傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以：

不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。

了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時系統(tǒng)動態(tài)過程的影響--分析

可以對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函數(shù)的要求---綜合第二節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)的基本概念將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時Y(s)=G(s)X(s)。通過反變換可求出時域表達式y(tǒng)(t)。傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)式中：x（t）—輸入，y（t）—輸出為常系數(shù)設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：簡單講一下：傳遞函數(shù)的標準形式：為首1多項式型：為尾1多項式型：

開環(huán)增益的意義：放大倍數(shù)首1型多用于根軌跡法中.

尾1型多用于時域法，頻域法中.一.傳遞函數(shù)定義：條件：定義：有關(guān)概念：特征式，特征方程，特征根

零點、極點 注：(1)為何要規(guī)定零初始條件？分析系統(tǒng)性能時，需要在統(tǒng)一條件下考查系統(tǒng)： 輸入：都用階躍輸入.初條件：都規(guī)定為零——為確定一個系統(tǒng)的起跑線而定.則系統(tǒng)的性能只取決于系統(tǒng)本身的特性(結(jié)構(gòu)參數(shù))(2)為何初條件可以為零？我們研究系統(tǒng)的響應(yīng)，都是從研究它的瞬時才把信號加上去的.絕大多數(shù)系統(tǒng)，當(dāng)輸入為0時，都處于相對靜止狀態(tài).零初始條件是相對的，?？梢砸云胶恻c為基點(如小擾動為線性化時)(3)零初條件的規(guī)定，并不妨礙非零初條件時系統(tǒng)全響應(yīng)的求解.可以由G(s)回到系統(tǒng)微分方程，加上初條件求解.[關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明]1、傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)。且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應(yīng)。2、傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。3、傳遞函數(shù)可以有量綱。4、傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。

輸入變時，C(s)=G(s)R(s)變，但G(s)本身并不變化。但G(s)與輸入、輸出信號的選擇有關(guān).r(t),c(t)選擇不同，G(s)不同.(見前CR電路.)5、傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)6、傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。7、傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對實際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統(tǒng)。8、G(s)與系統(tǒng)相應(yīng)的零極點分布圖對應(yīng)，G(s)的零極點均是復(fù)數(shù)，可在復(fù)平面上表示：若不計傳遞函數(shù)，G(s)與其零極點分布圖等價.G(s)系統(tǒng)零極點分布圖系統(tǒng)性能若當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，分析其特性：用解微分方程法十分繁瑣——一個元部件參數(shù)改變，影響，得反復(fù)解若掌握了零極點分布與系統(tǒng)性能之間的規(guī)律性，則當(dāng)某個元部件的參數(shù)改變時，變化，零極點位置變化，系統(tǒng)性能的變化規(guī)律就能掌握了，可以有目的地改變某些參數(shù)，改善系統(tǒng)的性能。[傳遞函數(shù)的幾種表達形式]：表示為有理分式形式：式中：—為實常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。表示成零點、極點形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點，稱為傳遞函數(shù)的極點?！獋鬟f系數(shù)寫成時間常數(shù)形式：分別稱為時間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)顯然：，若零點或極點為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項來表示。若為共軛復(fù)極點，則：或其系數(shù)由或求得；若有零值極點，則傳遞函數(shù)的通式可以寫成：

從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。式中：或：二、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時域特征和復(fù)域（s域）特征。時域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點分布。

比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。（一）比例環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：

有一個0值極點。在圖中極點用“”表示，零點用“”表示。K表示比例系數(shù)，T稱為時間常數(shù)。（二）積分環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：0S平面j0積分環(huán)節(jié)實例：①RC圖中，為轉(zhuǎn)角，為角速度?？梢?，為比例環(huán)節(jié)， 為積分環(huán)節(jié)。②電動機（忽略慣性和摩擦）齒輪組（三）慣性環(huán)節(jié)時域方程：傳遞函數(shù)：當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時,有，可解得： ，式中：k為放大系數(shù)，T為時間常數(shù)。當(dāng)k=1時，輸入為單位階躍函數(shù)時,時域響應(yīng)曲線和零極點分布圖如下：通過原點的斜率為1/T，且只有一個極點（-1/T）。1yt00.632T通過原點切線斜率為1/TjRe0S平面求單位階躍輸入的輸出響應(yīng)：

可見，y(t)是非周期單調(diào)升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。①R2C-+R1而R②C兩個實例：（四）振蕩環(huán)節(jié)：時域方程：傳遞函數(shù)：上述傳遞函數(shù)有兩種情況：當(dāng)時，可分為兩個慣性環(huán)節(jié)相乘。即：傳遞函數(shù)有兩個實數(shù)極點：y(t)t0單位階躍響應(yīng)曲線極點分布圖[分析]：y(t)的上升過程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運動。與有關(guān)。反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率。當(dāng)時，曲線單調(diào)升，無振蕩。當(dāng)時，曲線衰減振蕩。越小，振蕩越厲害。若，傳遞函數(shù)有一對共軛復(fù)數(shù)。還可以寫成：設(shè)輸入為：則（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時域形式有三種形式：①②③相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：①②③分別稱為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒有極點，只有零點。分別是零、實數(shù)和一對共軛零點（若）。在實際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。式中：y(t)x(t)R1R2C[實例]（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱時滯，時延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個延遲時間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數(shù)，所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡單起見，化簡如下：或x(t)ty(t)t（七）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如等，它們的極點在s平面的右半平面，我們以后會看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。小結(jié)傳遞函數(shù)的基本概念；傳遞函數(shù)的列寫（由微分方程和系統(tǒng)原理圖出發(fā)）；典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)（單位階躍響應(yīng)及其零極點分布）?！?.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及其等效變換

1.結(jié)構(gòu)圖的組成及繪制（1）組成：信號線；方框（環(huán)節(jié)）；比較點；引出點。（2）結(jié)構(gòu)圖的繪制：2.結(jié)構(gòu)圖的等效變換和化簡：

2）環(huán)節(jié)并聯(lián)：3）反饋等效：1）環(huán)節(jié)串聯(lián)：4）.比較點、引出點的移動：①比較點換位：②引出點換位：

③比較點前移：④比較點后移：

⑦比較點、引出點換位：

⑥引出點后移：

⑤引出點前移：

信號流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便。一、信號流圖及其等效變換組成：信號流圖由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。見下圖：第四節(jié)控制系統(tǒng)的信號流圖上圖中，兩者都具有關(guān)系:。支路對節(jié)點來說是輸出支路，對輸出節(jié)點y來說是輸入支路。

節(jié)點：節(jié)點表示變量。以小圓圈表示。支路：連接節(jié)點之間的有向線段。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標在支路上箭頭的旁邊，稱支路傳輸。[幾個術(shù)語]：

輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支路的節(jié)點。如：C

混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如：E，P，Q?；旌瞎?jié)點相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號相加點和分支點。它上面的信號是所有輸入支路引進信號的疊加。

通路：沿支路箭頭方向穿過各個相連支路的路線，起始點和終點都在節(jié)點上。若通路與任一節(jié)點相交不多于一次，且起點和終點不是同一節(jié)點稱為開通路。起點在源點，終點在阱點的開通路叫前向通路。

輸入節(jié)點(源點)：只有輸出支路的節(jié)點。如：R，N。

回路(閉通路)：通路與任一節(jié)點相交不多于一次，但起點和終點為同一節(jié)點的通路稱為回路。

互不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路稱為互不接觸回路。

通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益。

回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。

串聯(lián)支路合并：

并聯(lián)支路的合并：

回路的消除：

混合支路的清除：

自回路的消除：信號流圖的性質(zhì)節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設(shè)置，每個節(jié)點標志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向個支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設(shè)置是任意的，因此信號流圖不是唯一的

用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達式為：式中：總傳輸（即總傳遞函數(shù)）；從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道總數(shù)；第k個前向通道的總傳輸；流圖特征式；其計算公式為：二、梅遜公式（正負號間隔）式中：流圖中所有不同回路的回路傳輸之和；所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回路傳輸乘積之和；

所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；第k個前向通道的特征式的余子式；其值為中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分；[解]：前向通道有一條；有一個回路；[例]求速度控制系統(tǒng)的總傳輸。（不計擾動）[解]：先在結(jié)構(gòu)圖上標出節(jié)點，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號流圖如下：[例2-13]：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數(shù)。---圖中，有一個前向通道；有三個回路；有兩個互不接觸回路；（因為三個回路都與前向通道接觸。）總傳輸為：討論：信號流圖中，a點和b點之間的傳輸為1，是否可以將該兩點合并。使得將兩個不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。不