試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第19課利用導數證明不等式學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·浙江·杭州高級中學模擬預測）已知數列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結論中錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】解：A.由題得SKIPIF1<0所以該選項正確；B.由題得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，也滿足，所以SKIPIF1<0，所以該選項正確；C.由前面得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0也適合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以該選項正確；D.SKIPIF1<0,所以該選項錯誤.故選：D2．（2022·湖北·鄂南高中模擬預測）下列大小比較中，錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】解：對于選項D,構造函數SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0單調遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0單調遞減.所以SKIPIF1<0.（當且僅當SKIPIF1<0時取等）則令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以選項D錯誤；對于選項A，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以選項A正確；對于選項B,在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以選項B正確；對于選項C,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以選項C正確.故選：D3．（2022·河北衡水中學一模）已知實數SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為自然對數的底數，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，且SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0.故選：D4．（2022·福建福州·高三期末）設函數SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．函數SKIPIF1<0有極大值為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】A【解析】A.SKIPIF1<0，故正確；B.求導SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，函數SKIPIF1<0有極小值為SKIPIF1<0，故錯誤；C.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故無最小值，故錯誤；D.SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由B知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的大小不確定，故無法判斷SKIPIF1<0的大小，故錯誤；故選：A5．（多選）（2022·湖南·模擬預測）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列結論一定正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，A正確；由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以選項B錯誤；由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，所以選項C正確．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D錯誤，故選：AC．6．（2022·河北滄州·二模）已知實數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，選項SKIPIF1<0錯誤；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，選項SKIPIF1<0正確，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，選項SKIPIF1<0正確.故選：BCD7．（2022·北京市第九中學模擬預測）已知SKIPIF1<0．(1)當SKIPIF1<0時，判斷函數SKIPIF1<0零點的個數；(2)求證：SKIPIF1<0.【解】(1)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取“=”，所以SKIPIF1<0在R上單調遞增，而SKIPIF1<0，即0是SKIPIF1<0的唯一零點，所以函數SKIPIF1<0零點的個數是1.(2)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立.8．（2022·山東泰安·模擬預測）已知函數SKIPIF1<0.(1)若函數SKIPIF1<0，討論SKIPIF1<0的單調性.(2)若函數SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【解】(1)解：因為，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增.當SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調遞減；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調遞增.綜上所述：當SKIPIF1<0時，f(x)在SKIPIF1<0上單調遞增;當SKIPIF1<0時,f(x)在(0,1-a)上單調遞減，在(1-a,+SKIPIF1<0)上單調遞增；(2)證明：SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞增.所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞增.因此SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中的等號不成立，故SKIPIF1<0.9．（2022·湖南·雅禮中學二模）已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的最大值；(2)求證：（i）存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；（ii）當存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0.【解】(1)法一：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減.SKIPIF1<0.法二：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上均為減函數，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調遞減.SKIPIF1<0.(2)過SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減.（i）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減，則SKIPIF1<0，這與SKIPIF1<0矛盾，不符題意；同理可證，當SKIPIF1<0時不符題意.SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（ii）要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減，SKIPIF1<0式得證，故SKIPIF1<0.10．（2022·山東省實驗中學模擬預測）已知函數SKIPIF1<0．(1)求函數SKIPIF1<0的最大值；(2)若關于x的方程SKIPIF1<0有實數根，求實數k的取值范圍；(3)證明：SKIPIF1<0．【解】(1)SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減所以SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最大值1．(2)依題意，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，在SKIPIF1<0上單調遞減，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0有解，有SKIPIF1<0，所以實數k的取值范圍是SKIPIF1<0.(3)由（1）知SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，因此當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．11．（2022·天津市咸水沽第一中學模擬預測）已知函數SKIPIF1<0……自然對數底數）.(1)當SKIPIF1<0時，求函數f（x）的單調區(qū)間；(2)當SKIPIF1<0時，（i）證明：SKIPIF1<0存在唯一的極值點：（ii）證明：SKIPIF1<0【解】(1)SKIPIF1<0，構建SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減，且SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0則函數SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0(2)（i）由（1）可知：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞減SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內存在唯一的零點SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0則函數SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，單調遞減區(qū)間為SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0存在唯一的極值點SKIPIF1<0（ii）由（i）可知：SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減則SKIPIF1<0構建SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時恒成立則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0【素養(yǎng)提升】1．（2022·重慶八中高三階段練習）已知SKIPIF1<0為常數，函數SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,由題意可得SKIPIF1<0有兩個實數解SKIPIF1<0；所以函數SKIPIF1<0有且只有兩個零點SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.①當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0單調遞增,因此SKIPIF1<0至多有一個零點,不符合題意,應舍去；②當SKIPIF1<0時,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,因為當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,函數SKIPIF1<0單調遞增;當SKIPIF1<0時,

SKIPIF1<0,函數SKIPIF1<0單調遞減,所以SKIPIF1<0是函數SKIPIF1<0的極大值點,則SKIPIF1<0>0,即SKIPIF1<0>0,解得SKIPIF1<0，故選項A正確；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項C正確；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項D錯誤；當SKIPIF1<0時（符合SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0仍有兩個極值點），此時SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正負不確定，因此選項B錯誤；綜上所述，AC為正確答案；故選：AC.2．（2022·浙江·樂清市知臨中學模擬預測）已知函數SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的極值點．(2)若有且僅有兩個不相等的實數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（i）求k的取值范圍（ⅱ）證明SKIPIF1<0．【解】(1)函數SKIPIF1<0的導函數為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0單調遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0單調遞增.所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的極值點.(2)因為有且僅有兩個不相等的實數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（i）問題轉化為SKIPIF1<0在(0,+∞)內有兩個零點,則SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調遞減；當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0單調遞增.若SKIPIF1<0有兩個零點,則必有SKIPIF1<0,解得：SKIPIF1<0.若k≥0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,無法保證SKIPIF1<0有兩個零點；若SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0,存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0.綜上可知,SKIPIF1<0.（ⅱ）設SKIPIF1<0則t∈(1,+∞).將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（*）.欲證:SKIPIF1<0，需證SKIPIF1<0即證SKIPIF1<0，將（*）代入，則有SKIPIF1<0，則只需要證明：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.構造SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內單減.又SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增；當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0