高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省貴陽市2024屆高三上學(xué)期8月摸底考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題1.已知全集，集合，，則下圖陰影部分所對應(yīng)的集合為（）A. B. C.或 D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，則,由圖可知陰影部分所對應(yīng)的集合為.故選：A.2.已知（為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由，得，則，故選：D.3.2023年5月，浙江衛(wèi)視《奔跑吧11》第四期節(jié)目打卡爽爽的貴陽城．周深在內(nèi)的兄弟團(tuán)成員和以劉宇等為成員的INTO1組合與來自貴陽社會各界的400位青年一起在貴州大學(xué)體育館唱響了一場“青春歌會”．節(jié)目組在前期準(zhǔn)備工作中統(tǒng)計出了排名靠前的10首人們喜歡的贊頌青春的歌曲．在活動中，兄弟團(tuán)成員要從這10首歌曲中競猜排名前5名的歌曲，則在競猜中恰好猜對2首歌曲的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，10首歌曲任意排列名的試驗(yàn)有個基本事件，恰好猜對2首歌曲的事件含有個基本事件，所以在競猜中恰好猜對2首歌曲的概率.故選：B4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又因?yàn)?，則，解得，因此，.故選：C5.如圖，在中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，因?yàn)辄c(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則，因此，.故選：A.6.轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī)采用三角轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)運(yùn)動來控制壓縮和排放．如圖，三角轉(zhuǎn)子的外形是有三條側(cè)棱的曲面棱柱，且側(cè)棱垂直于底面，底面是以正三角形的三個頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓構(gòu)成的曲面三角形，正三角形的頂點(diǎn)稱為曲面三角形的頂點(diǎn)，側(cè)棱長為曲面棱柱的高，記該曲面棱柱的底面積為S，高為h，已知曲面棱柱的體積，若，，則曲面棱柱的體積為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗扇形ACB的面積，，則底面積，所以曲面棱柱的體積，故選：A．7.直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)．若，則（）A.4 B. C.8 D.〖答案〗C〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，，，因?yàn)椋?，得，①因?yàn)椋?，即，②由方程①②可得，，所?故選：C8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以，，；故只需比較與；也即比較與；也即比較與，而，，所以，所以.綜上所述，.故選：B二、選擇題9.已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)的和為128，則下列結(jié)論中正確的有（）A.展開式共有7項(xiàng) B.所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為128C.只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.展開式的常數(shù)項(xiàng)為〖答案〗BD〖解析〗由題意可知，當(dāng)時，，所以，二項(xiàng)式的展開式共有8項(xiàng)，所有的二項(xiàng)式系數(shù)的和為，其中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為和，為第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，展開式的常數(shù)項(xiàng)為，其中只有BD正確.故選：BD10.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成，稱為復(fù)合音．若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是奇函數(shù) B.在區(qū)間內(nèi)有最大值C.的周期是 D.在區(qū)間內(nèi)有一個零點(diǎn)〖答案〗AB〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以是奇函數(shù)，故A正確；求導(dǎo)，當(dāng)時，，，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，故B正確；，故C錯誤；，令得，或，因?yàn)?，則，故D錯誤，故選：AB.11.已知曲線：的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為曲線上一動點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A.若，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為B.若，則曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，C.若曲線的離心率為，則或D.若曲線是雙曲線，且一條漸近線的傾斜角為，則〖答案〗AC〖解析〗對于A選項(xiàng)，若，則曲線的方程為，則，，，則的面積，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，，故A正確；對于B選項(xiàng)，若，則曲線的方程為，則，，，故橢圓的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為和，故B錯誤；對于C選項(xiàng)，若曲線的離心率，則曲線為雙曲線，且，若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，可得，可化為，此時，，則，，解得；若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，可得，可化為，此時，，則，，解得.綜上所述，若曲線離心率為，則或，故C正確；對于D選項(xiàng)，若曲線是雙曲線，且一條漸近線傾斜角為，則漸近線方程為，即，故可設(shè)雙曲線的方程為，所以，，解得，故D錯誤.故選：AC.12.如圖，一塊邊長為正方形鐵片上有四個以為頂點(diǎn)的全等的等腰三角形（如圖1），將這4個等腰三角形裁下來，然后用余下的四塊陰影部分沿虛線折疊，使得，重合，，重合，，重合，，重合，，，，重合為點(diǎn)，得到正四棱錐（如圖2）．則在正四棱錐中，以下結(jié)論正確的是（）A.平面平面B.平面C.當(dāng)時，該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為D.當(dāng)正四棱錐的體積取到最大值時，〖答案〗ABD〖解析〗對于A，連接，在正四棱錐中，，由折疊可得，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，即，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以A正確，對于B，因?yàn)椤?，平面，平面，所以‖平面，所以B正確，對于C，當(dāng)時，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因?yàn)樵趫D1中，為等腰直角三角形，所以，所以，因?yàn)檎叫舞F片的邊長為10，所以所以中邊上的高為，，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則，所以，解得，所以該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為，所以C錯誤，對于D，設(shè)，則，，所以，令，則，令，則，令，則（舍去），或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，有最大值，所以D正確，故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題13.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，所以，所以，故〖答案〗為：14.已知隨機(jī)變量，其中，則___________.〖答案〗0.2〖解析〗因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，且，又因?yàn)椋?，所?故〖答案〗為：0.2.15.若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗，等價于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，則，即在上是增函數(shù)，∴，所以故〖答案〗為：.16.如圖，、兩點(diǎn)分別在、軸上滑動，，為垂足，點(diǎn)軌跡形成“四葉草”的圖形，若，則的面積最大值為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，則為銳角，所以，，因?yàn)?，則，，所以，，令，其中，則，因?yàn)椋瑒t，則，由，可得，可得，由，可得，可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，.所以，面積的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）證明：已知①，當(dāng)時，②，①②得：，即，所以，，當(dāng)時，則，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）解：由（1）可知，，則，所以，，所以，，.18.在銳角中，角、、所對的邊分別為、、．①；②；③．在以上三個條件中選擇一個，并作答．（1）求角；（2）已知的面積為，是邊上的中線，求的最小值．（1）解：若選①，因?yàn)椋?，則，即，所以，，因?yàn)?，故；若選②，原式等價于，即，即，因?yàn)?、，則，所以，，則，故；若選③，原式等價于，即所以，，即，即，因?yàn)?，?（2）解：因?yàn)?，所以，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立.因此，長的最小值為.19.某校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4，三個年級的學(xué)生都報名參加公益志愿活動，經(jīng)過選拔，高一年級有的學(xué)生成為公益活動志愿者，高二、高三年級各有的學(xué)生成為公益活動志愿者．（1）設(shè)事件“在三個年級中隨機(jī)抽取的1名學(xué)生是志愿者”；事件“在三個年級中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生來自高年級”（）．請完成下表中不同事件的概率：事件概率概率值（2）若在三個年級中隨機(jī)抽取1名學(xué)生是志愿者，根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù)，求該學(xué)生來自于高一年級的概率．解：（1）根據(jù)三個年級的人數(shù)比值為，則，，，由每個年級的抽取比例可知，，,由全概率公式，得，事件概率概率值（2）該學(xué)生來自于高一年級的概率.20.如圖，是正三角形，四邊形是矩形，平面平面，平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，，．（1）設(shè)直線為平面與平面的交線，求證：；（2）若三棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：四邊形是矩形，∴，∵平面，平面，∴平面，平面，而平面平面，∴；（2）解：連接，∵平面平面且交線為，平面，∴平面而平面，平面∴平面∴∴，．設(shè)中點(diǎn)為，易得，，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，則．取平面的法向量為．∵∴平面與平面夾角的余弦值是．21.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，，動點(diǎn)滿足條件：直線與直線斜率之積等于，記動點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）過直線：上任意一點(diǎn)作直線與，分別交于，兩點(diǎn)，則直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說明理由．解：（1）設(shè)動點(diǎn)，則直線、的斜率分別為，于是，整理得，顯然點(diǎn)不在軌跡上，所以的方程為（）.（2）設(shè)直線上的點(diǎn)，顯然，依題意，直線的斜率滿足，且，直線斜率，則，有，設(shè)，，則（且），當(dāng)直線不垂直于x軸時，設(shè)直線的方程為，消去y得，則，，又，即，則，整理得，解得或，此時方程中的，當(dāng)時，直線：恒過點(diǎn)，當(dāng)時，直線：，由于舍去，當(dāng)直線時，則有，即有，而，解得，直線：過點(diǎn)，所以直線恒過點(diǎn)．22.牛頓迭代法是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法．比如，我們可以先猜想某個方程的其中一個根在的附近，如圖所示，然后在點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是，用代替重復(fù)上面的過程得到；一直繼續(xù)下去，得到，，，……，．從圖形上我們可以看到較接近，較接近，等等．顯然，它們會越