2024屆高三第二次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．a(chǎn)i1ai2，aRa，則（）1.若復(fù)數(shù)A.1B.0C.1D.22RAxx10Bx1，則（2.已知全集U，集合，）2xeUABAAB.AeBAB,2C.D.）C.Ux1x13.若fxxaa為偶函數(shù)，則（1A.1B.0D.12ab1c3，cosac,bc4向量且abc0，則（）445D.A.B.C.55.“sin0”是“sin2sin21”的（）A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件，則（的前項(xiàng)和，若，SaS45S6S2S86.記為等比數(shù)列nnnA120B.85C.D.π3π3sinsin1，則cos7.已知（）3221A.B.C.D.23328.已知定義在R上的函數(shù)滿足fx，且，，fx22fxx12，1fxfx120．若x1，f2xafx0恒成立，則a的取值范圍為（）12第1頁/共5頁122,0A.B.C.D.4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知ab，則（）lna21lnb2a3b3A.C.B.ab1111bD.22aπ2fx2cosx10.已知函數(shù)1的圖象向左平移1個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）fxgx1，將π4π4A.fx2cosxB.在區(qū)間fx9上單調(diào)遞增C.為奇函數(shù)gxD.若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則a3．gxa2,2πAbABCAC，內(nèi)角B的平分線交于點(diǎn)11.在中，內(nèi)角，B，Cac所對的邊分別為，，，3D且BD3，則下列結(jié)論正確的是（）111A.B.b的最小值是2acC.ac的最小值是43D.的面積最小值是312.定義在R上的函數(shù)滿足fx為偶函數(shù)，則（）fx2x2f1xff1xf1xf1x1xf0A.C.B.D.fx4fxf20230三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．2log2x,x11213.已知函數(shù)fxff，則__________．4x,x1第2頁/共5頁sin214.已知向量a(cos,2)，bsin)，且ab，則________．223114,則AB15.在銳角三角形，AB2，且邊上的中線長為__________．tanAtanBtanCyex1和yln(x都相切，請寫出符合條件的兩條直線l的方程：______，16.已知直線l與曲線______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．a(chǎn)}a1a2a，的等差中項(xiàng)．317.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為na}（1）求（2）若的公比；na11na}n的前項(xiàng)和．，求數(shù)列n-ABCAA13ABC1AABB平面．1118.如圖，直三棱柱中，，平面111（1）求證：；ACB（2）求二面角的正弦值．19.已知函數(shù)f(x)（1）求常數(shù)m的值；2x23sinxxsinxm的最大值為1.2x215π3f0xcos2x的值.0（2）若，，求0的前項(xiàng)積為，且1.annnn20.已知數(shù)列n1（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；Tn2132n1n3（2）證明：.12n4Abb2cac.21.在中，，B，Cac所對的邊分別為，，，已知第3頁/共5頁aπ（1）若B，求的值；c3（2）若是銳角三角形，求3sinB2C的取值范圍.21f(x)(xxg(x)ax2x22.已知函數(shù)（1）求證：（2）若函數(shù)．2fx12x1；h(x)f(x)g(x)在(0,)a上存在最大值，求的取值范圍．第4頁/共5頁2024屆高三第二次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．a(chǎn)i1ai2，aRa，則（）1.若復(fù)數(shù)A.1B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的相等運(yùn)算即可得解.ai1aiaai+iai2a1ai22222，【詳解】解：由題意，∵2a2a1.，解得：∴1a02故選：A.2RAxx10Bx1，則（2.已知全集U，集合，）2xeABAA.C.B.D.UAeBAB,2U【答案】C【解析】,B【分析】先求出集合，再由交集，補(bǔ)集，并集的定義判斷A，C，D；由集合間的關(guān)系判斷B.x101【詳解】由，則0x11，解得：1x2，22Ax1x，所以xx20x0222x1可得10，即0，則，由xxx0x2，故Bx0x2，故B錯(cuò)誤；解得：，故A錯(cuò)誤；故exx1x2A或UeBxx0xAeBU或，，故C正確；第1頁/共21頁UAB2，故D錯(cuò)誤.x1故選：C.3.若fxxa為偶函數(shù)，則a（）x112A.1B.0C.D.1【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義建立方程進(jìn)行求解即可．x1x10，得x1或x1，【詳解】由由f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)，x1x1得(xa(xa，x1x1x1x1即(xa(xa，x1x1x1x1x1x1(xa)1(xa即，x1x1x1x1則(xa(xa，x1x1由于不恒為0，所以xa1xa1，得a1，故選：Dab1c3，cosac,bc4.向量且abc0，則（）445D.A.B.C.5【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積及模長計(jì)算夾角即可.1cabc2a2b22abab【詳解】由已知可得，2又ac2ab,bcba，22abab2a5abb13142所以ac,bc.774a24abb2b24aba2第2頁/共21頁故選：A5.“sin0”是“sin2sin21”的（）A.充分不必要條件C.充要條件【答案】AB.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念，結(jié)合三角恒等式即可得結(jié)果.【詳解】若sin0，則sin，所以sin2sin2cos2sin21，即充分性成立；，即sincos，若sin2sin21，則sin22所以sin0不成立，所以“sin0”是“sin2sin1”的充分不必要條件，2故選：A.的前項(xiàng)和，若，，則（SaS45S6S2S86.記為等比數(shù)列nnnD.A.120B.85C.【答案】C【解析】S,S4【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．的關(guān)系即可解出；8【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為qana，1q1S5，與題意不符，所以0q1；若若，則4q1，則S6a32a3S0，與題意不符，所以q1；6112a1qa1q4a1q62S5SS可得，2111由，5，21①，461q1q1q由①可得，1q2q21，解得：q24，4a1q8a1q4S8111q4511685．所以1q1q第3頁/共21頁故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，qanS5SS，所以2q1，否則S40因?yàn)椋?，?6S,SS,SS,SS成等比數(shù)列，6從而，242648542S1S25S2SS225所以有，，解得：，2S12S,SS,SS,SS，即為S821，當(dāng)時(shí)，2426486S21648S85；8易知，，即54SS1234aa1q21qS0，22當(dāng)與時(shí)，2412S5矛盾，舍去．4故選：C．S,S4n的關(guān)8系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算．π3π3sinsin1，則cos（7.已知）32321A.B.C.D.232【答案】B【解析】π63【分析】已知等式利用兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡得sin，再利用誘導(dǎo)公式求3π3cos的值.π31333πcos3sin1，6【詳解】由sinsinsinsincossin2222π63π3ππ62π63得sin，所以sin.33故選：B第4頁/共21頁8.已知定義在R上的函數(shù)滿足fx，且，，fx22fxx12，1fxfxf2xafx0．若x1，恒成立，則a的取值范圍為（120）12122,0A.B.C.D.【答案】B【解析】fx2fx【分析】由得到fx2的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，再由，，1,0x12，1fxfx0fx在f2xafx0上單調(diào)遞增，再將，轉(zhuǎn)化為12得到12xaxaxxx1，然，fx1f2xafxa，從而有，即hxx1xx1，用導(dǎo)數(shù)法求得其最大值即可.后令，fx2fx【詳解】解：由，得，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．fx2fx0fx1,0f1fx2因?yàn)閤xxx，，，0．121212所以在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，fxfx,f2xafx10因?yàn)?，fx1f2xafxa所以所以，xax1，即ax1x，x1．hxx1xx1，令，1x12xx1hx1則．hxx2時(shí)，hx0，hx單調(diào)遞減，當(dāng)1x2時(shí)，hx0，單調(diào)遞增，當(dāng)a2．所以h22，所以hx故選：B4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.第5頁/共21頁9.已知ab，則（）lna21lnb2a3b3A.C.B.ab1111bD.22a【答案】BD【解析】yx1，b2yx3【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及取特殊值a，即可判斷A；根據(jù)冪函數(shù)的x1單調(diào)性即可判斷B；取特殊值a1，b=-1即可判斷C；根據(jù)指數(shù)函數(shù)y的單調(diào)性即可判斷D．2yx上單調(diào)遞增，在【詳解】對于A，由函數(shù)1，b2，此時(shí)a21b1，又ab，不妨取a2，故A錯(cuò)誤；a21b2所以yx3對于B，由函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又ab，所以a3b3，所以B正確；11對于C，由ab，不妨取a1，b=-1，此時(shí)1x，故C錯(cuò)誤；abab11對于D，由函數(shù)y在R上單調(diào)遞減，又ab，所以，故D正確．222故選：BD．π2fx2cosx10.已知函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)為1的圖象向左平移1個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的是（）fxgx1，將π4π4A.fx2cosxB.在區(qū)間fx9上單調(diào)遞增C.為奇函數(shù)gxD.若在區(qū)間上的值域?yàn)?,2，則a3．gxa【答案】BD【解析】第6頁/共21頁【分析】對于AB于CD，根據(jù)余弦型函數(shù)的定義域、值域的關(guān)系以及圖像與性質(zhì)得出結(jié)果．Tπ【詳解】設(shè)的最小正周期為T，由題意，，得T8，所以，fx11244π4π4所以fxxfx0在的圖象上，所以0，又點(diǎn)，πππ2π2π，kZ，所以，kZ，即424ππ，所以又，24π4π4對于A，因?yàn)閒x2cosx，故A錯(cuò)誤；πππ2πx2π，kZ，解得8k3x8k1，kZ，對于B，令44所以的單調(diào)遞增區(qū)間為8k8k1kZ，，fx當(dāng)k1時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，故B正確；5,9π4π4πg(shù)xfx1對于C，因?yàn)閤1x，4所以為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；gxππa44時(shí)，x,，如圖，2,2xagx對于D，當(dāng)，又的值域?yàn)?g02，x0當(dāng)時(shí)，a3πa3，故D正確．所以，解得44故選：BD.πAbABCAC，內(nèi)角B的平分線交于點(diǎn)11.在中，內(nèi)角，B，Cac所對的邊分別為，，，3第7頁/共21頁D且BD3，則下列結(jié)論正確的是（）111A.B.b的最小值是2acC.ac的最小值是43D.的面積最小值是3【答案】ABD【解析】ac【分析】由三角形面積公式尋找，關(guān)系，再利用基本不等式判斷．S△ABC△ABD△BCD【詳解】解：由題意得：，11212由角平分線以及面積公式得acsinasincsin，236611acac1，故A正確；化簡得，所以acac時(shí)取等號，acac2ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac2，ac4，123ac2時(shí)取等號，故D正確；所以SABCacsinac3，當(dāng)且僅當(dāng)4由余弦定理b2a2c22acABCa22cacac2acac2ac42344b2ac2所以b2，即的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B正確；11acac1，對于選項(xiàng)C：由得：ac11accaccac(ac)()1342423，acaa111a13aacca時(shí)取等號，故C錯(cuò)誤；當(dāng)且僅當(dāng)，即3c13c故選：ABD．12.定義在R上的函數(shù)滿足fx為偶函數(shù)，則（）fx2x2f1xff1xf1xf1x1xf0A.C.B.D.fx4fxf20230【答案】BC第8頁/共21頁【解析】【分析】由已知條件得到函數(shù)的奇偶性和對稱性，對選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證.fxfx2fx20詳解】由x2t，則有，ft0ft【，令即為奇函數(shù)，，f0fx0由f1x為偶函數(shù)，的對稱軸為fx，得，故B選項(xiàng)正確；f1xf1xx1fxf2x則有，可得fxf2xfxf2xf4x即有，所以是周期函數(shù)，且周期為4C選項(xiàng)正確；fx，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；f1xf1xf1xf1xA，已知條件不能得到的值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．f50641f2023f1f1f1故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．2log2x,x11213.已知函數(shù)fxff，則__________．4x,x1【答案】1【解析】【分析】代入計(jì)算即可．2log2x,x112【詳解】由函數(shù)fxff，有f21.4x,x1故答案為：1sin223________．14.已知向量a(cos,2)，bsin)，且ab，則24【答案】【解析】2312tan【分析】根據(jù)向量垂直可得，即可弦切互化求解.12sin0tan【詳解】由ab可得，2第9頁/共21頁sin2sincos2tan1434所以223223cos23sin1253tan223，54故答案為：2314,則AB邊上的中線長為__________．15.在銳角三角形，AB2，且tanAtanBtanC【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件整理得sin2C4sinAsinBC，再利用正弦定理和余弦定理得到3a2b2c22，進(jìn)而利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求得CD，由此得解.2114AB4cosC【詳解】因?yàn)椋?，tanAtanBtanCsinABAsinB4cosCsinAsinBsinCsinAB4cosCsinC整理得，即，sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinAsinB4cosC4sinAsinBC，即，即sin2CsinCabc2R，可得c4abC，由正弦定理2sinAsinBsinCCa2b2c2，又由余弦定理得33122，即c22a2b2c2a2b2c22abCa2b2c2c2c2c，所以，則2211222假設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則CDCACB，所以CDCACBCACB，24113421111b2a2abCcccAB22，則CD222222242222所以CD2.故答案為：2.16.已知直線l與曲線yex1和yln(x都相切，請寫出符合條件的兩條直線l的方程：______，第10頁/共21頁______．【答案】【解析】1e1eyxy②.x①.【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用切點(diǎn)求出切線方程，聯(lián)立方程求出切點(diǎn)處的值，代入求出切線方程.1x1yex1，yln(x，所以yex1，y，【詳解】因?yàn)?設(shè)直線l與曲線yex1和yln(x分別切于點(diǎn)x,e11，x,lnx1，121ye11xxe11yxxx1，所以切線方程分別為，121221221x1，2ye11xxe11e11yx即，1211e11x11x1因此，則，212xe11e1122又，2111x221xe11e1122所以，1212121x10化簡得，212x0xe1解得或，22yxx0當(dāng)當(dāng)時(shí)，切線方程為，211xe12yx時(shí)，切線方程為.ee11eyxyx故答案為：，.e四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．a(chǎn)}a1a2a，的等差中項(xiàng)．317.設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為na}（1）求（2）若的公比；na11na}n的前項(xiàng)和．，求數(shù)列n第11頁/共21頁1n)(2)nS【答案】（1）22）n.9【解析】q1）由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；a}na}的通項(xiàng)公式特征，用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)論.n（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項(xiàng)，根據(jù)nq的公比為，a}a1a,a1）設(shè)為的等差中項(xiàng)，n232aaa,aqq20，21231qq2；na}n的前項(xiàng)和為Saa(2)n1，，1n（2）設(shè)nnSn112(2)3(2)n(2)n1，①22Sn1(2)2(2)23(2)3(n2)n1n(2)n，②②得，Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)n①1(2)n1n)(2)nn(2)n，1(2)31n)(2)nSn.9【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.-ABCAA13ABC1AABB平面．1118.如圖，直三棱柱中，，平面111（1）求證：；ACB（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析第12頁/共21頁44226（2）【解析】1BADABCADBC1）過點(diǎn)A作，根據(jù)題意證得平面，得到，再由三棱柱1-ABC1AABB，即可1為直三棱柱，證得；，利用線面垂直的判定定理，證得平面1111得到AACABC的一個(gè)法向量1（2）以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面n0)和m(0,3,2)，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】1B如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，ABCAABBABCAAB因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，?111111且AD平面AABB，所以ADABC平面111BCABC1ADBC，又因?yàn)槠矫?，所?ABCAA1，由三棱柱為直三棱柱，可得平面111BC，所以，1因?yàn)槠矫鍭DAA1AAD,AA1AABBAABB平面，11又因?yàn)椋移矫妫?1AABB，所以.因?yàn)锳B平面11【小問2詳解】BC,,xyz所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)如圖所示，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以1系，如圖所示，因?yàn)?，可得(0,0),B(0,0),C(2,0),1(0,，1第13頁/共21頁則AA(0,AC(2,0),BA(0,BC(2,0,0),11的法向量為(x,y,z)，則nAA3z01，AAC設(shè)平面nAC2x2y0x1，可得yz0，所以，取n0)mbc0ABCm(a,b,c)，則設(shè)平面的法向量為1，1m2a0取b3，可得ac2，所以m(0,2)，mn33,n則，mn21326344226ACB的平面角為設(shè)二面角即二面角為銳角，可得，所以sin，26442ACB的正弦值為.2619.已知函數(shù)f(x)（1）求常數(shù)m的值；2x23sinxxsinxm的最大值為1.2x215πxf0cos2x的值.0（2）若，，求03【答案】（1）m173（2）【解析】π6fx2x1）根據(jù)輔助角公式化簡可得m，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出第14頁/共21頁答案；π635π645sinxx（2）根據(jù)已知可得出，，然后根據(jù)二倍角公式得出00π6π6sin2x,cos2x的值，根據(jù)兩角差的余弦公式，即可得出答案.00【小問1詳解】13fxcos2xsin2xm3sin2xm2cos2x22π62xm，πππ2x2π,kZx2π,kZfx，2m1當(dāng)，即時(shí)，626所以m1.【小問2詳解】π6fx2x由（1）知，1.x2150π15π63f021sinx由得，，所以.0265πxπππ62x,又，所以，0036π6π642x所以所以x1sin，005π6ππ24625sin2xxx，0006π6π6257cos2x12x0，0ππ631π63π6cos2x2xcos2xsin2x所以000022173247243.225225的前項(xiàng)積為，且1.nn50annn20.已知數(shù)列第15頁/共21頁1（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；Tn2132n1n34（2）證明：.12n【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】111）根據(jù)等差數(shù)列的定義，為定值即可證明.nn1ann1n（2）由結(jié)合（1）求T的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得，再把化簡代入求值，從而即可證明.ann【小問1詳解】由數(shù)列的前項(xiàng)積為，得aT1，又，nnanTnTaaaann12nnnn1111n1，整理得T(n1，即1所以，當(dāng)n2時(shí)，，n1n1n111為定值，所以，當(dāng)n2時(shí)，nn11.所以數(shù)列是等差數(shù)列Tn【小問2詳解】121aT1n1，得aT1a2，因?yàn)椋?，，故nn111T11結(jié)合（1）可知，是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，1Tn11n1n1，得.n所以n1nn1nn1n1所以，當(dāng)n2時(shí)，an，1n1a1顯然符合上式，2第16頁/共21頁nn1a所以所以.nn1nn1n1112nn21n2n1，nnn2nn12132n1n故12n1111111111112132242n1n12nn2111113111.212n1n242n1n2110，因?yàn)閚N*，n1n22132n1n311134所以12n42n1n2Abb2cac.21.在中，，B，Cac所對的邊分別為，，，已知aπ（1）若B，求的值；c3（2）若是銳角三角形，求3sinB2C的取值范圍.2a2【答案】（1）c（2）33【解析】1）根據(jù)題意利用余弦定理即可求解.BC3sinB2C（2）先利用余弦定理、正弦定理、兩角和差公式得，再把2化簡到同一個(gè)角的三角函數(shù)，最后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定取值范圍.【小問1詳解】π中，B，據(jù)余弦定理可得b2a2c22acBac2ac，2在3又b2c2ac，故a2acac，即2a2ac，aa0ac2.又，故，得c【小問2詳解】第17頁/共21頁在中，據(jù)余弦定理可得b2a2c22acB，ac2acB，又b2c2ac，故a2c22acBc2，即a2a0a2cBc.又，故acsinA2sinCBsinC據(jù)正弦定理，可得，sinAsinCsinπBC2sinCBsinC，所以sinBC2sinCBsinC，sinBCBsinC2sinCBsinC即，所以sinBcosCBsinCsinCsinBCsinC，,B,Cπ，所以，BCππBCCπ，BCC因?yàn)?，或即BC或Bπ（舍）.π63sinB22C3sinC2C12sinC1.所以π0AπC,2πππ0BC,C因?yàn)槭卿J角三角形，所以得，264π0C,23ππ2ππ6CsinC,1，所以，故2632π62sinC133，C的取值范圍是33.所以3sinB221f(x)(xxg(x)ax2x22.已知函數(shù)（1）求證：（2）若函數(shù)．2fx12x1；h(x)f(x)g(x)在(0,)a上存在最大值，求的取值范圍．【答案