4．4.3不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異明學(xué)習(xí)目標(biāo)知結(jié)構(gòu)體系課標(biāo)要求1.了解常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長(zhǎng)規(guī)律的函數(shù)模型．2．了解直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等增長(zhǎng)含義．3．能根據(jù)具體問(wèn)題選擇合適的函數(shù)模型．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異及應(yīng)用．難點(diǎn)：

對(duì)不同函數(shù)增長(zhǎng)差異的理解.三種常見(jiàn)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝kx(k＞0)在(0，＋∞)上的增減性________________________圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定增長(zhǎng)速度固定單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)特點(diǎn)隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快，即增長(zhǎng)速度急劇隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢，即增長(zhǎng)速度平緩直線上升，其增長(zhǎng)速度不變?cè)鲩L(zhǎng)速度y＝ax(a＞1)的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于y＝kx(k＞0)的增長(zhǎng)速度，y＝kx(k＞0)的增長(zhǎng)速度快于y＝logax(a＞1)的增長(zhǎng)速度結(jié)果存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，有

_____________續(xù)表ax＞kx＞logax[即時(shí)小練]1．判斷正誤(1)當(dāng)x每增加一個(gè)單位時(shí)，y增加或減少的量為定值(不為0)，則y是x的一次函數(shù)．

(

)(2)函數(shù)y＝log2x增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢．

(

)(3)不存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得當(dāng)x>m時(shí)，1.1x>x100. (

)(4)由于指數(shù)函數(shù)模型增長(zhǎng)速度最快，所以對(duì)于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．

(

)答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)×2．在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02[典例]已知三個(gè)變量y1，y2，y3隨變量x變化數(shù)據(jù)如下表：x12468…y1241664256…y248162432…y30122.5853…則反映y1，y2，y3隨x變化情況擬合較好的一組函數(shù)模型是

(

)A．y1＝4x，y2＝2x，y3＝log2xB．y1＝2x，y2＝4x，y3＝log2xC．y1＝log2x，y2＝4x，y3＝2xD．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝4x[解析]從題表格可以看出，三個(gè)變量y1，y2，y3都是越來(lái)越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量y1的增長(zhǎng)速度最快，呈指數(shù)函數(shù)變化，變量y3的增長(zhǎng)速度最慢，呈對(duì)數(shù)型函數(shù)變化，故選B.[答案]

B[方法技巧]常見(jiàn)的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn)線性函數(shù)模型線性函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是“直線上升”，其增長(zhǎng)速度不變指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越快，即增長(zhǎng)速度急劇，形象地稱(chēng)為“指數(shù)爆炸”對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來(lái)越慢，即增長(zhǎng)速度平緩．可稱(chēng)為“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1．下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是

(

)A．y＝20x

B．y＝x20C．y＝log20x D．y＝20x解析：y＝20x是一次函數(shù)，y＝x20是冪函數(shù)，y＝log20x是對(duì)數(shù)函數(shù)，y＝20x是指數(shù)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x足夠大時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快，故選D.答案：D

2．今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的

一個(gè)是

(

)t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.1[典例]近年來(lái)，我國(guó)積極參與國(guó)際組織，承擔(dān)國(guó)際責(zé)任，為國(guó)家進(jìn)步、社會(huì)發(fā)展、個(gè)人成才帶來(lái)了更多機(jī)遇，因此，面臨職業(yè)選擇時(shí)，越來(lái)越多的青年人選擇通過(guò)創(chuàng)業(yè)、創(chuàng)新的方式實(shí)現(xiàn)人生價(jià)值．其中，某位大學(xué)生帶領(lǐng)其團(tuán)隊(duì)自主創(chuàng)業(yè)，通過(guò)直播帶貨的方式售賣(mài)特色農(nóng)產(chǎn)品，下面為三年來(lái)農(nóng)產(chǎn)品銷(xiāo)售量的統(tǒng)計(jì)表：年份201720182019銷(xiāo)售量/萬(wàn)斤415583結(jié)合國(guó)家支持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)政策和農(nóng)產(chǎn)品市場(chǎng)需求情況，該大學(xué)生提出了2020年銷(xiāo)售115萬(wàn)斤特色農(nóng)產(chǎn)品的目標(biāo)，經(jīng)過(guò)創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)所有隊(duì)員的共同努力，2020年實(shí)際銷(xiāo)售123萬(wàn)斤，超額完成預(yù)定目標(biāo)．(1)將2017、2018、2019、2020年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)模型為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；冪函數(shù)模型為g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0)．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算分析確定：選用哪個(gè)函數(shù)模型能更好的反映該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)農(nóng)產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量y與第x年的關(guān)系；(2)依照目前的形勢(shì)分析，你能否預(yù)測(cè)出該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)在2021年度的農(nóng)產(chǎn)品銷(xiāo)售量嗎？顯然2＜9，因此，選用二次函數(shù)f(x)＝7x2－7x＋41模型能更好的反映該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)農(nóng)產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量y與第x年的關(guān)系．(2)依據(jù)(1)，選用二次函數(shù)模型f(x)＝7x2－7x＋41進(jìn)行預(yù)測(cè)，得f(5)＝7×52－7×5＋41＝181(萬(wàn)斤)．即預(yù)測(cè)該創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)在2021年的農(nóng)產(chǎn)品銷(xiāo)售量為181萬(wàn)斤．[方法技巧]幾類(lèi)不同增長(zhǎng)函數(shù)模型選擇的方法(1)增長(zhǎng)速度不變，即自變量增加相同量時(shí)，函數(shù)值的增量相等，此時(shí)的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．(2)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，即自變量增加相同量時(shí)，函數(shù)值的增量成倍增加，此時(shí)的函數(shù)模型是指數(shù)函數(shù)模型．(3)增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，即自變量增加相同量時(shí)，函數(shù)值的增量越來(lái)越小，此時(shí)的函數(shù)模型是對(duì)數(shù)函數(shù)模型．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)價(jià)值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國(guó)內(nèi)占有很大的市場(chǎng)．某人準(zhǔn)備進(jìn)軍蘆薈市場(chǎng)，栽培蘆薈，為了了解行情，進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/10kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)情況如下表：(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)最好能反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogb

t；(2)利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本．t50110250Q150108150[典例]函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.

(1)請(qǐng)指出圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大?。甗解]

(1)C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因?yàn)閒(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2，2020>x2，從圖象上可以看出，當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．當(dāng)x>x2時(shí)，f(x)>g(x)，所以f(2020)>g(2020)．又因?yàn)間(2020)>g(6)，所以f(2020)>g(2020)>g(6)>f(6)．[方法技巧]比較函數(shù)增長(zhǎng)情況的方法(1)解析法：直接看函數(shù)解析式是一次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)還是對(duì)數(shù)型函數(shù)，其中當(dāng)x較大時(shí)，指數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)速度最快，一次函數(shù)增長(zhǎng)速度其次，對(duì)數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)速度最慢．(2)表格法：通過(guò)分析表格中的數(shù)據(jù)得出函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異．(3)圖象法：在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出各函數(shù)的圖象，觀察圖象并借助計(jì)算器，便能直觀地得出這三個(gè)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方向運(yùn)動(dòng)，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關(guān)于時(shí)間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下結(jié)論：①當(dāng)x>1時(shí)，甲走在最前面；②當(dāng)x>1時(shí)，乙走在最前面；③當(dāng)0<x<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x>1時(shí)，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲．其中，正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____．解析：四個(gè)函數(shù)的大致圖象如圖所示，根據(jù)圖象易知，③④⑤正確．答案：③④⑤一、在典題訓(xùn)練中內(nèi)化學(xué)科素養(yǎng)高考在本節(jié)考查的重點(diǎn)是三類(lèi)函數(shù)模型增長(zhǎng)趨勢(shì)的比較，應(yīng)用函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，體現(xiàn)的核心素養(yǎng)是數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模．近年以來(lái)，我國(guó)國(guó)內(nèi)非洲豬瘟疫情嚴(yán)重，引發(fā)豬肉價(jià)格上漲，因此，國(guó)家為保民生采取宏觀調(diào)控對(duì)豬肉價(jià)格進(jìn)行有效的控制．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到豬肉價(jià)格在近四個(gè)月的市場(chǎng)平均價(jià)格f(x)(單位：元/斤)與時(shí)間x(單位：月)的數(shù)據(jù)如下：x891011f(x)28.0033.9936.0034.02內(nèi)化素養(yǎng)

數(shù)據(jù)分析對(duì)于題目條件中所給的數(shù)據(jù)要從整體上去分析，而不是孤立地看，只有這樣才能得數(shù)據(jù)變化的規(guī)律數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算要善于選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，如本題中利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求f(12)二、在導(dǎo)向訓(xùn)練中品悟核心價(jià)值

發(fā)展理性思維1．對(duì)于任意x∈(m，＋∞)，不等式log2x＜x2＜2x都成立，則m的最小值為(

)A．2 B．3C．4 D．5解析：x＞0時(shí)，令2x＝x2得：x＝2或x＝4，由于指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度比二次函數(shù)要快，∴當(dāng)x＞4時(shí)，2x＞x2恒成立，且當(dāng)x＞4時(shí)，x2＞log2x也成立，對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度小于二次函數(shù)，∴m的最小值為4.答案：C

2．在某試驗(yàn)中，測(cè)得變量x和變量y之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表．則下列函數(shù)中，最能反映變量x和y之間的變化關(guān)系的是

(

)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：將x＝0.50，y＝－1.01代入計(jì)算，可以排除A；將x＝2.01，y＝0.98代入計(jì)算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．答案：D

x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00

注重實(shí)踐應(yīng)用3．某地西紅柿從2月1日起開(kāi)始上市．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/1000kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：由表知，體現(xiàn)Q與t數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是

(

)A．Q＝at＋b B．Q＝at2＋bt＋cC．Q＝abt D．Q＝a·logbt時(shí)間t50120150種植成本Q26005002600解析：由提供的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)t＝50時(shí)，Q＝2600；當(dāng)t＝120時(shí)，Q＝500；當(dāng)t＝150時(shí)，Q＝2600，則描述西紅柿種