向量空間fn中的n維向量空間

由于fn是同構(gòu)的，因此只在向量空間fn中討論了fn。一、,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,7,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2定理設(shè)以向量組α1,α2,…αn為列向量的矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換化為β1,β2,…βn為列向量的矩陣B,則(1)αi1,αi2,…,αir為α1,α2,…,αn的極大線性無關(guān)組的充要條件是βi1,βi2,…,βir為β1,β2,…βn的極大線性無關(guān)組.(2)αj在αi1,αi2,…,αir下的坐標(biāo)與βj在極大無關(guān)組βi1,βi2…βir下的坐標(biāo)相同.推論1設(shè)α1,α2,…,αn為Fn一組基,ε1,ε2,…,εn為Fn的標(biāo)準(zhǔn)基,β為Fn中任一向量,以α1,α2,…,αn,β為列向量的矩陣A經(jīng)過有限次初等行變換化為以ε1,ε2,…,εn,β′為列向量的矩陣B,那么,β在基α1,α2,…,αn下的坐標(biāo)為β′.推論2設(shè)α1,α2,…,αn為Fn的一組基,Fn的線性變換σ:σ(α1)=β1,σ(α2)=β2,…,σ(αn)=βn,以α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βn為列的n×2n矩陣經(jīng)有限次初等行變換化為(In×nue001…Bn×n),則σ在基α1,α2,…,αn下的矩陣為B.推論3已知向量空間Fn一組基α1,α2,…,αn及Fn中任意n個向量β1,β2,…βn,ξ是Fn中任一向量以α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βn為列向量的矩陣經(jīng)有限次初等行變換化為(In×nue001…Bn×n),則即為滿足σ(αi)=βi(i=1,2,…,n)的線性變換.二、線性方程組的理論(1)因?yàn)槌醯茸儞Q不改變矩陣的秩,所以,A的秩等于B的秩,又因?yàn)榫仃嚨闹?、列秩、行秩相?所以,向量組α1,α2,…,αn與向量組β1,β2,…,βn同秩.又由線性方程組的理論知,齊次線性方程組x1αi1+x2αi2+…+xrαir=0與x1βi1+x2βi2+…+xrβir=0同解,所以αi1,αi2,…,αir線性無關(guān)的充要條件是βi1,βi2,…,βir線性無關(guān).因此(1)款成立.(2)由線性方程組理論知,方程組x1αi1+x2αi2+…+xrαir=αj與x1βi1x2βi2+…+xrβir=βj同解,所以αj在αi1,αi2,…αir下的坐標(biāo)與βj在βi1,βi2,…βir下的坐標(biāo)相同.定理得證.推論1、推論2、推論3屬于定理結(jié)果的直接應(yīng)用,證明從略.三、應(yīng)用1.極大線性無關(guān)組的s例1求向量組α1=(1,0,1,1,2),α2=(0,2,1,1,0),α3=(1,2,2,2,2),α4=(2,0,2,2,4)的所有極大線性無關(guān)組及其余向量在相應(yīng)極大線性無關(guān)組下坐標(biāo).解(1)以α1,α2,α3,α4為列構(gòu)造矩陣A,并對A施行初等行變換:可見,秩A=2且原向量組的極大線性無關(guān)組為:{α1,α2},{α1,α3},{α2,α3},{α2,α4},{α3,α4}且在極大無關(guān)組為α1,α2時,α3=α1+α2,α4=2α1+0α2(2)對A′再施行初等行變換可得則在極大線性無關(guān)組α2,α4下:同理可得:2.矩陣最小行變換方程的求解例2設(shè)α1=(1,1,0),α2=(0,1,1),α3=(0,0,1)為R3一組基,求γ=(2,3,4)在基α1,α2,α3下坐標(biāo).解以α1,α2,α3,γ為列作矩陣A,并對A施行初等行變換則γ在基α1,α2,α3下的坐標(biāo)為(2,1,3).3.為“基”,2下的矩陣?yán)?在F2中,線性變換σ把基α1=(3,1),α2=(1,1)變?yōu)?2,-4);(0,2),求:(1)σ在基α1,α2下的矩陣;(2)求出線性變換σ;(3)求σ(7,4)在α1,α2下的坐標(biāo).解設(shè)施行