雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一、雙曲線的定義1、定義：在平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.2、焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)、3、焦距：兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距，表示為.4、雙曲線就是下列點(diǎn)的集合：．5、要點(diǎn)注意：（1）若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；（2）若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；（3）若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；（4）若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在軸焦點(diǎn)在軸圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)、、的關(guān)系三、待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法四、由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍1、對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)表示雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.2、對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)表示雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；當(dāng)時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.3、已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對(duì)應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值范圍的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍。五、求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形面積的方法（1）=1\*GB3①根據(jù)雙曲線的定義求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關(guān)系式；=3\*GB3③通過(guò)配方，利用整體的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面積。（2）利用公式求得面積；（3）若雙曲線中焦點(diǎn)三角形的頂角，則面積，這一結(jié)論適用于選擇或選擇題。題型一對(duì)雙曲線定義的理解【例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A．射線B．直線C．橢圓D．雙曲線的一支【變式11】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，，則在平面內(nèi)滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的是（）A．B．C．D．【變式12】（2024上·河南焦作·階段練習(xí)）（多選）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的點(diǎn)M的軌跡（）A．橢圓B．一條直線C．兩條射線D．雙曲線【變式13】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線上的點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為11，則它到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A．1或21B．14或36C．2D．21題型二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A．B．C．D．【變式21】（2023上·浙江杭州·高二期末）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【變式22】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列選項(xiàng)中的曲線與共焦點(diǎn)的雙曲線是（）A．B．1C．1D．1【變式23】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）一個(gè)焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2）與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（3）經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)．題型三由雙曲線的方程求參數(shù)【例3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知方程表示的焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，則m的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式31】（2023·上?！と＃┮阎€是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【變式32】（2024上·寧夏銀川·期中）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式33】（2023秋·江蘇無(wú)錫·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則題型四雙曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【例4】（2021秋·廣東深圳·高二?？计谥校┤魴E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的面積是（）A．B．tC．2tD．4t【變式41】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線分別交雙曲線的左右兩支于兩點(diǎn)，且，則（）A．B．C．D．【變式42】（2022上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，在左支上過(guò)的弦的長(zhǎng)為4，那么的周長(zhǎng)是（）A．24B．20C．16D．8【變式43】（2024上·衡水·階段練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則（）A．B．C．D．題型五與雙曲線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡【例5】（2024上·山西晉中·期末）與兩圓及都外切的圓的圓心的軌跡為（）A．橢圓B．雙曲線的一支C．拋物線D．圓【變式51】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┦且粋€(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，若四邊形（為原點(diǎn)）的面積為4，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）A．B．C．D．【變式52】（2023·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且直線的斜率之積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．求軌跡的方程；【變式53】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)M(0，2)，且與圓N：相內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程是（）A．B．C．D．題型六雙曲線中的距離和差最值【例6】（2023上·江蘇徐州·期中）已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A．B．C．D．【變式61】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線的下焦點(diǎn)為，，是雙曲線上支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A．