2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊同步精品課堂（滬教版）第22章四邊形22.2平行四邊形的性質(zhì)（第2課時）（1）什么樣的四邊形是平行四邊形？四邊形與平行四邊形的關(guān)系是：邊：推論：角：對邊平行、對邊相等對角相等，鄰角互補(bǔ)．內(nèi)角和360度、外角和360度夾在兩條平行線間的平行線段相等平行四邊形的性質(zhì)四邊形平行四邊形兩組對邊分別平行知識回顧問題2平行四邊形的兩條對角線把這個平行四邊形分為四個三角形.如圖22-16,

□ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O,由AC和BD分□ABCD所得的四個三角形中，有全等三角形嗎?如果有，是哪幾對?在△AOB和△COD中，由AB和CD是□

ABCD的對邊，可知AB=CD;由∠AOB和∠COD是對頂角,可∠AOB=∠COD.再由平行四邊形的定義,得AB//CD，可知∠OAB=∠OCD(

).因此，△AOB≌△COD(

).同理可得△AOD≌△COB.議一議利用問題2的結(jié)論,可以得到對角線AC和BD中含有哪些等量關(guān)系?□ABCD具有某種對稱性嗎?由△AOB≌△COD,可得

AO=OC，BO=OD.再由點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，也是對角線BD的中點(diǎn),可以知道，如果將□ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180,那么點(diǎn)A與點(diǎn)C重合、點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，因此□ABCD與自身重合，即□ABCD關(guān)于點(diǎn)O對稱.我們把上述結(jié)論也概括為平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形性質(zhì)定理3如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩條對角線互相平分.簡述為:平行四邊形的兩條對角線互相平分平行四邊形性質(zhì)定理4平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn).例3，已知如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與邊AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F求證：OE

＝OF

分析：問1：在平行四邊形中，利用什么性質(zhì)證明線段相等？問3：這兩個基本圖形起到什么作用?答2:用三角形全等證明結(jié)論平行四邊形對角線互相平分問2：要證OE=OF，那在這個復(fù)合圖形中,有哪些基本圖形包含OE、OF?平行四邊形的性質(zhì)定理是推理的依據(jù),下面舉例來說明它們的基本運(yùn)用.例3，已知如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與邊AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F求證：OE

＝OF

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD

(平行四邊形的兩條對角線互相平分),且AB∥DC(平行四邊形的定義),∴∠1＝∠2又∵∠3＝∠4（對頂角相等）∴△DFO≌△BEO(A.S.A)∴OE＝OF（全等三角形對應(yīng)邊相等）適時小結(jié)：要在復(fù)雜的圖形中找到中心對稱的全等三角形，利用平行四邊形的性質(zhì)證明線段相等。

若例3中的條件都不變，將EF轉(zhuǎn)動到圖b的位置，那么例1的結(jié)論是否成立？

若將EF向兩方延長與平行四邊形的兩對邊的延長線分別相交（圖c和圖d），例1的結(jié)論是否成立，說明你的理由．例4，已知：如圖，在□ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且AE∥CF求證：∠BAE

＝∠DCF

分析：問1：在平行四邊形中，要證明∠BAE

＝∠DCF，利用什么性質(zhì)證明角相等？答：平行四邊形對角相等問2：圖中有哪些平行四邊形？例4，已知：如圖，在□ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且AE∥CF求證：∠BAE

＝∠DCF

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC(平行四邊形的定義)∠BAD＝∠DCB(平行四邊形的對角相等）又∵AE∥CF∴四邊形AECF是平行四邊形（平行四邊形的定義）得∠1＝∠2（平行四邊形的對角相等）∵∠3＝∠BAD－∠1∠4＝∠DCB－∠2

∴∠3＝∠4

即∠BAE

＝∠DCF

是否還有其他的方法？證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD（平行四邊形對邊相等）∠B=∠D（平行四邊形對角相等）∵AE∥CF（已知）∴∠AEB=∠2（兩直線平行，同位角相等）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC（平行四邊形的定義）∴∠DFC=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠AEB=∠DFC（等量代換）在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（A.A.S）∴

∠BAE

＝∠DCF（全等三角形對應(yīng)角相等）

例4，已知：如圖，在□ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且AE∥CF.求證：∠BAE

＝∠DCF

課本練習(xí)1．□ABCD

中，AD=4cm，AC=10cm，BD=6cm，ΔAOD的周長是多少？ΔAOD和ΔAOB的面積有什么關(guān)系？解：在□ABCD中，（平行四邊形兩條對角線互相平分）答：ΔAOD的周長為12cm，ΔAOD和ΔAOB的面積相等。適時小結(jié)：平行四邊形中有四組面積相等的三角形。2.在平面直角坐標(biāo)系中，□ABCD的對角線的交點(diǎn)正好與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(3，2)、B(–2，1)，試寫出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo).解：∵平行四邊形是中心對稱圖形∴點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)中心對稱∵B(–2，1)∴D（2,-1）同理：C（-3,-2）3.已知：如圖，在□ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長，交AD的延長線于點(diǎn)F，求證：E是BF的中點(diǎn)，D是AF的中點(diǎn).分析：在復(fù)合圖形中,有哪兩個基本圖形?3.已知：如圖，在□ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長，交AD的延長線于點(diǎn)F，求證：E是BF的中點(diǎn)，D是AF的中點(diǎn).證明：∵E為CD的中點(diǎn)（已知）∴DE＝CE（線段中點(diǎn)的意義）∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知）∴AD＝BC(平行四邊形對邊相等)且AD∥BC(平行四邊形定義)∴∠F＝∠1，∠3＝∠2∴⊿FDE≌⊿BCE(A.A.S)∴EF＝EB,DF＝BC∵AD＝BC∴AD＝DF又∵EF＝EB∴E是BF的中點(diǎn)，D是AF的中點(diǎn).隨堂檢測1、在ABCD中,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,且AC=10,BD=6,則OA=___,OB=___,邊AD長的取值范圍是_________;若AB=6,則△OCD的周長是____.2、如圖ABCD中,△AOD的周長為13,BC=5,對角線AC+BD=___.532<AD<81416課堂小結(jié)1.研究平行四邊形的問題可以從邊、角、對角線和對稱