一種改進(jìn)的gm1,1模型中含負(fù)序列的建模方法

1基于gm1,1模型的模擬方法1982年，中國科學(xué)家鄧居龍教授提出了灰色系統(tǒng)理論。作為灰色系統(tǒng)的重要組成部分，gm（1.1）模型是灰色預(yù)測模型體系中最常見的應(yīng)用的中心模型。目前，gm（1.1）模型及其擴(kuò)展形式在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。在使用模型（1.1）模擬和預(yù)測時，原始序列不為負(fù)值，需要在有限次的累積之后為負(fù)值。否則，模型（1.1）模型就無法構(gòu)建。然而，在實(shí)踐中，人們通常需要模擬和預(yù)測包含負(fù)值的序列。例如，在特定范圍內(nèi)，外部溫度序列的模擬和預(yù)測。如果溫度序列中包含0，則該序列是含負(fù)值序列。現(xiàn)有的處理方法是沿縱軸的固定常數(shù)c，使序列矩陣成為非負(fù)，然后采用經(jīng)典的cgm（1.1）模型，然后改變生成的模擬序列的精確排列，以獲得原始序列的估計值和預(yù)測值。在這項工作中，我們將擴(kuò)展北平值c的值范圍，并從現(xiàn)有方法的固定值擴(kuò)展到一個范圍。選擇一個c值可以提高模型的精度，并改進(jìn)現(xiàn)有方法。2最佳含負(fù)相對誤差的選取設(shè)原含負(fù)值序列X=(x(1),x(2),…,x(n))即存在,i,j∈{1,2…,n},i≠j,使得記將含負(fù)值序列X沿縱軸向上平移一個正常數(shù)c得到序列X(0),記X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),即有記X(1)為序列X(0)的1-AGO序列,即其中文獻(xiàn)和文獻(xiàn)分別將c值取為2m與m+M,然后對X(0)按經(jīng)典GM(1,1)建立模型,而文獻(xiàn)則是將c值取為m,然后對X(1)按經(jīng)典GM(1,1)建立模型.再對所得的模擬序列進(jìn)行逆變換,從而得到原含負(fù)值序列的摸擬值和預(yù)測值.這種做法很好的處理了GM(1,1)模型中含負(fù)值序列不能建模的問題.但他們所取平移值是固定的,得出的平均相對誤差不一定最小,則其模型精度不一定是最高的.本文正是出于這樣的考慮,提出在區(qū)間[m,3M]中找出一個最佳的平移值c,從而這3篇文獻(xiàn)中所取平移值均在[m,3M]中而為本文的特例,這樣我們可以從這個區(qū)間中選出一個平移值c使得平均相對誤差最小的從而提高模型精度,具體做法如下:在區(qū)間[m,3M]中取一系列的分點(diǎn)c(i),將區(qū)間[m,3M]作n等分:m=c(0)<c(1)<c(2)<…<c(n)=3M,最佳平移值c可從集合中選取.當(dāng)n值足夠大時,可近似認(rèn)為平移值c是從區(qū)間中連續(xù)取的,但據(jù)實(shí)際需要,可適當(dāng)選取c值,離散的取區(qū)間中的值.Step0:令j=1;Step1:將含負(fù)值序列X=(x(1),x(2),…,x(n))沿縱軸平移c(j)個單位,記為X(0),即X(0)=X+c(j)=(x(1)+c(j),x(2)+c(j),…,x(n)+c(j)),記X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n));Step2:對Step1中x(0)作1-AGO記為X(1),Step3:對X(1)作緊鄰均值生成.令于是Step4:對參數(shù)列進(jìn)行最小二乘估計求出a,bStep5:確定模型及時間響應(yīng)式Step6:將k=1,2…,n及求出的a和b代入時間響應(yīng)式求出模擬值,記X贊(1)=(x贊(1)(1),x贊(1)(2),…,x贊(1)(n));Step7:還原求出X的模擬值,記為由Step8:求平均相對誤差Step9:令j=2,3,…,n,轉(zhuǎn)到Step1重復(fù)上述流程,則可得ares(2),ares(3),…,ares(n);Step10:記找出ares中最小一個元素的下標(biāo)loc,則c(loc)就是最佳平移值.3最佳模型的確定為了說明本文的改進(jìn)效果,以文中的數(shù)值為例,將本文方法所得結(jié)果與文中方法所得結(jié)果進(jìn)行對比.文給出的含負(fù)值序列為X=(-2,-2.2,-0.7,0.5,0.9).采用本文方法求得最佳平移值c(loc)=6.6,平移后序列為X(0)=X+c(loc)=(x(1)+c(loc),x(2)+c(loc),…,x(n)+c(loc))=(4.6,4.4,5.9,7.1,7.5),作一階累加生成X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))=(4.6,9,14.9,22,29.5),由均值生成z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1),(k=2,3,4,5)得對參數(shù)列進(jìn)行最小二乘估計求出a和b,于是時間響應(yīng)函數(shù)為于是模擬值作為對比,將已有文獻(xiàn)的3種方法所得結(jié)果列于表1.4本文方法改進(jìn)了一個區(qū)間從計算實(shí)例可知,文、文和文通過平移固定值的方法所得結(jié)果的平均相對誤差分別為0.389、0.406和0.821,而本文方法所得結(jié)果的平均相對誤差為0.363,本文方法的誤差最小.從本文方法的計算過程可知,如果我們把區(qū)間劃分得更細(xì),誤差還有可能進(jìn)一步變小,但文,文和文的誤差是不變的,因而本文的方法改善了模型精度.其根本原因在于,文、文和文對含負(fù)值序列的處理平移一個固定的常數(shù)c,而本文把平移范圍擴(kuò)大到一個區(qū)間,且、文和文的平移常數(shù)c位于本文方法