第七章傅里葉變換§1傅里葉變換的概念§2單位脈沖函數(shù)及其傅里葉變換§3傅里葉變換的性質(zhì)所謂積分變換，顧名思義就是通過積分把一個函數(shù)變?yōu)榱硪粋€函數(shù)。而由積分的定義，函數(shù)在給定區(qū)間(有窮或無窮)上積分，只要其收斂，得到的是確定的數(shù)值。因此，要想通過積分變換把給定的函數(shù)變成一個函數(shù)，通常的做法是引入?yún)⒘浚磳⒑瘮?shù)乘以一個二元函數(shù)后再計(jì)算積分如果該積分收斂，則能得到一個關(guān)于參量的函數(shù)，即這里積分域是確定的，而且也是一個確定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核，稱為像原函數(shù)，稱為像函數(shù)。當(dāng)積分區(qū)域?yàn)?，核函?shù)為時(shí)，所確定的積分變換就是傅里葉變換(Fouriertransform)。當(dāng)積分區(qū)域?yàn)?，核函?shù)為時(shí)，所確定的積分變換就是拉普拉斯變換(Laplacetransform)。7.1.1Fourier級數(shù)第一節(jié)傅里葉變換的概念設(shè)是個以為周期的實(shí)值函數(shù)，則在區(qū)間上的傅里葉級數(shù)為定義7.1記為其中傅里葉系數(shù)(Fouriercoefficients)

和為問題：（7.2）右端的級數(shù)是否收斂到定理7.1

設(shè)是以為周期的實(shí)值函數(shù)，且上滿足狄利克雷條件：。在區(qū)間定理7.1

設(shè)上連續(xù)或只有有限個第一（1）在類間斷點(diǎn)；上只有有限個極值點(diǎn)，（2）在的連續(xù)點(diǎn)處以(7.3)式為系數(shù)的級數(shù)(7.1)則在收斂至,即的不連續(xù)點(diǎn)處以(7.3)式為系數(shù)的級數(shù)而在(7.1)收斂至公式（7.4）將一個周期函數(shù)表示成正弦函數(shù)類之和，稱為函數(shù)的傅里葉級數(shù)。除了上述三角函數(shù)表示的形式外，傅里葉級數(shù)還可以轉(zhuǎn)換成復(fù)指數(shù)形式，由歐拉公式則（7.4）可以表示成記將上述三式統(tǒng)一表示為則（7.4）表示成復(fù)指數(shù)形式為按照工程數(shù)學(xué)中的習(xí)慣，在第7、8兩章中用字母表示虛數(shù)單位。假設(shè)非周期函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)、可積，且絕對可積，考慮區(qū)間，則由指數(shù)表示，在此區(qū)間上有其中7.1.2傅里葉積分公式注意到（7.5）式右端定義一個周期為的函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)等于，而在端點(diǎn)處的值可能等于在這兩點(diǎn)的平均值。當(dāng)越大時(shí)，與

相等的范圍也越大,即有這樣我們得到函數(shù)在整個實(shí)數(shù)集合上的一個三角函數(shù)類表示，即對任意的有下面討論當(dāng)時(shí)，（7.7）右邊的極限形式。記，有而所對應(yīng)的點(diǎn)均勻地分布在實(shí)數(shù)軸上,因此（7.7）變?yōu)檫@是一個和式的極限，由積分的定義，有這樣我們就形式地得到了定義在上的非周期函數(shù)的傅里葉積分公式。（7.8）的右端稱為的傅里葉積分。

注：從周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式出發(fā)推導(dǎo)非周期函數(shù)的展開式的過程是不嚴(yán)格的，（7.8）是否收斂或是否收斂于？

定理7.2

若在上滿足下列條件：在任何有限區(qū)間上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn)；在任何有限區(qū)間上只有有限個極值點(diǎn)；（3）在區(qū)間上絕對可積，即積分收斂。則在連續(xù)的點(diǎn)（7.8）式成立，在不連續(xù)的點(diǎn)，（7.8）式中的改為它還有等價(jià)形式其中若是上的偶函數(shù)，則若是上的奇函數(shù)，則

例1

設(shè)試用傅里葉積分公式表示，并由此證明

解由于是偶函數(shù)，則所以的傅里葉積分公式為由定理7.2，得因此，當(dāng)時(shí)即因此7.1.3傅里葉變換的概念在傅里葉積分公式（7.8）中，令則定義7.1

（7.13）式稱為的傅里葉變換，記為；（7.14）式稱為函數(shù)的傅里葉逆變換，記為稱為的像函數(shù)，稱為的像原函數(shù)。若是上的偶函數(shù)，得的余弦傅里葉變換和的余弦逆變換若是上的奇函數(shù)，得的正弦傅里葉變換和的正弦逆變換例2

求矩形脈沖函數(shù)的傅里葉變換解

由(7-13)式，可得的傅里葉變換

例3

求指數(shù)衰減函數(shù)函數(shù)的傅里葉變換，并求傅里葉逆變換的積分表達(dá)式，其中。解根據(jù)公式（7.13），有這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅里葉變換。下面求傅里葉逆變換，由公式（7.14），有例4

求解積分方程式的正弦傅里葉變換，從而可以看作是的正弦傅里葉逆變換。所以可看作是解令則作業(yè):P125.T1;T2；T5.第二節(jié)單位脈沖函數(shù)及傅里葉變換單位脈沖函數(shù)是一個廣義函數(shù)，沒有通常意義下的函數(shù)值。因此不能用通常意義下“值的對應(yīng)關(guān)系”來定義。但在形式上，可以將單位脈沖函數(shù)（又稱為狄拉克函數(shù)或函數(shù)）看成是如圖所示的矩形脈沖函數(shù)to當(dāng)時(shí)的極限，

即因?yàn)?，即矩形的面積為，稱為脈沖的強(qiáng)度。所以說明式(7-15)和(7-16)所表示的極限不是我們的物理意義，強(qiáng)度為1的理想單位脈沖。

在微積分中所學(xué)習(xí)過的極限，是一個寬為0，振幅為在電流強(qiáng)度為零的電路中,試確定某一時(shí)刻(如t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,電路上的電流i(t).則例1解以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則所以，當(dāng)

時(shí),i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.如果我們形式地計(jì)算這個導(dǎo)數(shù),則得另外，由于電路中的總電量為1個單位的電量，所以在忽略的物理意義后，我們有定義7.3稱滿足如下兩個條件的函數(shù)為單位脈沖函數(shù)

(1)

(2)。。

如果脈沖發(fā)生在時(shí)刻，仿照定義7.3可以定義性質(zhì)1

對任意具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，有一般地，有單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1表明單位脈沖函數(shù)具有篩選性，即把連續(xù)的值篩選出來。

函數(shù)在

性質(zhì)2

對任意有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)有對任意有連續(xù)階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)有

性質(zhì)3

單位脈沖函數(shù)是偶函數(shù)性質(zhì)4

設(shè)為單位階躍函數(shù)，即則且由性質(zhì)1，容易導(dǎo)出函數(shù)的傅里葉變換，,7.2.2單位脈沖函數(shù)的傅里葉變換根據(jù)傅里葉逆變換公式，有例2

證明：單位階躍函數(shù)的傅里葉變換為證明單位階躍函數(shù)不滿足定理7.2的條件，因?yàn)楹瘮?shù)在上的積分不是絕對收斂的，故討論該函數(shù)的傅里葉變換，是指廣義的傅里葉變換。我們證明函數(shù)的傅里葉逆變換為函數(shù)，就證明了我們的問題。由傅里葉逆變換公式，有已知積分因此，當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有故有因此，當(dāng)時(shí)，有即這表明函數(shù)的傅里葉逆變換為函數(shù)，命題得證。例3

求函數(shù)的傅里葉變換

解由傅里葉變換公式和式(7.17),有例4

求正弦函數(shù)的傅里葉變換解根據(jù)（7.13）和例3，有作業(yè):P129.T2;T3第三節(jié)傅里葉變換的性質(zhì)本節(jié)介紹傅氏變換的幾個重要性質(zhì),為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足定理7.1中的條件,在證明這些性質(zhì)時(shí),不再重述這些條件.并且假定所涉及的運(yùn)算都滿足次序可交換的條件。函數(shù)的傅里葉變換，記為即設(shè)，則（線性性質(zhì)）對任意常數(shù)，有（位移性質(zhì)）設(shè)為實(shí)常數(shù)，則性質(zhì)1性質(zhì)2證明由傅里葉變換公式，有例1

求矩形脈沖函數(shù)的傅里葉變換。

解設(shè)由傅里葉變換公式，有又由于，所以由位移性質(zhì)得例2

設(shè)，求與解因?yàn)樗杂删€性性質(zhì)和位移性質(zhì)，有

（相似性質(zhì)）設(shè)，為非零實(shí)常數(shù)，則有性質(zhì)3例3

設(shè)，求解

利用位移性質(zhì)，得再對利用相似性質(zhì)，得因此

（微分性質(zhì)）如果在上的至多只有有限個可去間斷點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則有性質(zhì)4證明

由傅里葉變換公式，有推論7.1如果在上連續(xù)或只有有限個可去間斷點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，那么性質(zhì)5

（像函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）設(shè)，則有證明因?yàn)榧?/p>

所以結(jié)合傅里葉逆變換的線性性質(zhì)，得

推論7.2設(shè)，則或性質(zhì)6

（積分性質(zhì)）設(shè)若，則性質(zhì)4-6及其推論在求解線性微分方程、積分方程和微分積分方程時(shí)有較大的作用，下面舉例說明。例4

求常系數(shù)非齊次線性微分方程的解。解設(shè)，對方程兩邊施行傅里葉變換，利用傅里葉變換的線性性質(zhì)和微分性質(zhì)，因此查傅里葉變換簡表知例5

求解微分、積分方程解設(shè)，對方程兩邊施行傅里葉變換，利用傅里葉變換的線性性質(zhì)和微、積分性質(zhì)因此取傅里葉逆變換，得其中分別是的共軛復(fù)數(shù)

性質(zhì)7.（乘積定理）設(shè)，則

推論7.3

設(shè)，則有上式,稱為帕塞瓦爾(Parseval)等式

證明在性質(zhì)7中，因?yàn)闉閷?shí)函數(shù)，故因此。例6

求

解

設(shè)

，查傅里葉變換簡表知

由帕塞瓦爾等式得卷積與卷積定理定義7.4

記作，即收斂，則它定義了一個以為自設(shè)函數(shù)是定義在上的實(shí)值函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)變量的函數(shù)，稱此函數(shù)為與的卷積，若無窮積分卷積滿足如下運(yùn)算律和不等式：交換律：結(jié)合律：

分配律：

絕對值不等式：

例7

設(shè)函數(shù)，

求.

解

因?yàn)樗缘膮^(qū)域?yàn)槿鐖D由卷積的定義，有

當(dāng)

時(shí)，

從而

當(dāng)時(shí),即定理7.3

卷積定理

設(shè)

，，

則

證明

令

由卷積的定義有

根據(jù)傅里葉變換的定義，即得(7-18)。

類似可證(7-19)。

由(7-18)知，

例8

求函數(shù)

與

的卷積，其中

解

查傅里葉變換簡表知令

則

由卷積定理，可得解由單位階躍函數(shù)的定義和第7.1節(jié)例4知，例9

求函數(shù)

的傅里葉變換。

再由第7.2節(jié)例5知，利用卷積定理和單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)，可得7.3.3傅里葉變換在頻譜理論中的應(yīng)用

由7.1.1節(jié)的討論知，一個周期為

的信號

可以分解成若干個簡諧波的和，它的第

次諧波函數(shù)為振幅為頻率為對上述信號

當(dāng)

在

中取值時(shí)，

上述各式描述了各次諧波的振幅隨頻率變化的

分布情況，該分布情況在直角坐標(biāo)系下的圖像就是頻譜圖。所謂頻譜圖，通常就是指振幅和頻率的關(guān)系圖，稱為

的振幅頻譜，簡稱頻譜。

由于