duì)右脫離體也有同樣的結(jié)果。由此可知梁的內(nèi)力有兩項(xiàng)：一項(xiàng)為與橫截面相切的力，稱為剪力，記為Q；另一項(xiàng)是矩矢垂直于軸線的力偶，稱為彎矩，記為M。

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力

可以看出，剪力Q在數(shù)值上，等于截面m-m以左所有外力在梁軸垂線（y軸）上投影的代數(shù)和。彎矩M在數(shù)值上，等于截面m-m以左所有外力對(duì)截面形心的力矩的代數(shù)和。所以，Q和M可用截面左側(cè)的外力來(lái)計(jì)算。如以右段為研究對(duì)象，用相同的方法也可求得截面m-m上的剪力Q和彎矩M。且在數(shù)值上，Q等于截面m-m以右所有外力在梁軸垂線上投影的代數(shù)和；M在數(shù)值上，等于截面m-m以右所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和。因?yàn)榧袅和彎矩M是左段與右段之間在截面上相互作用的內(nèi)力，所以，右段作用于左段的剪力Q和彎矩M，必然在數(shù)值上等于左段作用于右段的剪力Q和彎矩M，但方向相反。

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力剪力、彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定如下：使梁的脫離體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的剪力規(guī)定為正，反之為負(fù)；使梁的脫離體下側(cè)受拉而上側(cè)受壓的彎矩規(guī)定為正，反之為負(fù)，如圖所示。對(duì)某一指定的截面來(lái)說(shuō)，在它左側(cè)向上的外力，或右側(cè)向下的外力將產(chǎn)生正的剪力；反之，即產(chǎn)生負(fù)的剪力。至于彎矩，則無(wú)論在指定截面的左側(cè)或右側(cè)，向上的外力產(chǎn)生正的彎矩，而向下的外力產(chǎn)生負(fù)的彎矩。

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力

【例7-1】用截面法計(jì)算圖示梁1-1，2-2，3-3截面上的內(nèi)力。三個(gè)面到支座A的距離分別為x1，x2，x3?！窘狻扛鶕?jù)先外力后內(nèi)力的原則，先計(jì)算約束反力RA，RB。列平衡方程

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力再利用截面法，分別在1-1，2-2，3-3截面處截開(kāi)，取左脫離體，受力圖見(jiàn)圖(a~c)。

圖(b)：圖(c)：圖(d)：

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力對(duì)于截面3-3的內(nèi)力計(jì)算，也可取右脫離體，如圖(e)所示。代入RA，RB，M0和P的值即可得到各截面的剪力和彎矩的表達(dá)式。若把x1，x2，x3看作是沿軸線方向的變量x，則得到的內(nèi)力就是截面位置x的函數(shù)，稱為內(nèi)力方程：

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力【例7-2】求下列圖中指定截面的剪力和彎矩，并確定其正、負(fù)號(hào)。正正

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力正正正正正

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力7.2.2.剪力方程和彎矩方程以橫坐標(biāo)x表示橫截面在梁軸線上的位置，則各橫截面上的剪力和彎矩皆可表示為x的函數(shù)，即：，這就是梁的剪力方程和彎矩方程。7.2.3剪力圖和彎矩圖梁彎曲時(shí)，橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化，將剪力和彎矩沿梁軸線的變化情況用圖形表示出來(lái)，這種圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力【例7-3】外伸梁及其所受荷載如圖所示。試作梁的剪力圖和彎矩圖。【解】

（1）求支座反力：RA=7kN，RB=5kN

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力【例7-4】已知：G,a,b,l,畫(huà)梁AB內(nèi)力圖解：1〉求A,B支座反力(a+b=l)2〉求x截面內(nèi)力

a)0<x<a

b)a<x<l

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力根據(jù)以上條件，畫(huà)出剪力圖、彎矩圖最大剪力Qmax在AC(b>a)（或CB,a>b）段Qmax=Gb/l最大彎矩在C截面處Mmax=Gab/l本例中，剪力和彎矩的表達(dá)式與截面的位置形式上構(gòu)成了一種函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系稱為剪力方程和彎矩方程；即：Q=Q(x)

M=M(x)

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力【例7-5】作圖示梁的內(nèi)力圖。求支座反力FAy,FBy得：FAy=-FBy=M/lAC段x截面處剪力Q=FAy,同理可求得BC段剪力與AC段相同，剪力圖如左AC段彎矩方程M1M1=FAy·x=M

·x/LBC段彎矩方程M2M2=FAy

·x-M=M(x-

L)/L

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力【例7-6】懸臂梁作用均布載荷q，畫(huà)出梁的剪力圖和彎矩圖寫(xiě)出A點(diǎn)x處截面的剪力方程和彎矩方程剪力圖、彎矩圖如右，最大剪力、彎矩均發(fā)生在B點(diǎn)，且

梁彎曲時(shí)的內(nèi)力M=3kN.m,q=3kN/m,a=2m求A、B處支反力FAY=3.5kN;FBY=14.5KN剪力圖：如圖，將梁分為三段AC：q=0,FQC=FAYCB：q<0,FQB=-8.5kNBD：q<0,FQB=6kN彎矩圖：AC：q=0,FQC>0,直線,MC=7KN.MCB：q<0,拋物線,FQ=0,MB=6.04BD：q<0,開(kāi)口向下，MB=-6kN.m7.3梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件平面彎曲橫力彎曲純彎曲剪力Q≠0彎矩M≠0剪力Q=0彎矩M≠0純彎曲：平面假設(shè)：梁變形后，其橫截面仍為平面，并垂直于梁的軸線，只是繞截面上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件純彎曲正應(yīng)力公式推導(dǎo)：如上圖1、2得縱向變形：根據(jù)胡克定律，可知：由圖3得：幾何關(guān)系物理關(guān)系即對(duì)照以上各式，得：其中：Iz為截面對(duì)z軸的慣性矩

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件由正應(yīng)力公式可知，彎曲梁截面上的最大正應(yīng)力應(yīng)該在其上下邊緣：即|y|的最大值處.引入彎曲截面系數(shù)Wz=Iz/ymax，最大正應(yīng)力公式為：慣性矩計(jì)算：A定義式：B積分式：矩形截面Iz的計(jì)算：如圖

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件梁在彎曲變形時(shí)，其截面上既有正應(yīng)力也有切應(yīng)力，故有：和對(duì)于等截面梁，可以寫(xiě)成：對(duì)于脆性梁，其抗拉、抗壓性能不等時(shí)，應(yīng)分別予以設(shè)計(jì)。通常在設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，先以彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則設(shè)計(jì)出截面尺寸，然后按照彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行校核。彎曲正應(yīng)力

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件圖示T形截面鑄鐵外伸梁，其許用拉應(yīng)力[σ]＝30MPa，許用壓應(yīng)力[σ]＝60MPa，截面尺寸如圖。截面對(duì)形心軸z的慣性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。試校核梁的強(qiáng)度。分析：1、畫(huà)出梁的彎矩圖（確定最大彎矩及其所在截面）2、求出梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力值3、校核強(qiáng)度解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，畫(huà)出彎矩圖如b)，最大正彎矩在C點(diǎn)，最大負(fù)彎矩在B點(diǎn)，即：

C點(diǎn)為上壓下拉，而B(niǎo)點(diǎn)為上拉下壓FAFB

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件2、求出B截面最大應(yīng)力最大拉應(yīng)力（上邊緣）：最大壓應(yīng)力（下邊緣）：

第5章

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件3、求出C截面最大應(yīng)力在截面C上雖然彎矩MC的絕對(duì)值小于截面B上MB

，但MC是正彎矩，最大拉應(yīng)力發(fā)生于截面C的下邊緣各點(diǎn)處，而這些點(diǎn)到中性軸的距離比較遠(yuǎn)，因而就有可能發(fā)生比截面B上還要大的拉應(yīng)力：

故梁強(qiáng)度足夠

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件

梁純彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件

7.2彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

7.2.1梁的純彎曲

當(dāng)梁的橫截面上僅有彎矩而無(wú)剪力，從而僅有正應(yīng)力而無(wú)切應(yīng)力的情況，稱為純彎曲。

7.2.2純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力當(dāng)y=ymax時(shí)，

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

形心軸慣性矩彎曲截面系數(shù)7.2.3慣性矩和彎曲截面系數(shù)

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

7.2.4梁的彎曲強(qiáng)度計(jì)算

在橫力彎曲的情況下，彎矩將沿梁軸線變化，對(duì)于等截面梁，此時(shí)的最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大彎矩所在的截面（危險(xiǎn)截面）上，即

或

max≤[

]

強(qiáng)度條件

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

（1）對(duì)塑性材料

（2）對(duì)脆性材料

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

圖示為一矩形截面簡(jiǎn)支梁。已知：F=5kN，a=180mm,b=30mm，h=60mm，試求豎放時(shí)與橫放時(shí)梁橫截面上的最大正應(yīng)力。例題7

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

解：（1）求支反力FAy=FBy=5kN（2）畫(huà)彎矩圖

例題7

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

豎放時(shí)最大正應(yīng)力

橫放時(shí)最大應(yīng)力

例題7

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

下圖為T(mén)型鑄鐵梁。已知：F1=9kN，F(xiàn)2=4kN，鑄鐵的許用拉應(yīng)力[

t]=30MPa，許用壓應(yīng)力[

c]=60MPa，截面對(duì)形心軸z的慣性矩Iz=763cm4，y1=52mm。試校核梁的強(qiáng)度。例題8

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

解：（1）求支反力∑MC=0，F(xiàn)Ay=2.5kN∑MA=0，F(xiàn)Cy=10.5kN（2）畫(huà)彎矩圖MA=MC=0MB=FAy×1m=2.5kN·mMC=F2×1m=－4kN·m例題8

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

（3）強(qiáng)度校核Mmax=MC=－4kN·mC截面例題8

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

B截面

梁滿足強(qiáng)度條件。

例題8

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

一單梁吊車(chē)由32b號(hào)工字鋼制成，見(jiàn)右圖，梁跨度l=0.5m，梁材料為Q235鋼，許用應(yīng)力[

]=140MPa，電葫蘆自重G=15kN，梁自重不計(jì)，求該梁可能承載的起重量F。例題9

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

解：（1）求支反力（2）求最大彎矩

（3）計(jì)算許可載荷F

Mmax

Wz例題9FAyFByMmaxMx

彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算

Mmax

Wz=（140×106N/m2）×（726.33×10-6m3）

=1.02×105N·m=102kN·m由得例題97.3彎曲變形的概念7.3.1撓曲線

7.3.2撓度和轉(zhuǎn)角

軸線上任一點(diǎn)在垂直于x軸方向的位移，即撓曲線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為該截面的撓度，用w表示。

撓