數(shù)學(xué)建模讀書報告------讀《數(shù)學(xué)中的美》（吳振奎、吳旻著）五月中旬我閱讀了吳振奎、吳旻兩位先生所著的《數(shù)學(xué)中的美》一書，書中從簡潔、和諧、奇異三個方面記述了數(shù)學(xué)的各個分支中的美。書中包含了從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的各方面知識。此書從哲學(xué)范疇出發(fā)，配以數(shù)學(xué)實例去解釋數(shù)學(xué)潛在規(guī)律，探索運用美學(xué)原理指導(dǎo)數(shù)學(xué)創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)的途徑，這對數(shù)學(xué)的教、學(xué)、研究均有裨益；另外，通過數(shù)學(xué)美學(xué)的研究，也就是對美學(xué)乃至哲學(xué)自身的一種豐富。此書中的數(shù)學(xué)思路新穎獨特，讀了之后對我的思維拓展極有裨益。其中很多內(nèi)容對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想很有幫助?，F(xiàn)錄讀書筆記如下，作為《數(shù)學(xué)建?！氛n程的結(jié)業(yè)作業(yè)。引言數(shù)學(xué)，如果正確的看，不但擁有真理，而且也具有至高的美。------羅素最有益的即是最美的------蘇格拉底數(shù)學(xué)能促進人們對美的特性：數(shù)值、比例、秩序等的認(rèn)識。------亞里士多德人們對美認(rèn)識的幾種模式：美是絕對觀念在具體事物和現(xiàn)象中的表現(xiàn)或體現(xiàn)；美是有意向的，從主觀上認(rèn)識事物的結(jié)果；美是生活的本質(zhì)同作為美的尺度的人相比，或者同他的事跡需要、同他的理想和關(guān)于美好生活觀念相比較的結(jié)果；美是自然現(xiàn)象的自然屬性.美的基本類別(客觀來源)有二:自然美和社會美.美的社會形態(tài)也有二:藝術(shù)美和科學(xué)美(更確切的是科技美).藝術(shù)美是藝術(shù)家通過藝術(shù)形象再現(xiàn)生活中的美;科學(xué)美主要指理論美,其內(nèi)涵是指結(jié)構(gòu)美和公式美.黃金分割的問題::五角星里建筑業(yè)人體的黃金比例,人的肚臍是人體長的黃金分割點,而膝蓋是人體肚臍以下部分的黃金分割點葉子在莖上的排布是呈螺旋狀的,相鄰的兩片在與莖垂直的平面上的投影夾角是137度28分.猶太民族是個善于經(jīng)營和智慧的民族,他們的經(jīng)濟學(xué)家巴特萊(Pateler)在總結(jié)事物祝辭時提出:正方形內(nèi)切圓面積與正方形除去其內(nèi)切圓后剩下的部分(四個角)面積比為78:22稱為宇宙大法則.空氣中的氮與氧之比為78:22:人的十個指頭中利用率最高的只有兩個:拇指與食指。人身體成分中水分與其它物質(zhì)的比為78:22.任何特定的群體中,重要的因子通常只占少數(shù),而不重要的因子則往往占少數(shù).曾有人問科學(xué)大師愛因斯坦(A.Einstein):何謂世界第八奇跡?愛因斯坦答道:符合成長.這個概念在經(jīng)濟活動中體現(xiàn)為”72法則”.在衡量收益公式中常數(shù)72是一個奇妙的數(shù)字:資本增加一倍的年數(shù)=72÷預(yù)期投資報酬率或投資報酬率=72÷資本增加一年所需年數(shù).美女的數(shù)量化標(biāo)準(zhǔn):眼睛的寬度占眼睛所在面部位置的3/10;下巴長度占臉長的1/5;從眼珠到眼眉的距離是臉長的1/10;從正面端詳,眼珠豎長占臉長的1/14;鼻部面積占臉整個面積的5%以下;嘴站嘴所在臉部寬度的50%.數(shù)學(xué)美的特征是什么?概括起來講有簡潔性、和諧性和奇異性.具體地有:簡潔性:符號美,抽象美,統(tǒng)一美;和諧美:和諧美,對稱美,形式美;奇異美:奇異美,有限美,神秘美(朦朧美),常數(shù)每.數(shù)學(xué)的簡潔性數(shù)學(xué)簡化了思維過程并使之更可靠.------弗賴伊(T.C.Fry)算學(xué)中所謂美的問題,是指一個難以解決的問題;而所謂美的解答,這是指對于困難和復(fù)雜問題的簡單回答.------狄德羅宇宙之大、粒子之微、火箭之速、畫工之巧、地球質(zhì)變、生物之謎。日用之繁、……無不可用數(shù)學(xué)表述.------華羅庚數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字.------伽利略數(shù)學(xué)中人們對于簡潔的追求是永無止境的:建立公理體系人們試圖找出最少的幾條(摒棄任何多余的贅物);命題的證明人們力求嚴(yán)謹(jǐn)、簡練(因而人們對某些命題證明不斷地在改進);計算方法盡量便捷、明快(因而人們不斷地在探索計算方法的創(chuàng)新);……數(shù)學(xué)拒絕繁冗.數(shù)學(xué)的簡潔性在人們生活中屢見不鮮:錢幣種類只須有一分、貳分、伍分、一角、二角、五角、醫(yī)院、二元、五元、十元、……，就可以簡單的致富任何數(shù)目的款項.符號美數(shù)學(xué)也是一種語言,且是現(xiàn)存的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容方面最完美的語言.……可以說,自然用這個語言講話;造世主已用它說過話,而世界的保護者繼續(xù)用它講話.------C·戴爾曼古代數(shù)學(xué)的漫長歷程、今日數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展；17世紀(jì)、18世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的興起、我國近千年數(shù)學(xué)發(fā)展的緩慢，這些在某種程度上也都?xì)w咎于數(shù)學(xué)符號的運用得是否得當(dāng)，簡練、方便的數(shù)學(xué)符號對于書寫、運算、推理來講，都是何等方便!我們還指出一點:數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生也對數(shù)學(xué)發(fā)展的背景有著致密的聯(lián)系,同一概念開始往往運用不同的符號表示,人們在使用過程中不斷對其進行鑒別已確定優(yōu)勢(實用性、方便性、簡潔性等)------這里面也蘊含一個審美的過程.著名的”六人相識問題”(拉姆塞(Ramsey)定理的特征):任何6個人中必可從中找出3人,使得他們要么彼此都相識,要么彼此都不相識.抽象美就其本質(zhì)而言,數(shù)學(xué)使抽象的;世紀(jì)上他的抽象比邏輯的抽象更高一階.------G.Chrystal自然幾乎不可能不對數(shù)學(xué)推理的美抱有偏愛.------C.N.楊數(shù)學(xué)雖不是研究現(xiàn)實事物的質(zhì),但任意事物必有量和形,,這樣兩種事物如有相同的量和形,便可用相同的數(shù)學(xué)方法,因而數(shù)學(xué)必然也必須抽象.物理、化學(xué)、工程乃至許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中的基本原理,都是用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的.萬有引力的思想、歷史上早就有之，但只有當(dāng)牛頓用精確的數(shù)學(xué)公式表達(dá)時，才成為科學(xué)中最重要、最著名的萬有引力定律.愛因斯坦的廣義相對論的產(chǎn)生與表達(dá),也得益于黎曼(Rimann)幾何所提供的數(shù)學(xué)框架和手段.抽象的兩種含義:我們不容易想到(或意想不到)的;我們無法體驗到(或與現(xiàn)實脫節(jié))的.十七世紀(jì)，德國傳教士鮑威特（J.Bouvet）從中國將《易經(jīng)》和兩幅術(shù)士們繪制的“易圖”，帶給了德國大數(shù)學(xué)家萊布尼茨，引起了萊布尼茨極大的興趣.從而發(fā)明了二進制.1924年巴拿赫(S.Banach)和塔斯基(A.Tarski)證明了:三維空間中任何兩個幾何體(從集合論的觀點看)都組成相等(Banach—Tarski悖論).數(shù)學(xué)的抽象美害在于它可以無矛盾的按照嚴(yán)格數(shù)學(xué)推理,得到一些我們無論如何也無法想象的,或者是在現(xiàn)實空間認(rèn)為是不可能的事實.3、統(tǒng)一美天得一以清,地得一以寧,萬物得一以生.------古代道家語數(shù)學(xué)科學(xué)史統(tǒng)一的一體,其組織的活力依賴于其各部分之間的聯(lián)系.------D.西爾伯特世界的統(tǒng)一在于它的物質(zhì)性.宇宙的統(tǒng)一性表現(xiàn)在為宇宙的統(tǒng)一美.因而能解釋宇宙統(tǒng)一的理論,即被認(rèn)為是美的科學(xué)理論.比大格拉斯認(rèn)為宇宙統(tǒng)一于”數(shù)”;狄摩克利特(Demokritos)認(rèn)為宇宙統(tǒng)一于原子;柏拉圖(Plato)認(rèn)為宇宙統(tǒng)一于理念世界;中國古人認(rèn)為宇宙通過陰陽五行,統(tǒng)一于太一;笛卡爾認(rèn)為宇宙統(tǒng)一于以太……統(tǒng)一也是數(shù)學(xué)內(nèi)涵的一個特征,古往今來人們一直都在探索它,并試圖找到統(tǒng)一它們的辦法.笛卡爾通過解析幾何(即坐標(biāo)方法)把幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)統(tǒng)一起來；高斯從曲率的觀點把歐幾里得幾何、羅巴契夫斯基幾何和黎曼（G.F.B.Riemann）幾何統(tǒng)一起來了；克萊因（C.F.Klein）用變換群的觀點統(tǒng)一了19世紀(jì)發(fā)展起來的各種幾何學(xué)（該理論認(rèn)為：不同的幾何只不過是在相應(yīng)的變換群下的一種不變量）；拓?fù)鋵W(xué)在分析學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)中的滲透,特別是在微分幾何種種空間,產(chǎn)生了所謂拓?fù)淇臻g的統(tǒng)一流形;統(tǒng)一也是數(shù)學(xué)家們永遠(yuǎn)追求的目標(biāo)之一.數(shù)學(xué)中的聯(lián)系絕非是一種巧合,而這恰恰反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì).布爾巴基(這是一大批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家組成的一個數(shù)學(xué)團體)的《數(shù)學(xué)原理》是迄今為止的全部數(shù)學(xué),且使之趨于統(tǒng)一的大膽、優(yōu)秀嘗試.布爾巴基抽象出三種最基本的結(jié)構(gòu)模型:代數(shù)結(jié)構(gòu):可以通過合成規(guī)則定義,反映集合中元素間的運算關(guān)系;序結(jié)構(gòu):由次序先后關(guān)系形成的結(jié)構(gòu);拓?fù)浣Y(jié)構(gòu):給空間提供一個抽象的數(shù)字表示,反映集合各元素間親疏關(guān)系.數(shù)學(xué)需要統(tǒng)一,而統(tǒng)一由歷來為數(shù)學(xué)家們夢寐以求（對于其他學(xué)科也是如此）.

數(shù)學(xué)中的巧合很多:比如e與π這兩個看上去似乎風(fēng)馬牛不相及的常數(shù)（超越數(shù)）的表達(dá)式中,有很多令人不解的數(shù)字現(xiàn)象位數(shù)12345…13…1718…21…34…π31415…9…23…6…2…e27182…9…23…6…2….e和π的十進制小數(shù)中,平均每個十位,發(fā)現(xiàn)一次重合.另外π中會出現(xiàn)27132,而e中又會有31415等數(shù)字排列.圓錐曲線與物理或航天學(xué)中的三個宇宙速度問題有關(guān):當(dāng)物體運動分別達(dá)到該速度時,它們的軌跡便是相應(yīng)的原準(zhǔn)曲線(大自然同大數(shù)學(xué)家一樣,總是以通等重要性把理論與應(yīng)用統(tǒng)一起來):速度第一宇宙速度第二宇宙速度第三宇宙速度軌道橢圓拋物線雙曲線我們還知道:三種幾何學(xué)(歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何)可以在高斯曲率的觀點下統(tǒng)一成一種幾何的三種不同情形.幾何體系平行公理三角形內(nèi)角和空間類型曲率k歐幾里得幾何過直線外一點最多可作一條直線與已知直線平行=180度平面=0羅巴切布斯基幾何過直線外一點至少可以做兩條直線與已知直線不相交<180度雙曲線<0黎曼幾何任何兩條直線有唯一交點>180度橢圓>0數(shù)學(xué)美的和諧所謂＂數(shù)學(xué)的和諧＂不僅是宇宙的特點,原子的特點,也是生命的特點,人的特點.------高爾基數(shù)學(xué)構(gòu)造了人類智慧的最壯麗的紀(jì)念碑。------T.Thomson宇宙概念常常在哲學(xué)家腦子里被表現(xiàn)為和諧------因為宇宙是和諧的.藝術(shù)的和諧人們可以”感覺到”,數(shù)學(xué)以致科學(xué)的和諧人們同樣可以”感覺”,有時甚至是直覺.和諧美我指的是本質(zhì)的美,它來自自然各部分的和諧的秩序,并且純智力都能夠領(lǐng)悟它.------龐加萊數(shù)學(xué)的許多”藝術(shù)形式”是由精致的、”無噪聲的”結(jié)果所組成的.------R.W.哈明美是和諧的.和諧性也是數(shù)學(xué)美的特征之一.和諧即雅致、嚴(yán)謹(jǐn)或形式結(jié)構(gòu)的無矛盾性.德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了”集合論”,這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)誕生的標(biāo)志.1902年,英國數(shù)理邏輯學(xué)家羅素在《數(shù)學(xué)原理》中提出一個足以說明”集合論本身是自相矛盾的”例子------羅素悖論:試把集合分成兩類:自己為自己元素者為甲類;自己不是自己元素者為乙類.這樣,一個集合要么屬于甲,要么屬于乙,二者必居其一,且僅居其一.試問:乙類集合的全體屬于哪一類?若乙屬于甲,,由甲的定義則有乙屬于乙,這和乙屬于甲矛盾;若乙屬于乙,則仍以甲的定義應(yīng)該有乙屬于甲也矛盾.由于哲學(xué)觀點不同,由此便產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的幾大派:邏輯主義學(xué)派(代表者羅素、懷德海等)；直覺主義學(xué)派(代表人物科羅內(nèi)可(L.Kronecker)等);形式主義學(xué)派(代表人物希爾伯特等).人們意識到:如果說化學(xué)、物理學(xué)與生物學(xué)的結(jié)合,打開了生物學(xué)的大門的話,那么數(shù)學(xué)與物理學(xué)的結(jié)合將揭開微宏觀世界的奧秘.對稱美對稱是一個廣闊的主題,在藝術(shù)和自然兩方面都意義重大.數(shù)學(xué)則是他的根本.------H.Weyl雖然數(shù)學(xué)沒有明顯地提到善和美,但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離.因為美德主要形式就是秩序、勻稱和確定性,這些正是數(shù)學(xué)所研究的原則.------亞里士多德自古以來,人們就已經(jīng)討論”對稱原理”之一------左和右之間的對稱.物理學(xué)定律一直顯示左右之間完全對稱.這種對稱在"量子力學(xué)”中可以形成一種守恒定律,即宇稱守恒,他和左右對稱原理完全相同.英美幾位物理學(xué)家日前提出的關(guān)于宇宙起源的新學(xué)說一鳴驚人:在五維空間按中存在我們的宇宙和另外一個”隱藏’的宇宙(對稱的宇宙).新理論是由美國普林斯頓大學(xué)、賓夕法尼亞大學(xué)和英國劍橋大學(xué)的物理學(xué)家們共同提出的.它們認(rèn)為,我們宇宙和一個隱藏的宇宙共同鑲嵌在五維空間中.在我們的宇宙早期,這兩個宇宙發(fā)生了一次相撞事故,相撞產(chǎn)生的能量生成了我們宇宙中的物質(zhì)和能量.形式美只有音樂堪與數(shù)學(xué)媲美.------A.H.懷德海在形式數(shù)學(xué)中,每一步驟或為允許的,或為不正確的.------J.W.圖恩畢達(dá)哥拉斯學(xué)派及其崇拜者還研究了多角數(shù)的美妙性質(zhì),比如他們發(fā)現(xiàn):每個死角數(shù)是兩個相繼三角數(shù)之和;第n-1個三角數(shù)與第n個k角數(shù)之和為第n個k+1角數(shù);………………17世紀(jì)初,法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費馬在研究多角性質(zhì)是提出猜想:每個正整數(shù)均可至多用三個三角數(shù)和、四個四角數(shù)和、……、k個k角數(shù)和表示.我們再來看看”幻方大王”弗里安遜(Frianson)制作的九階幻方,堪稱一絕:其性質(zhì):虛線框出的帶圓圈的25個數(shù)字,恰好構(gòu)成一個五階幻方(幻和值為205);虛線框中沒有圓圈上的數(shù)字恰好構(gòu)成一個四階幻方(幻和值為164);425868641844345026654451177782610126795321696346205273523313967556073655749413325179222715435159477530623619136129376707256457137281680324838748118142440虛線框內(nèi)數(shù)字(包括邊界上的數(shù)字)全為奇數(shù);框外數(shù)字全部為偶數(shù);幻方中奇數(shù)的末位數(shù)字與水平軸線對稱;偶數(shù)的末位數(shù)字業(yè)余水平軸線對稱.數(shù)學(xué)美的奇異性美在于奇特而令人驚異.------培根邏輯是貧乏的,而數(shù)學(xué)是最多產(chǎn)的母親.------Anonymous奇異性是數(shù)學(xué)美的一個重要特性.奇異性包括兩個方面內(nèi)容:一是奇妙,二是變異.數(shù)學(xué)中不少結(jié)論巧妙無比,令人贊嘆,正是因為這一點數(shù)學(xué)才有無窮的魅力.奇異美在繪畫與數(shù)學(xué)中,美又客觀標(biāo)準(zhǔn).畫家講究結(jié)構(gòu)、線條、造型、肌理,而數(shù)學(xué)家則講究真實、正確、新奇、普遍、……------哈爾摩斯審美趣味和數(shù)學(xué)趣味是一致或相同.------貝爾數(shù)學(xué)中有許多變異現(xiàn)象,它們往往與人們預(yù)期的結(jié)果相反(有些則是人們沒有認(rèn)清而作出的錯誤判斷,有些則是有悖于通常認(rèn)識的結(jié)論),令人失望之余,也給了人們探索它們的動力(這是人類與生俱來的沖動所致).年輕的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(N.H.Abel)證明了:一般五次和五次以上代數(shù)方程的結(jié)不能用公式給出.有限美十進制技術(shù)的發(fā)明恐怕是科學(xué)史上最重要的成就.------H.Lebesque科學(xué)需要一種能夠簡練地、合乎邏輯地表達(dá)的語言，這種語言便是數(shù)學(xué)……------阿爾芬自然的終極秘密是用一種我們還不能閱讀的語言書寫，數(shù)學(xué)為這種原文提供了注釋。------O.G.Sutton世界是無限的,宇宙是無限的,數(shù)學(xué)血液是無限的.唯一性在數(shù)學(xué)上有時是很重要的.比如整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解,為了保證分解時的唯一性,人們不得不犧牲1這個按照定義原本屬于質(zhì)數(shù)的數(shù),結(jié)果是:1既不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù).這樣一來,便保證了整數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解或表成質(zhì)因數(shù)乘積時唯一.神秘每(朦朧美)數(shù)學(xué)和詩歌都具有永恒的性質(zhì).------R.D.Carmichael哪里有數(shù),哪里就有美.------Proclus數(shù)學(xué)關(guān)注抽象,卻閉口不談時空宇宙.------O.G.Sutton數(shù)學(xué)中有許多新奇、巧妙而又神秘的東西吸引著人們,這是數(shù)學(xué)的趣味魅力所在，它們“像甜蜜的笛聲誘惑了如此眾多的‘老鼠’，跳進了數(shù)學(xué)的深河”.《說文》中對數(shù)的解釋如下:一,性初太始,道立于一,造分天地,化成萬物;二,地之?dāng)?shù)也;三,天、地、人之道也；四,陰數(shù)也;五,五行也;六,《易》之?dāng)?shù)也;………………詩,以其簡練的語言,深邃的意境,給人以無窮的遐想.古人還以文字為游戲:如《晚秋即景》正念反念煙霞映水碧迢迢暮色求生一雁遙前岑落輝殘晚照邊城古樹冷蕭蕭蕭蕭冷樹古城邊晚照殘輝落岑前遙雁一聲秋色暮迢迢碧水映霞煙有趣的是數(shù)學(xué)中也有回文質(zhì)數(shù)，所謂回文質(zhì)數(shù)就是指某數(shù)為質(zhì)數(shù)，而該數(shù)的各數(shù)字倒過來寫也是質(zhì)數(shù).卡特(Card)經(jīng)計算發(fā)現(xiàn):回文質(zhì)數(shù)與無重回文質(zhì)數(shù)個數(shù)如下表:位數(shù)兩位三位四位五位……“對”數(shù)413102684……常數(shù)美大哉言數(shù).