第七章平面直角坐標(biāo)系

7.1平面直角坐標(biāo)系

7.1.1有序數(shù)對

?教學(xué)目標(biāo)0

【知識與技能】

1.理解有序數(shù)對的意義；

2.了解平面上確定點的常用方法.

【過程與方法】

1.通過有序數(shù)對確定位置，讓學(xué)生感受二維空間觀，發(fā)展符號感及抽象思維能力；

2.體會具體一抽象一具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.

【情感'態(tài)度與價值觀】

經(jīng)歷用有序數(shù)對表示位置的過程，體驗數(shù)、符號是描述現(xiàn)實世界的重要手段.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

用有序數(shù)對表示位置.

【教學(xué)難點】

對有序數(shù)對中的有序的理解.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

象棋，在中國有著悠久的歷史，先秦時期已有記載.屬于二人對抗性游戲的一種，由于用具簡

單，趣味性強，成為流行極為廣泛的棋藝活動.右圖一張棋盤,你能準(zhǔn)確說出棋盤中各個棋子的位

置嗎？

二、合作探究

探究點1有序數(shù)對的概念

典例1在平面內(nèi)，下列數(shù)據(jù)不能確定物體位置的是()

A.3樓5號B.北偏西30°

C.文明路38號D.東經(jīng)120°,北緯30°

［解析］只有B選項中僅有方向角的大小，而沒有距離，從而B不能確定物體的位置.

［答案］B

【技巧點撥】在平面內(nèi)，確定物體位置需要兩個量，即有順序的兩個數(shù)來表示.

變式訓(xùn)練|某教室的座位共有5排6列，其中小明的座位在2排5列，記為(2,5),王紅的座位在5

排3列,可記為()

A.(5,6)B.(6,5)

C.(5,3)D.(3,5)

［答案］C

探究點2有序數(shù)對的實際應(yīng)用

典例2如圖是中國象棋一次對局時的部分示意圖，若“帥”所在的位置用有序數(shù)對(5,1)表示.

(1)請你用有序數(shù)對表示其他的棋子的位置；

⑵我們知道馬行“日”字，如圖中的“馬”下一步可以走到(3,5)的位置，問還可以走的位置有幾個?

分別如何表示？

［解析］(1)兵(3,4),相(3,1),炮(8,3),馬(4,3).

⑵還可以走的位置有7個，分別可以表示為(2,2),(2,4),(3,1),(5,1),(5,5),(6,2),(6,4).

【技巧點撥】在具體的問題情境中，數(shù)對3力)中。和人代表特定的含義，在規(guī)定了它們的含義后,

在同一問題中就不能再變,否則會出錯.

變式訓(xùn)練這是一個動物園游覽示意圖，請你設(shè)計描述這個動物園圖中每個景點位置的一個方

法.

［解析］答案不唯一.我們規(guī)定，每個小正方形的邊長為1個單位長度，先可以確定馬的位置為

(2,2),那么南門的位置表示為(5,5),獅子的位置表示為(1,10),飛禽的位置表示為(8,9),兩棲動物的

位置表示為(9,6).

三'板書設(shè)計

有序數(shù)對

1.有序數(shù)對:我們把有順序的兩個數(shù)。和人組成的數(shù)對,叫做有序數(shù)對，記作3,母

2.在進(jìn)行有序數(shù)對的應(yīng)用時需注意有序數(shù)對的順序.

?教學(xué)反思?

有序數(shù)對是本章內(nèi)容的基礎(chǔ).學(xué)生對實際生活中用"數(shù)對''表示點或事物的位置并不感到陌

生，但對理解“有序”有一定的困難.本節(jié)內(nèi)容有利于增強學(xué)生的數(shù)學(xué)符號感，是“數(shù)響“形”的正式

過渡，讓學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)是解決實際問題的重要工具.

7.1.2平面直角坐標(biāo)系

?教學(xué)目標(biāo)0

【知識與技能】

1.理解平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念；

2.掌握平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的關(guān)系.

【過程與方法】

引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法探求平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點與坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步體會數(shù)形

結(jié)合的思想.

【情感'態(tài)度與價值觀】

通過操作、探究、體驗平面直角坐標(biāo)系上的點與有序?qū)崝?shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)

合的教學(xué)思想.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

平面直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念.

【教學(xué)難點】

體會平面直角坐標(biāo)系中點與坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

教學(xué)樓的走廊上，老師、小華、小麗的位置如圖所示，你能根據(jù)圖示描述小華和小麗相對于

老師的位置關(guān)系嗎？

二'合作探究

探究點1平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念

典例1在平面直角坐標(biāo)系中，點P(-2k+l)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析］???-2<0胃+1>0,可知點P的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正,.?.點P在第二象限.

［答案］B

歸納總結(jié)

各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征如下:

點的位置橫坐標(biāo)符號縱坐標(biāo)符號

在第一象限++

在第二象限-4-

在第三象限--

在第四象限+-

變式訓(xùn)練在一次“尋寶”游戲中,尋寶人員已經(jīng)找到了坐標(biāo)為(3,2)和(3,-2)的兩個標(biāo)志點，并且

知道藏寶地點的坐標(biāo)為(4,4),除此外不知道其他信息.如何確定平面直角坐標(biāo)系找到“寶藏”？

［解析］①作已知兩點的垂直平分線，確定其單位長度，并將其定為x軸；

②在x軸上以垂足向左方記3個單位長度，記0點；

③過。點作x軸的垂線,并記為y軸,從而確定平面直角坐標(biāo)系；

④在平面直角坐標(biāo)系中表示藏寶位置.

探究點2點的坐標(biāo)在幾何中的應(yīng)用

典例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點A的坐標(biāo)為(-3,3),點B的坐標(biāo)為(2,0),則三角形A3。的

面積為()

A.15B.7.5C.6D.3

［解析］根據(jù)題意，得三角形ABO的底長OB為2,高為3,；.S:角形ABO=：X2X3=3.

［答案］D

變式訓(xùn)練如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD各頂點的坐標(biāo)分別為

A(0,0),B(9,0),C(7,5),D(2,7).求四邊形ABCD的面積.

［解析］過點D作DELAB交AB于點瓦連接EC.

S四邊形A8CQ=S三角形ADE+S三角形COE+S三角形8CE

111

=-x2x7+-x7x5+-x7x5

=42.

三'板書設(shè)計

平面直角坐標(biāo)系

1.平面直角坐標(biāo)系的概念；

2.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)特征；

3.由點的位置確定點的坐標(biāo),由點的坐標(biāo)確定點的位置.

?教學(xué)反思?

平面直角坐標(biāo)系是溝通代數(shù)和幾何的橋梁，是非常重要的數(shù)學(xué)工具.對于坐標(biāo)概念有序性的

理解是學(xué)生的一個易錯點.在辨析用不同有序數(shù)對表示同一個點的位置時，要強調(diào)順序的重要

性.

7.2坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用

7.2.1用坐標(biāo)表示地理位置

?教學(xué)目標(biāo)0

【知識與技能】

1.會建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系描述地理位置；

2.會用方位角和距離表示平面內(nèi)物體的位置.

【過程與方法】

通過學(xué)習(xí)如何用坐標(biāo)表示地理位置，發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

【情感、態(tài)度與價值觀】

通過學(xué)習(xí)了解建立平面直角坐標(biāo)系有多種方法，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)充滿了探索和創(chuàng)造,讓學(xué)生

認(rèn)識到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

利用坐標(biāo)表示地理位置.

【教學(xué)難點】

建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，利用平面直角坐標(biāo)系解決實際問題.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

海戰(zhàn)的主要方式有海上機動編隊的進(jìn)攻戰(zhàn)和防御戰(zhàn)，潛艇戰(zhàn)和反潛戰(zhàn),海上封鎖戰(zhàn)和反封鎖

戰(zhàn)，海上破交戰(zhàn)和保交戰(zhàn)等.其基本目的是消滅敵方海軍兵力，奪取制海權(quán).重要海戰(zhàn)的勝負(fù)，對某

一海洋戰(zhàn)區(qū)戰(zhàn)局的轉(zhuǎn)變，甚至對戰(zhàn)爭的進(jìn)程將會產(chǎn)生重要的影響.下圖是某次海戰(zhàn)中敵我雙方艦

艇對峙示意圖（圖中1cm代表20海里）如下，對我方潛艇。來說：

北

,,一：小島

我方潛艇；：40°/‘?dāng)撤綉?zhàn)艦B

我方戰(zhàn)艦2號

........一;

0,：1?*"敵方戰(zhàn)艦C

1

厘

A我方戰(zhàn)艦1號

米

敵方戰(zhàn)艦A

（1）北偏東40°的方向上有哪些目標(biāo)?要想確定敵艦8的位置，還需要什么數(shù)據(jù)?

⑵距離我方潛艇20海里的敵艦有哪幾艘?

（3）要確定每艘敵艦的位置，各需要幾個數(shù)據(jù)?

二'合作探究

探究點1用坐標(biāo)表示地理位置

＞一典例1下圖是永州市幾個主要景點示意圖，根據(jù)圖中信息可確定九嶷山的中心位置C點

的坐標(biāo)為.

柳彳廟

：D：

千家胴九w山

fizia4i.br'

［解析］由A,B兩點位置，可以確定坐標(biāo)原點的位置在盤王殿西邊1個單位，從而確定九嶷山C

的位置為（3,1）.

［答案］(3,1)

【技巧點撥】先由已知點的坐標(biāo)確定坐標(biāo)原點及兩坐標(biāo)軸的位置和方向,再找出所求點在這個

平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo).

探究點2用方位角和距離表示點的位置

典例2［閱讀材料，獲取新知］

在航空、航海等領(lǐng)域我們經(jīng)常用距離和角度來確定點的位置.規(guī)定如下:在平面內(nèi)取一個定點O,

叫做極點，引一條射線Qx,叫做極軸，在選定一個單位長度和角度的正方向（通常取逆時針方向）.

對于平面內(nèi)任何一點用p表示線段OM（有時也用r表示）,8表示從Qx到OM的角度夕叫做

點M的極徑,，叫做點M的極角，有序數(shù)對S，，）就叫做點M的極坐標(biāo)，這樣建立的坐標(biāo)系叫做極

坐標(biāo)系通常情況下,M的極徑坐標(biāo)單位為1（長度單位），極角坐標(biāo)單位為依。（或。）.

例如:如圖①，點M到點0的距離為5個單位長度與Qx的夾角為70°（Ox的逆時針方向）,

則點M的極坐標(biāo)為（5,70°工同理，點N到點。的距離為3個單位長度,ON與Ox的夾角為50°（Ox

的順時針方向)，則點N的極坐標(biāo)為(3,-50°).

［利用新知，解答問題］

請根據(jù)以上信息，回答下列問題：

如圖②，已知過點O的所有射線等分圓周且相鄰兩射線的夾角為15°.

(1)點A的極坐標(biāo)是;點D的極坐標(biāo)是;

(2)請在圖②中標(biāo)出點8(5,45°)，點E(2,-90°);

(3)怎樣從點8運動到點C?

小明設(shè)計的一條路線為:點8-(4,45°)一(3,45°)一(3,30°)一點C.

請你設(shè)計與小明不同的一條路線，也可以從點B運動到點C.

［解析］(1)X(4,75°),￡>(3,-30°).

(2)如圖所示.

(3)點8-(5,30°)一(5,15°)一(4/5°)一點C.

歸納總結(jié)

這種表示位置的方法是通過兩個數(shù)據(jù)來確定的:一是方位角(角的大小);二是距離(距觀察點的距

離).

三'板書設(shè)計

用坐標(biāo)表示地理位置

1.用坐標(biāo)表示地理位置;

2.用方位角和距離表示點的位置.

?教學(xué)反思?

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了有序數(shù)對和平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，探究如何利用平面直角坐標(biāo)系解

決生活中的實際問題.通過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能建立平面直角坐標(biāo)系描述物體的位置，并

能理解坐標(biāo)系的選取不同則點的坐標(biāo)可能不一樣，但是相對位置不會發(fā)生變化.

7.2.2用坐標(biāo)表示平移

?教學(xué)目標(biāo)^

【知識與技能】

1.掌握坐標(biāo)變化與圖形平移的關(guān)系；

2.能利用點的平移規(guī)律將平面圖形進(jìn)行平移.

【過程與方法】

會根據(jù)圖形上點的坐標(biāo)的變化，來判定圖形的移動過程.

【情感'態(tài)度與價值觀】

培養(yǎng)學(xué)生探究的興趣和歸納概括的能力，體會使復(fù)雜問題簡單化.

?教學(xué)重難點?

【教學(xué)重點】

掌握坐標(biāo)變化與圖形平移的關(guān)系.

【教學(xué)難點】

利用坐標(biāo)變化與圖形平移的關(guān)系解決實際問題.

?教學(xué)過程?

一、情境導(dǎo)入

我們知道,兔子愛吃胡蘿卜.如圖，若用點42,1)表示放置2個胡蘿卜,1棵小白菜;點8(4,2)表

示放置4個胡蘿卜,2棵小白菜;以此類推.若一只兔子從點A順著方格線向上或向右移動到達(dá)點

B,試問有幾條路徑可供選擇?其中走哪條路徑吃到的胡蘿卜最多?走哪條路徑吃到的小白菜最

多？

二'合作探究

探究點1用坐標(biāo)表示點的平移

一典例1將點(-1,2)向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到對應(yīng)點的坐標(biāo)

是()

A.(2,0)B.(-2,0)

C.(2,3)D.(-l,-2)

［解析］根據(jù)題意可知，橫坐標(biāo)減去1,縱坐標(biāo)減去2,得G2,0).

［答案］B

變式訓(xùn)練|將點A(l,-3)向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到點次。力)，則

ab=.

［答案］-15

探究點2用坐標(biāo)表示圖形的平移

一典例2在平面直角坐標(biāo)系中,P(a力)是三角形ABC的邊AC上一點，三角形ABC經(jīng)平移后

點P的對應(yīng)點為P(a+6#+2).

(1)請畫出上述平移后的三角形AiBG,并寫出點A,CA,G的坐標(biāo)；

(2)求出以A,C,Ai,C為頂點的四邊形的面積.

［解析］(1)三角形AiBiCi如圖所示，各點的坐標(biāo)分別為A(-3,2),C(-2,0),4(3,4),Ci(4,2).

⑵如圖，連接則S三角形"小=1x7x2=7,S三角形仁。=|'7x2=7,故S四邊形人皿冬=

S三角形AC1A+S三角形4cle=7+7=14.