實用文檔導數專題之切割線放縮切線放縮若函數在區(qū)間上有凹凸性，可以利用切線進行放縮．（1）若函數的圖象在區(qū)間下凸（），則有：；（2）若函數的圖象在區(qū)間上凸（），則有：.割線放縮若函數在區(qū)間上有凹凸性，可以利用割線進行放縮．（1）若函數的圖象在區(qū)間下凸（），則有：；（2）若函數的圖象在區(qū)間上凸（），則有：.附函數凹凸性的定義1、凹函數定義：設函數在區(qū)間上連續(xù)，對，若恒有，則稱的圖象是上凹/下凸的，函數為上凹/下凸函數；二階導數2、凸函數定義：設函數在區(qū)間上連續(xù)，對，若恒有，則稱的圖象是下凹/上凸的，函數為下凹/上凸函數.二階導數1.已知，求證：2.求證：練習：；；3.已知且，求證：4.已知且，求證：.5.已知，，已知數列滿足，，且，則的最大值為______．(6030)構造上的函數不等式：.6.求函數的值域．7.已知且，求的最小值.8.已知，，則的最大值是______，最小值是_______．9.已知滿足，求的最值.10.已知，，求證：.11.設為非負實數，滿足，則的取值范圍是______．12.已知，求證：．13.已知，，則的最小值是_______．14.已知，求的最小值．例1、，已知數列滿足，且滿足，則=6030例2、已知函數．（1）求在上的最大值；（2）若直線為曲線的切線，求實數的值；（3）當時，設，且，若不等式恒成立，求實數的最小值．例3、若，且，則++≤例4、若實數，證明：.練習1：已知函數，⑴求函數在定義域上的單調區(qū)間.⑵若關于的方程恰有兩個不等的實根，求實數的范圍；⑶已知實數，，若不等式在上恒成立，求實數的最小值.（可以利用切線求的最大值）練習2：若非負，且，證明：提示：平衡點是.在的切線，有15.已知函數（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若對任意實數都成立，求k的取值范圍.答案1.已知，求證：解：原式等價于令，即證：取在處的切線，有當時，有，得證.2.求證：解：①當時用切線放縮②當時用割線放縮練習：；；3.已知且，求證：解一：利用勾股定理刻畫不等式中的幾何意義．解二：利用切線和割線構造了函數不等式：加和即得證.4.已知且，求證：.法一

均值不等式，，法二

切線法如圖，利用切線構造函數不等式：，當時取等.，取等條件：.5.已知，，已知數列滿足，，且，則的最大值為______．(6030)構造上的函數不等式：.6.求函數的值域．解：定義域：，為上凸函數，于是，當且僅當時取等.當且僅當，即時取等.于是函數值域為.7.已知且，求的最小值.解：設函數，，取這兩個函數平行的切線，有，即與聯立，解得8.已知，，則的最大值是______，最小值是_______．法一割線放縮處理最大值.，等號當時取得．于是有考慮到，于是當時右邊取得最大值．因此所求的最大值為．切線放縮處理最小值．，等號當時取得．令等號當時取得．因此所求的最小值為．法二令9.已知滿足，求的最值.解：設函數，，作出函數的圖象，函數的圖象在處的切線：，以及函數的圖象過點和的割線：，如圖．于是可得：左側等號當或時取得；右側等號當時取得．因此原式的最大值為，當時取得；最小值為，當，時取得．10.已知，，求證：.解：設函數，取其在和處的切線，分別為和，如圖．直線與直線，函數的圖象和直線分別交于，則有：注1類似的，我們還可以用割線和來估計的下界，如圖．注2我們也可以利用函數圖象的外接曲線得到更加精確的界，例如用和，如圖．11.設為非負實數，滿足，則的取值范圍是______．設函數，考慮利用切割線放縮得到輔助不等式：當時，有：且左邊不等式等號當時取得；右邊不等式等號當時取得．左邊不等式為：，右邊不等式為：，容易得證.所以左側等號當時可以取得；右側等號當時可以取得．因此所求的取值范圍是．12.已知，求證：．解：先證于是當時，有當時，利用在和之間的割線，有利用在處的展開，有于是當時，有右側對應的，得證.13.已知，，則的最小值是_______．根據切割線放縮，有，于是進而等號當且僅當時取得．因此所求的最小值為4．14.已知，求的最小值．解切線放縮當時取到等號，從而得到所求的最小值為2n．注切比雪夫不等式亦可解.例1、，已知數列滿足，且滿足，則=6030解析：，當時，=6030對于函數,,在處的切線方程為即，則成立，所以當時，有例2、已知函數．（1）求在上的最大值；（2）若直線為曲線的切線，求實數的值；（3）當時，設，且，若不等式恒成立，求實數的最小值．解析：（1），令，解得（負值舍去），由，解得．（ⅰ）當時，由，得，在上的最大值為．（ⅱ）當時，由，得，在上的最大值為．（ⅲ）當時，在時，，在時，，在上的最大值為．（2）設切點為，則由，有，化簡得，即或，…①由，有，…②由①、②解得或．（3）當時，，由（2）的結論直線為曲線的切線，，點在直線上，根據圖像分析，曲線在線下方．下面給出證明：當時，．，當時，，即．，，．要使不等式恒成立，必須．又當時，滿足條件，且，因此，的最小值為．例3、若，且，則++≤證明：設，則，，由得，得或，故在是上凸的，在區(qū)間，是下凸的.由，則平衡值，由導數知識易求得在處的切線為，因，在是上凸的，故恒成立.即，，，三式相加并結合即得++≤.若將該題條件改為：若，且時，解法同理.此時平衡值，而在處的切線為,因，在是下凸的，故恒成立.即，，，三式相加并結合即得++≥.即得一個新的不等式：若，且，則++≥.所以，在證明一類多元不等式時，我們經常用到的一個辦法就是假設這些變元的和為1.例4、若實數，證明：.提示：不妨設，則平衡點是.在處的切線，有.5、若非負，且，證明：提示：平衡點是.在的切線，有練習1：已知函數，⑴求函數在定義域上的單調區(qū)間.⑵若關于的方程恰有兩個不等的實根，求實數的范圍；⑶已知實數，，若不等式在上恒成立，求實數的最小值.（可以利用切線求的最大值）練習2：若非負，且，證明：提示：平衡點是.在的切線，有切線放縮法實質就是利用函數的圖像性質解決一類多元的問題向一元函數求最值和類型的不等式轉化.此時，可以選擇先求二階導看凹凸性，判斷這個函數是否能使用切線法，或者能夠被用得比較好.也可以直接選擇求一階導，把等號取道條件的切線值求出來，對應不等式常數項配最后的常數系數.其本質相當于求這個一元函數在等號取到條件時（也就是文中的平衡點）的切線值，進一步求對于這個一元函數相