2023年秋季學期廣西示范性高中高二期中聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學本卷滿分：150分，考試用時：120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算即可求解.【詳解】.故選：C2.設集合，，，則（）A或 B.C.或 D.【答案】D【解析】【分析】結合補集并集定義直接求解.【詳解】由題可知，∴.故選：D3.在中，是邊上的中點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算求解即可.【詳解】因為是邊上的中點，所以，即.故選：A4.已知非零向量，，，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別判斷是否成立，從而得到結論.【詳解】由得：可知“”是“”的充分條件；當時，時，不一定相等可知“”是“”的不必要條件本題正確選項：【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判定，屬于基礎題.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結合，代入即可求解.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，所以.故選：B.6.已知圓：，圓：，則下列說法正確的是（）A.圓與圓公共弦所在直線的方程為B.圓與圓有兩條公切線C.是圓與圓的一條公切線D.圓與圓上均恰有兩點到直線的距離為2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩圓圓心距離等于半徑和即可得兩圓外切判斷AB，根據(jù)直線與兩圓都相切判斷C，根據(jù)圓心到直線距離等于半徑判斷D.【詳解】由條件可得：圓：的圓心為，半徑；圓：的圓心為，半徑.因為，所以圓與圓外切，選項A，B錯誤；對于選項C，圓心到直線的距離；圓心為到直線的距離，所以是圓與圓的一條公切線，選項C正確；對于選項D，圓心到直線的距離，所以圓：上有且僅有一點到直線的距離為2，選項D錯誤.故選：C7.已知橢圓：的離心率為，，分別為的左、右焦點，為上一點，若的面積等于4，且，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓離心率，可設，，在中結合余弦定理，面積公式可以求出，進而求出橢圓方程.【詳解】因為橢圓離心率為，故可設，，則橢圓的方程為.由橢圓的定義可知，，在中，，由余弦定理可知，所以，即，所以，又因為，，所以，所以，解得，所以橢圓的方程為.故選：C8.在中，邊上的高等于，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，利用直角三角形邊角關系求出，再利用誘導公式及和角的余弦公式計算得解.【詳解】令的內(nèi)角所對邊為，過作于，則，在直角中，，，則，從而，在直角中，，從而，，在中，，所以.故選：D二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷AB，舉反例排除C，利用基本不等式判斷D，從而得解.【詳解】對于選項A，，選項A錯誤；對于選項B，因為，選項B正確；對于選項C，當，時，滿足，但，選項C錯誤；對于選項D，當時，，當且僅當時，即時，等號成立，選項D正確.故選：BD.10.函數(shù)，記，則下列說法正確的是（）A.當時， B.當時，C.當時，的值可能為 D.當時，的值可能為【答案】AD【解析】【分析】數(shù)形結合，利用一元二次方程及指數(shù)方程求解，逐項判斷即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象：結合圖可知：當時，，是一元二次方程的兩個不等實根，根據(jù)韋達定理得，選項A正確，選項B錯誤；當時，或，解得或或，所以所有可能的取值為：，，3，故選項C錯誤，選項D正確.故選：AD11.如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，則下列說法正確的是（）A. B.與所成的角大小為C. D.點到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算法則，準確化簡，可判定A正確；由向量的數(shù)量積的運算公式，求得，可判定B錯誤；根據(jù)向量的模的計算公式，求得，可判定C正確；求得平面的一個法向量，結合距離公式，可判定D正確.【詳解】對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，則，所以與所成角大小為，所以B錯誤；對于C中，，所以，所以C正確；對于D中，由B選知：，同理可得，又由，且平面，所以平面，所以是平面的一個法向量，因為，所以點到平面的距離為，所以D正確.故選：ACD.12.設橢圓與雙曲線的離心率分別為，，橢圓的右頂點為，雙曲線的漸近線方程為，橢圓與雙曲線在軸上方相交于，兩點，則（）A.B.C.D.直線、分別交軸于點、，若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)離心率公式計算離心率判斷AB，設，，直接計算判斷CD.【詳解】由雙曲線的漸近線方程可知：，對于選項A，，選項A正確；對于選項B，，選項B錯誤；對于選項C，設，，則，即，橢圓的右頂點為，∴，選項C正確；對于選項D，直線：與軸的截距為；直線：與軸的截距為，所以，選項D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線：與直線：垂直，則______.【答案】1【解析】【分析】由兩直線垂直的條件求解.【詳解】由得：，解得：.故答案為：1.14.底面半徑為4的圓錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面半徑為2，高為3的圓錐，所得圓臺的體積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)相似可得高，進而利用圓錐的體積公式即可求解.【詳解】設原圓錐的高為，則，則，.故答案為：15.已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象關于直線對稱，則函數(shù)在上有且只有______個零點.【答案】8【解析】【分析】由最小正周期求得，對稱軸可得，進而求得解析式，結合函數(shù)圖象可求零點.【詳解】由函數(shù)最小正周期為得：，解得：，因為函數(shù)圖象關于直線對稱，所以，即，，又，∴，∴，∵，∴，結合函數(shù)的圖象得所求零點個數(shù)為8.故答案為：816.已知雙曲線左右焦點分別為，，過直線在第一象限與雙曲線相交于點，與軸的負半軸交于點，且，，則雙曲線的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，設，利用由雙曲線的定義，求得，，，分別在和中，由余弦定理，列出方程，求得關系式，即可求解.【詳解】因為且，可設，則，由雙曲線的定義，可得，所以，所以，，，分別在和中，可得，整理得：，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線的方程為.（1）求過點與直線平行的直線的方程；（2）求直線被圓截得的弦的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）法一：設與直線平行的直線方程為，將點坐標代入方程可得答案；法二：設所求直線方程為，將點坐標代入方程可得答案；（2）法一：求出圓心到直線的距離，由可得答案；法二：直線方程與圓的方程聯(lián)立求出交點坐標再求弦長可得答案.【小問1詳解】法一：設與直線：，即與平行的直線方程為；將點代入方程得：，解得：，∴設所求直線方程為；法二：設所求直線方程為，將點代入方程得：，解得：，∴設所求直線方程為；【小問2詳解】法一：圓可化成，得圓心為，半徑，圓心到直線的距離，∴；法二：聯(lián)立，消得：，解得：，，∴直線與圓的交點為，，∴.18.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，分別以，，為邊長的三個正三角形的面積依次為，，.已知，.（1）求的值（2）若，求邊.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用面積公式表示出三個正三角形的面積，代入到，然后根據(jù)余弦定理求即可.（2）由正弦定理知，由（1）求出，代入即可求得邊.【小問1詳解】依題意，，同理，，因為，所以，即，由余弦定理得：；【小問2詳解】因為，，所以，由正弦定理，得：，又，所以，所以.19.2023年東盟博覽會于9月在南寧舉辦.某電視臺對本市15~65歲的人群隨機抽取100人，并按年齡段分成6組，如頻率分布直方圖所示.抽取的人需回答“2023年是第幾屆東盟博覽會”的問題，回答問題的正確情況如表格所示.組號分組回答正確人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第1組50.5第2組18第3組0.9第4組90.36第5組30.2根據(jù)上述信息，解決下列問題：（1）求表格中，值，并估計抽取的100人的年齡的中位數(shù)（中位數(shù)的結果保留整數(shù)）；（2）從第2、3、4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，并從這6人中隨機抽取2人，求這2人都不在第2組的概率.【答案】（1），；42歲（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求得，，再求出頻率0.5對應的值即為中位數(shù)；（2）由頻率分布直方圖求出人數(shù)，再由分層抽樣的定義求出相應的人數(shù)，然后用列表法列出樣本空間中樣本點，計數(shù)后計算出概率.【小問1詳解】，，第1、2、3組的頻率依次為：0.1，0.2，0.3，因為的頻率為，的頻率為設中位數(shù)為，則，解得所以中位數(shù)的估計值為42歲.【小問2詳解】由（1）可知第2、3、4組回答正確的共有人，所以利用分層抽樣在54人中抽取6人，第2組抽?。ㄈ耍?，記為，；第3組抽取（人），記為，，；第4組抽取（人），記為法一：該試驗的樣本空間為，記事件“這2人都不在第2組”，則，故，即這2人都不在第2組的概率為；法二：從這6人中隨機依次抽取2人，則樣本空間包含的樣本點個數(shù)為，記事件“這2人都不在第2組”，則事件包含的樣本點的個數(shù)為，故，即這2人都不在第2組的概率為.20.如圖，在四棱錐中，，，底面，且，，點是的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證明，或者根據(jù)平行四邊形，由線線平行求證線面平行，（2）建立空間直角坐標系，利用法向量求解夾角，或者證明線面垂直，利用幾何法求解夾角.【小問1詳解】法一：∵底面，∴，，又，如圖建立直角坐標系，則，，，，，易知：是平面的一個法向量，∴，又平面，∴平面.法二：取的中點，連接，，由，分別是，的中點得：，，在四邊形中，，，∴，又，∴，，即四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】方法一：∵底面，∴，，又，如圖建立直角坐標系，設是平面的一個法向量，，，則，即，取得：，是平面的一個法向量，∴，故平面與平面的夾角的余弦值為；方法二：延長、交于點，則平面平面，∵底面，底面,∴，又，且，平面,∴平面，過點作，為垂足，連接，由于平面，平面，所以,平面,平面,平面,則，∴是二面角的平面角，由可知：是的中點，在中，，∴，在中，，，故平面與平面的夾角的余弦值為.21.設雙曲線的左、右頂點分別為、，右焦點為，已知，.（1）求雙曲線的方程及其漸近線方程；（2）過點的直線與雙曲線相交于，兩點，能否是線段的中點？為什么？【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由已知可得，解得，結合關系式可求，進而得解；（2）可聯(lián)立直線與雙曲線方程，求得韋達定理，結合和中點公式可判斷；也可采用設而不求法求得，得直線斜率，進而求得直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，驗證可判斷.【小問1詳解】由，，可得：，解得：，,∴，∴雙曲線方程為，漸近線方程為；【小問2詳解】法一：由題意可知：過直線的斜率存在.設直線的方程為，聯(lián)立，消得：，由直線與雙曲線相交于兩點可得：，設，，則，若是線段的中點，則，解得：，此時，與矛盾，故不是線段的中點；法二：假設是線段的中點，其中，，則，∵，在雙曲線上，∴，①②整理可得：，即，∴直線的方程是，即，聯(lián)立消得：，即，，故不是線段的中點.22.已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸、軸，且過，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓正半軸上的焦點，過的直線與橢圓相交于，兩點，過作軸的垂線交直線于點，試問是否恒過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.【答案】（1）（2）過定點，【解析】