2022屆上海市虹口區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共6小題，每小題4分，共24分。）

1.（4分）若cosa=：,則銳角a的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（4分）在Rt/VLBC中，ZC=90°,如果BC=2,tan3=2,那么AC=（）

A.1B.4C.V5D.2V5

3.（4分）拋物線y=3（x+1）2+1的頂點(diǎn)所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（4分）已知拋物線>=/經(jīng)過A（-2,yi）、B（1,絲）兩點(diǎn)，在下列關(guān)系式中，正確

的是（）

A.yi>0>y2B.y2>0>yiC.yi>y2>0D.y2>yi>0

5.（4分）已知次1和*都是非零向量，在下列選項(xiàng)中，不能判定才〃甘的是（）

A.|a|=|b|B.a//c,b//c

-?T

C.a+b=0D.5+b=2c,a—b=3c

6.（4分）如圖，點(diǎn)。是△ABC的邊3。上一點(diǎn)，ZBAD=ZC.AC=2AD,如果△AC。的

面積為15,那么△A3。的面積為（）

二、填空題

7.（4分）如果a：h=2：3,且a+b=10,那么〃=

8.（4分）如果向量2、b、1滿足關(guān)系式2b-3（a+%）=0,那么用向量入b表示向量呈=

9.（4分）如果拋物線y=（1-a）?+1的開口向下，那么a的取值范圍是.

10.（4分）沿著x軸正方向看，拋物線y=-（x-1）2在對(duì)稱軸側(cè)的部分是下降的

（填“左”、“右”）.

11.（4分）如果函數(shù)丫=（zn+1）x7n2-m+2是二次函數(shù)，那么小=.

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12.（4分）如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,點(diǎn)P、。是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P

在點(diǎn)。的右側(cè)，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,0）,那么點(diǎn)。的坐標(biāo)為

13.（4分）如圖，點(diǎn)A（2,機(jī)）在第一象限，0A與x軸所夾的銳角為a,如果tana=].那

么tn=.

14.（4分）己知△A8Cs/\4BiCi，頂點(diǎn)4、B、C分別與4、Bi、Ci對(duì)應(yīng)，AC=12、MC\

=8,ZXABC的高40為6,那么

△AlBiCi的高長(zhǎng)為.

15.（4分）如圖，在梯形4EF2中，AB//EF,AB=6,EF=10,點(diǎn)C、。分別在邊AE、BF

16.（4分）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”,

它由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果小正方形面積

是49,直角三角形中較小銳角。的正切為白，那么大正方形的面積是.

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17.（4分）如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,AC=\,BC=2,點(diǎn)。為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),

正方形QEFG的頂點(diǎn)E、尸都在邊BC上，聯(lián)結(jié)BG,tan/OGB=

18.（4分）如圖，在等腰梯形A8CD中，AD//BC,sinC=4看，48=9,AD=6,點(diǎn)E、尸分

別在邊A3、BC上，聯(lián)結(jié)EF,將△8EF沿著EF所在直線翻折，使BF的對(duì)應(yīng)線段8'F

經(jīng)過頂點(diǎn)A,B'尸交對(duì)角線BO于點(diǎn)P,當(dāng)8'F_LAB時(shí)，AP的長(zhǎng)為

三、解答題

4sin30°

19.（10分）計(jì)算:-tan260°

cot30°-tan45°

20.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線C：y=』-2x向左平移2個(gè)單位，向下平移

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3個(gè)單位得到新拋物線C2.

(1)求新拋物線C2的表達(dá)式：

(2)如圖，將△048沿x軸向左平移得到也。'A'B',點(diǎn)A(0,5)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'落

在平移后的新拋物線C2上，求點(diǎn)B與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)8'的距離.

21.(10分)如圖，在RtZ\A8C中，NABC=90°,點(diǎn)G是RtzMBC的重心，聯(lián)結(jié)BG并

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延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)3,過點(diǎn)G作GEJ_BC交邊BC于點(diǎn)E.

(1)如果AC=；,AB=b,用；、b表示向量BG；

(2)當(dāng)AB=12時(shí)，求GE的長(zhǎng).

22.(10分)某次臺(tái)風(fēng)來襲時(shí)，一棵筆直大樹樹干AB(假定樹干A8垂直于水平地面)被刮

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傾斜7°（即NBAS'=7。）后折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面。處，測(cè)得/

CD4=37°,AD=5米，求這棵大樹A8的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：sin37-

0.6,cos37=0.8,tanSV^O.VS）

23.（12分）如圖，在RtZ\48C中，NAC8=90°,點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AD過點(diǎn)

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C作CEJ_AD于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)BE.

(1)求證：BN=DE,AD；

(2)如果/A8C=NOCE,求證：BD-CE=BE'DE.

24.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+fec+c與x軸交于A(-1,0)、8兩點(diǎn),

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與)，軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)P在該拋物線的對(duì)稱軸上，且縱坐標(biāo)為2H.

(1)求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角a是另一個(gè)內(nèi)角B的兩倍時(shí)，我們稱a為此三角形的“特征

角”.

①當(dāng)O在射線AP上，如果ND4B為△AB。的特征角，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)/在x軸上，CE±EF,如果NCEF為△ECF的

特征角，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

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Q

25.（14分）如圖，在Rt/SABC中，NACB=90°,BC=4,sin/A3C=$點(diǎn)。為射線8c

上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AD,過點(diǎn)8作BEJ_AO分別交射線4￡）、4c于點(diǎn)E、F,聯(lián)結(jié)OF,過點(diǎn)A

作AG〃B。，交直線BE于點(diǎn)G.

（1）當(dāng)點(diǎn)。在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如果CD=2,求tan/RBC；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)4G=x,S^DAF^y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不

需要寫函數(shù)的定義域）；

（3）如果4G=8,求。E的長(zhǎng).

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2022屆上海市虹口區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.（4分）若cosa=g,則銳角a的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解答】解：??加0$。=±,

Aa=60°

故選：C.

2.(4分)在RtZ\ABC中，ZC=90°,如果8c=2,tanB=2,那么AC=()

A.1B.4C.V5D.2A/5

【解答】解：如圖,

在RfNACB中,VZC=90"，

；.tanB=^=2,

AC

/.—=2,

2

：.AC=4.

故選：B.

3.（4分）拋物線y=3（x+1）2+1的頂點(diǎn)所在象限是（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：：拋物線y=3（x+1）2+1,

,該拋物線的頂點(diǎn)是（-1,1）,在第二象限,

故選：B.

4.（4分）已知拋物線y=/經(jīng)過A（-2,yi)、B（1,72）兩點(diǎn)，在下列關(guān)系式中，正確

的是（）

A.y\>0>y2B.y2>0>y\C.y\>y2>0D.y2>yi>0

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【解答】解：???拋物線丫=/,

，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為y軸，

；.A（-2,yi）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,力）.

XVO<1<2,

.'.yi>y2>0,

故選：C.

5.（4分）已知會(huì)7和京都是非零向量，在下列選項(xiàng)中，不能判定；〃了的是（）

TTT—>_>T

A.|a|=|b|B.a//c,b//c

C.Q+b=0D.五+b=2c,a—b=3c

【解答】解：A、該等式只能表示兩次7的模相等，但不一定平行，故本選項(xiàng)符合題意;

B、由：〃"，b〃"可以判定2〃匕，故本選項(xiàng)不符合題意.

c、由3+6=0可以判定21的方向相反，可以判定；〃￡故本選項(xiàng)不符合題意.

TttTttK.tT

D、由五+b=2c,Q-b=3c得到Q=[C,b=-,c,貝b、b的方向相反，可以判定?！?/p>

b,故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

6.（4分）如圖，點(diǎn)。是△A8C的邊8c上一點(diǎn)，NBAO=NC,AC=2AD,如果△AC。的

面積為15,那么△A3。的面積為（）

【解答】解：???N84O=NC,NB=NB,

：?4BADs叢BCA,

VAC=2AD,

.S^BAD/A。、21

??--------=（-----）=-79

SbBCAAC4

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.S^BAD1

??~~~~~~~=~,

S&ACD3

???△ACO的面積為15,

???AABO的面積=/15=5,

故選：D.

二、填空題

7.(4分)如果〃：b=2：3,且a+b=10,那么4=4.

【解答】解：設(shè)a=2匕b=3k,

???。+6=10,

???2k+3攵=10,

解得：k=2,

??ci=2k=2義2=4；

故答案為：4.

8.(4分)如果向量聯(lián)、b、京滿足關(guān)系式2b-3(a4-%)=0,那么用向量友、b表示向量7=

2T-

-b—a.

3—

【解答】解：??,21-3(a+x)=0,

：.2b—3a-3%=0,

TTT

A3x=2b-3a

?T2TT

%=?h—CL.

2TT

故答案是：-b—a.

9.(4分)如果拋物線y=(1-a)f+l的開口向下，那么a的取值范圍是.

【解答】解：；拋物線y=(1-a)/+1的開口向下，

Al-a<0,解得，a>l,

故答案為：a>l.

10.(4分)沿著x軸正方向看，拋物線y=-(x-1)2在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的

(填“左”、“右

【解答】解：?.?拋物線y=-(x-1)2,

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...該拋物線的對(duì)稱軸為x=l,當(dāng)x<l時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增

大而減小，

.?.在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的，

故答案為：右.

11.（4分）如果函數(shù)丫=（w+1）x而-1+2是二次函數(shù)，那么皿=2.

【解答】解：???函數(shù)尸⑺+l）xmJm+2是二次函數(shù)，

??m~m2,

（，"-2）（w?+l）—0,

解得：，"1=2,mi=-1,

Vw+1^0,

-1,

故"7=2.

故答案為：2.

12.（4分）如圖，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,點(diǎn)尸、。是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P

在點(diǎn)。的右側(cè)，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,0）,那么點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,0）.

【解答】解：,??拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,0）,

.?.點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為1X2-4=-2,

；?點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,0）.

故答案為：（-2,0）.

13.（4分）如圖，點(diǎn)A（2,m）在第一象限，0A與x軸所夾的銳角為a,如果tana=怖.那

么m=3.

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??—―,

22

?"=3,

故答案為3.

14.（4分）已知△ABCs/vhBiCi，頂點(diǎn)A、B、C分別與Ai、Bi、G對(duì)應(yīng)，AC=12、A\C\

=8,ZVIBC的高為6,那么

△AIBICI的高A\D\長(zhǎng)為4.

【解答】解：VAABC^AAiBiCi,AC=12、AiCi=8,

123

，相似比為：一二一，

82

■:/XABC的高4。為6,

2

：?△481。的圖Ai。長(zhǎng)為：6x可=4.

故答案為：4.

15.（4分）如圖，在梯形AE/吆中，AB//EF,AB=6,所=10,點(diǎn)。、。分別在邊AE、BF

上且CD〃AB,如果AC=3CE,那么CD=9.

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【解答】解：如圖，連接3E交C。于點(diǎn)M,

VAC=3C￡,

.CE1

"AC-3，

■:AB//EF,CD//AB,

J.AB//CD//EF,

DFCE1

-BD~AC~3

CE_1BD_3

AE~4BF~4’

■:CMHNB、

??.XECMs[\EAB,

.CMCE

?"-AE

CM1

即---=一，

64

3

：.CM=^

*：MD〃EF,

：.4BMDS4BEF,

.MDBD

??,

EFBF

MD3

即---=一，

104

15

???M￡>=3，

3is

???CD=CM+MD=>中=%

故答案為：9.

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16.（4分）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”,

它由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果小正方形面積

是49,直角三角形中較小銳角。的正切為三，那么大正方形的面積是169.

【解答】解：由題意知，小正方形的邊長(zhǎng)為7,

設(shè)直角三角形中較小邊長(zhǎng)為m較長(zhǎng)的邊為b,則

tan6=短邊：長(zhǎng)邊="：b=5：12.

所以6=學(xué)”，①

又以為b=a+7,②

聯(lián)立①②，得a=5,b—12.

所以大正方形的面積是：。2+房=25+144=169.

故答案是：169.

17.（4分）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,點(diǎn)。為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),

1

正方形OEFG的頂點(diǎn)E、F都在邊8c上，聯(lián)結(jié)BG,tan/Z）GB=-.

-3-

【解答】解：如圖，DE與BG交于點(diǎn)0,

?.?正方形DEFG,

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:./DEB=NEDG=/GFB=90°,GF=DE=EF,

:.ABDESAABC,

.OEAC1

BE~BC~2

.GF1

一BF—3，

???ZDOG=ZEOB,

：./XDOGs/\EOBs△尸GB,

.DOEOGF1

??DG~EB~BF~3

1

AtanZZ)GB=

故答案為：7

3

18.（4分）如圖，在等腰梯形ABCQ中，AD//BC,sinC=AB=9,AO=6,點(diǎn)E、F分

別在邊AB、BC上,聯(lián)結(jié)EF,將aBEF沿著E尸所在直線翻折，使B尸的對(duì)應(yīng)線段B'F

24

經(jīng)過頂點(diǎn)A,B'F交對(duì)角線3。于點(diǎn)P,當(dāng)"尸，45時(shí)，AP的長(zhǎng)為—.

-7—

：.ZBAF=90°,

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???四邊形A8CD是等腰梯形，

?,.ZABC=ZC,

AF4

sinZ.ABC—sinZC—麗=可，

設(shè)4尸=4Z,BF=5k,則AB=9=3Z,

:?k=3,

：.AF=n,BF=\5,

\'AD//BFf

：./\APDs/\FPB,

ePAAD62

"PF~BF~15~5

???布=2扣4=亍24，

24

故答案為亍.

三、解答題

49777^0°

19.（10分）計(jì)算：--------------tan2600

cot300-tan450

4x工—

【解答】解：原式=/一（V3）2=V3-2.

V3-1

20.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線Ci：y=/-2x向左平移2個(gè)單位，向下平移

3個(gè)單位得到新拋物線Q.

（1）求新拋物線C2的表達(dá)式；

（2）如圖，將△048沿x軸向左平移得到△0'4'B',點(diǎn)、A（0,5）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'落

在平移后的新拋物線C2上，求點(diǎn)B與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)8'的距離.

【解答】解：（1）由拋物線Ci：y=/-2x=知，將其向左平移2個(gè)單位,

向下平移3個(gè)單位得到新拋物線C2的表達(dá)式是：y=（x-1+2）2-1-3,即y=（x+1）

2-4；

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(2)由平移的性質(zhì)知，點(diǎn)A與點(diǎn)A'的縱坐標(biāo)相等，

所以將y=5代入拋物線C2,得(x+D2-4=5,貝!Jx=-4或x=2(舍去)

所以44'=4,

根據(jù)平移的性質(zhì)知：=44'=4,即點(diǎn)8與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的距離為4個(gè)單位.

21.(10分)如圖，在RtZ\ABC中，NABC=90°,點(diǎn)G是RtZ\ABC的重心，聯(lián)結(jié)BG并

延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)G作GELBC交邊8c于點(diǎn)E.

(1)如果h=女AB=b,用2、1表示向量薪；

(2)當(dāng)A8=12時(shí)，求GE的長(zhǎng).

【解答】解：（1）"：BD=BA+AD,

?.,點(diǎn)G是RtZ\A8c的重心，

：.AD^jAC,

**AC—a,AB—b,

—1—

??AD='Q，

-?1->

BD=-b+[a,

-2T2t1->、2T1-*

?*BG=-^BD=2，（—b+2a）=—可人+可口；

（2）過點(diǎn)。作L3C,

■:GEIIDF,

.GE2

??=—,

DF3

*：DF//AB9。是AC的中點(diǎn)，

：.DF=^AB,

：AB=12,

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：.DF=6,

：.GE=4.

22.（10分）某次臺(tái)風(fēng)來襲時(shí)，一棵筆直大樹樹干AB（假定樹干A8垂直于水平地面）被刮

傾斜7°（即NBAB'=7°）后折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面。處，測(cè)得/

CZM=37。，A￡>=5米，求這棵大樹AB的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：sin37-

【解答】解：過點(diǎn)A作AEJ_CO于點(diǎn)E,則NAEC=/AEZ)=90°.

:在中，/AOC=37°,

.\cos370=器DF=等DF=0.8,

：.DE=4,

.??or。AEAE八n

?sm37=而=飛-=0.6,

：.AE=3,

在RtZVIEC中，

VZCAE=90°-ZAC￡=90°-60°=30°,

：.CE=與AE=V3,

：.AC=2CE=2V3,

：.AB=AC+CE+ED=2^3+V3+4=35/3+4(米).

答：這棵大樹AB原來的高度是(3V3+4)米.

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23.(12分)如圖，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AZX過點(diǎn)

C作CE_LAO于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)BE.

(1)求證：BD2=DE?AD；

(2)如果/ABC=NDCE,求證：BD?CE=BE?DE.

【解答】(1)證明：如圖1中,

圖1

CELAD,

：.ZCED=ZACD=90°,

'：ZCDE=ZADC,

/.△CDE^AADC

.CDDE

??,=,

ADCD

:.CN=DE?DA,

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"：DB=CD,

：.：.BD2=DE'DA.

(2)解：如圖2中,

圖2

"：BD1=DE'DA,

?B_DDA

DEBD

???NBDE=ZADB,

：.ZDEB=ZABC,

*/ZABD=ZECDf

:?NBED=/BCE,

■:/EBD=/CBE,

:?△EBDs^CBE,

.BDDE

??=,

BECE

：.BD-CE=BE-DE.

24.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+6x+c與x軸交于A(-1,0)、8兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)尸在該拋物線的對(duì)稱軸上，且縱坐標(biāo)為2百.

(1)求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角a是另一個(gè)內(nèi)角P的兩倍時(shí)，我們稱a為此三角形的“特征

角”.

①當(dāng)。在射線4P上，如果NOAB為△AB。的特征角，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)尸在x軸上，CEVEF,如果NCE尸為產(chǎn)的

特征角，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

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【解答】解：（1）拋物線y=-/+fec+c與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,則c=3,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b=2,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-/+2x+3；

點(diǎn)尸（1,2V3）；

（2）由點(diǎn)A、P的坐標(biāo)知，ZPAB=60°,

直線AP的表達(dá)式為：y=（x+1）…①,

△48。為直角三角形，由面積公式得：

yoXAB=AD-BD,即y0X4=2x2V3,

解得：yo-V3,

點(diǎn)。在AP上，故點(diǎn)。（0,V3）；

當(dāng)時(shí)，則NABO=90°,

故點(diǎn)。（3,4V3）；

綜上，點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（0,V3）或（3,4V3）；

（3）/CEF為△￡（7尸的特征角，則為等腰直角三角形,

過點(diǎn)E分別作x軸、y軸的垂線交于點(diǎn)M、N,

則△CNE四△EM尸（AAS）,

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則EN=EM,即x=y,

x=y=-x^+2x+3,解得：x=I」；13,

s-1+7131+713

故點(diǎn)E(-----,-----).

22

Q

25.(14分)如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90Q,8c=4,sin/4BC=芻點(diǎn)。為射線BC

上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)A。，過點(diǎn)B作BELA。分別交射線A。、AC于點(diǎn)E、F,聯(lián)結(jié)。F,過點(diǎn)A

作AG〃8￡),交直線BE于