八年級(jí)上學(xué)期較難題目部分節(jié)選（2）一．選擇題（共6小題）1．（2016?宜賓期末）如圖，點(diǎn)D、E、F是邊BC、AC、AB上的點(diǎn)，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于（）（第1題）（第2題）（第3題）A．180° B．240° C．360° D．540°2．（2016?遷安月考）如圖△ABC中，∠A=96°，延長(zhǎng)BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)A1∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，依此類推，∠A4BC與∠A4CD的平分線相交于點(diǎn)A5，則∠A5度數(shù)為（）A．° B．8° C．6° D．3°3．（2016春?沭陽(yáng)縣校級(jí)期中）如圖，∠MAN=100°，點(diǎn)B、C是射線AM、AN上的動(dòng)點(diǎn)，∠ACB的平分線和∠MBC的平分線所在直線相交于點(diǎn)D，則∠BDC的大?。ǎ〢．40° B．50°C．80° D．隨點(diǎn)B、C的移動(dòng)而變化4．（2016春?成都校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠A=α°，延長(zhǎng)BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，依此類推，∠An﹣1BC與∠An﹣1CD的平分線相交于點(diǎn)An，則∠An的度數(shù)為（）（第4題）（第5題）（第6題）A． B． C． D．5．（2016春?灌云縣月考）如圖，在△ABC中，∠A=80，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2015BC的平分線與∠A2015CD的平分線交于點(diǎn)A2016，得∠A2016CD，則∠A2016=（）A．80?2﹣2014 B．80?2﹣2015 C．80?2﹣2016 D．80?2﹣20176．（2016?山西模擬）如圖，在六邊形ABCDEF中，∠A+∠B+∠C+∠D=460°，F(xiàn)P、EP分別平分∠AFE，∠FED，則∠P的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°二．填空題（共5小題）7．（2016?貴港二模）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，…∠An﹣1BC的平行線與∠An﹣1CD的平分線交于點(diǎn)An，設(shè)∠A=θ，則∠An=______．（7題）（8題）（9題）8．（2016春?惠山區(qū)期中）把一副常用的三角板如圖所示拼在一起，點(diǎn)B在AE上，那么圖中∠ABC=______．9．（2016春?江陰市月考）如圖，把一副常用的三角板如圖所示拼在一起，那么圖中∠ABF=______．10．（2016春?工業(yè)園區(qū)期中）已知a、b、c為△ABC的三邊，化簡(jiǎn)：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|=______．11．（2015春?吉安校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的中線，AB=8cm，△ABD與△ACD的周長(zhǎng)差為2cm，則AC=______cm．（第11題）三．解答題（共8小題）12．（2016春?吳中區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠AOB=90°，點(diǎn)C、D分別在射線OA、OB上，CE是∠ACD的平分線，CE的反向延長(zhǎng)線與∠CDO的平分線交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)∠OCD=50°（圖1），試求∠F．（2）當(dāng)C、D在射線OA、OB上任意移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)O重合）（圖2），∠F的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，求出∠F．13．（2016春?潮南區(qū)期末）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD⊥BC于D；（1）如果點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如圖1，求∠EFD的度數(shù)；（2）如果點(diǎn)F在線段AE上（不與點(diǎn)A重合），如圖2，問(wèn)∠EFD與∠C﹣∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（3）如果點(diǎn)F在△ABC外部，如圖3，此時(shí)∠EFD與∠C﹣∠B的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2016春?睢寧縣期末）如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A1，（1）當(dāng)∠A為70°時(shí)，則∠A1的度數(shù)是______°；當(dāng)∠A=90°時(shí)，∠A1的度數(shù)是______°；（2）①探索∠A與∠A1之間數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；②若∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交于A2，∠A2BC與A2CD的平分線交于A3，如此繼續(xù)下去可得A4、…、An，請(qǐng)你直接寫出∠An與∠A的數(shù)量關(guān)系______；（3）如圖，若E為BA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，∠Q+∠A1的值是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)名理由；若不變，請(qǐng)求出其值．15．（2016春?蘇州校級(jí)月考）已知△ABC中，∠A=30°．（1）如圖①，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC=______°．（2）如圖②，∠ABC、∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2，則∠BO2C=______°．（3）如圖③，∠ABC、∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2…On﹣1（內(nèi)部有n﹣1個(gè)點(diǎn)），求∠BOn﹣1C（用n的代數(shù)式表示）．（4）如圖③，已知∠ABC、∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=60°，求n的值．16．（2016春?吳中區(qū)期中）（1）數(shù)學(xué)課上老師提出如下問(wèn)題：如圖，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點(diǎn)C落在∠MON的內(nèi)部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點(diǎn)D和點(diǎn)B．①填空：∠OBC+∠ODC=______；②若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM（如圖1），試說(shuō)明DE⊥BF．請(qǐng)你完成上述問(wèn)題．（2）課后小佳和小芳對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了進(jìn)一步研究，若把DE平分∠ODC改為DG分別平分∠ODC的外角，其他條件不變（如圖2），小佳和小芳發(fā)現(xiàn)BF與DG的位置關(guān)系發(fā)生了變化，請(qǐng)你判斷BF與DG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．17．（2016春?惠安縣期末）請(qǐng)你參與下面探究過(guò)程，完成所提出的問(wèn)題．（1）探究1：如圖1，P是△ABC的內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線BP和CP的交點(diǎn)，若∠A=70°，則∠BPC=______度；（2）探究2：如圖2，P是△ABC的外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BP和CP的交點(diǎn)，求∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（3）拓展：如圖3，P是四邊形ABCD的外角∠EBC與∠BCF的平分線BP和CP的交點(diǎn)，設(shè)∠A+∠D=α．①直接寫出∠BPC與α的數(shù)量關(guān)系；②根據(jù)α的值的情況，判斷△BPC的形狀（按角分類）．18．（2015春?東臺(tái)市期末）Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖①所示，且∠α=50°，則∠1+∠2=______°；（2）若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖②所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為______；（3）如圖③，若點(diǎn)P在斜邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)（CE＜CD），請(qǐng)寫出∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系式，并說(shuō)明理由．19．（2016春?閔行區(qū)期末）（1）閱讀并填空：如圖①，BD、CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC、∠ACB的平分線．試說(shuō)明∠D=90°+∠A的理由．解：因?yàn)锽D平分∠ABC（已知），所以∠1=______（角平分線定義）．同理：∠2=______．因?yàn)椤螦+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，（______），所以______（等式性質(zhì)）．即：∠D=90°+∠A．（2）探究，請(qǐng)直接寫出結(jié)果，無(wú)需說(shuō)理過(guò)程：（i）如圖②，BD、CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC、∠FCB的平分線．試探究∠D與∠A之間的等量關(guān)系．答：∠D與∠A之間的等量關(guān)系是______．（ii）如圖③，BD、CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線．試探究∠D與∠A之間的等量關(guān)系．答：∠D與∠A之間的等量關(guān)系是______．（3）如圖④，△ABC中，∠A=90°，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分線．試說(shuō)明DC=CF的理由．

2016年09月29日wjm的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．（2016春?宜賓期末）如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的邊BC、AC、AB上的點(diǎn)，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于（）A．180° B．240° C．360° D．540°【分析】利用三角形的外角的性質(zhì)把這六個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)四邊形中，即可求得結(jié)果．【解答】解：不妨設(shè)AD和CF交于點(diǎn)M，BE和CF交于點(diǎn)N，則∠AMC=∠2+∠3，∠ENF=∠1+∠6，而∠AMC+∠ENF+∠4+∠5=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．故選（C）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把六個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)四邊形中．2．（2016春?遷安市月考）如圖△ABC中，∠A=96°，延長(zhǎng)BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)A1∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，依此類推，∠A4BC與∠A4CD的平分線相交于點(diǎn)A5，則∠A5的度數(shù)為（）A．° B．8° C．6° D．3°【分析】利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)計(jì)算．【解答】解：∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD，2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，所以2（∠BA1C+∠A1BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC而2∠A1BC=∠ABC，所以2∠BA1C=∠BAC．同理，可得2∠BA2C=∠BA1C，2∠BA3C=∠BA2C，2∠BA4C=∠BA3C，2∠BA5C=∠BA4C，所以∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=∠BA1C=∠BAC=96°÷32=3°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查角平分線的定義和三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)，有點(diǎn)難度．3．（2016春?沭陽(yáng)縣校級(jí)期中）如圖，∠MAN=100°，點(diǎn)B、C是射線AM、AN上的動(dòng)點(diǎn)，∠ACB的平分線和∠MBC的平分線所在直線相交于點(diǎn)D，則∠BDC的大?。ǎ〢．40° B．50°C．80° D．隨點(diǎn)B、C的移動(dòng)而變化【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠CBE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB，求出∠A=2∠D，即可求出答案．【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，∴∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠CBE，∵∠MBC=2∠CBE=∠A+∠ACB，∠CBE=∠D+∠DCB，∴2∠CBE=∠D+∠DCB，∴∠MBC=2∠D+∠ACB，∴2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB，∴∠A=2∠D，∵∠A=100°，∴∠D=50°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角性質(zhì)和角平分線定義的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出∠A=2∠D．4．（2016春?成都校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠A=α°，延長(zhǎng)BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于點(diǎn)A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，依此類推，∠An﹣1BC與∠An﹣1CD的平分線相交于點(diǎn)An，則∠An的度數(shù)為（）A． B． C． D．【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此找出規(guī)律．【解答】解：∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1=α，∴∠A1=α°，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2=α°，∴∠A2=α°，∴∠A=2n∠An，∴∠An=α°?（）n=（）°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．也考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線性質(zhì)，難度適中．5．（2016春?灌云縣月考）如圖，在△ABC中，∠A=80，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2，…，∠A2015BC的平分線與∠A2015CD的平分線交于點(diǎn)A2016，得∠A2016CD，則∠A2016=（）A．80?2﹣2014 B．80?2﹣2015 C．80?2﹣2016 D．80?2﹣2017【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，然后整理得到∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1，從而判斷出后一個(gè)角是前一個(gè)角的，然后表示出，∠An即可．【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC，∴∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1=，…，∠An=．所以∠A2016==80?2﹣2016．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的是解題的關(guān)鍵．6．（2016?山西模擬）如圖，在六邊形ABCDEF中，∠A+∠B+∠C+∠D=460°，F(xiàn)P、EP分別平分∠AFE，∠FED，則∠P的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】首先求得六邊形的內(nèi)角和，則∠AFE與∠DEF的和即可求得，然后根據(jù)角平分線的定義求得∠PEF+∠PFE，然后在△PEF中利用三角形內(nèi)角和定理求解．【解答】解：六邊形的內(nèi)角和是：（6﹣2）×180°=720°，則∠PEF+∠PFE=720°﹣（∠A+∠B+∠C+∠D）=720°﹣460°=260°，∵FP、EP分別平分∠AFE，∠FED，∠PEF+∠PFE=（∠PEF+∠PFE）=×260°=130°，在△PEF中，∠P=180°﹣（∠PEF+∠PFE）=180°﹣130°=50°．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，以及角平分線的定義，正確求得∠PEF+∠PFE是關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）7．（2016?貴港二模）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，…∠An﹣1BC的平行線與∠An﹣1CD的平分線交于點(diǎn)An，設(shè)∠A=θ，則∠An=．【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，然后整理得到∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1，從而判斷出后一個(gè)角是前一個(gè)角的，然后表示出，∠An即可．【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，∴∠A1+∠A1BC=（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC，∴∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1==，…，∠An=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的是解題的關(guān)鍵．8．（2016春?惠山區(qū)期中）把一副常用的三角板如圖所示拼在一起，點(diǎn)B在AE上，那么圖中∠ABC=75°．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可求出∠ABC=180°﹣（∠BAC+∠BCA）=75°．【解答】解：根據(jù)題意得：∠ABC=180°﹣（∠BAC+∠BCA）=75°．故答案為：75°【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理和三角板的度數(shù)．知道三角板各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．（2016春?江陰市月考）如圖，把一副常用的三角板如圖所示拼在一起，那么圖中∠ABF=15°．【分析】根據(jù)常用的三角板的特點(diǎn)求出∠EAD和∠BFD的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：由一副常用的三角板的特點(diǎn)可知，∠EAD=45°，∠BFD=30°，∴∠ABF=∠EAD﹣∠BFD=15°，故答案為：15°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．10．（2016春?工業(yè)園區(qū)期中）已知a、b、c為△ABC的三邊，化簡(jiǎn)：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|=﹣a+3b﹣c．【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，來(lái)判定絕對(duì)值里的式子的正負(fù)值，然后去絕對(duì)值進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|，=（a+b﹣c）+（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c），=a+b﹣c﹣a+b+c﹣a+b﹣c，=﹣a+3b﹣c，故答案為：﹣a+3b﹣c．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，以及絕對(duì)值的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三邊關(guān)系定理．11．（2015春?吉安校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的中線，AB=8cm，△ABD與△ACD的周長(zhǎng)差為2cm，則AC=6cm．【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得BD=CD，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD，∴△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，∵AB=8cm，△ABD與△ACD的周長(zhǎng)差為2cm，∴8﹣AC=2，∴AC=6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高線，熟記概念并求出兩三角形周長(zhǎng)的差等于AB﹣AC是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題）12．（2016春?吳中區(qū)校級(jí)期末）如圖，∠AOB=90°，點(diǎn)C、D分別在射線OA、OB上，CE是∠ACD的平分線，CE的反向延長(zhǎng)線與∠CDO的平分線交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)∠OCD=50°（圖1），試求∠F．（2）當(dāng)C、D在射線OA、OB上任意移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)O重合）（圖2），∠F的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，求出∠F．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，可求∠CDO=40°，所以∠CDF=20°，又由平角定義，可求∠ACD=130°，所以∠ECD=65°，又根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，可求∠ECD=∠F+∠CDF，∠F=45度．（2）同理可證，∠F=45度．【解答】解：（1）∵∠AOB=90°∠OCD=50°，∴∠CDO=40°．∵CE是∠ACD的平分線DF是∠CDO的平分線，∴∠ECD=65°∠CDF=20°．∵∠ECD=∠F+∠CDF，∴∠F=45°．（2）不變化，∠F=45°．∵∠AOB=90°，∴∠CDO=90°﹣∠OCD∠ACD=180°﹣∠OCD．∵CE是∠ACD的平分線DF是∠CDO的平分線，∴∠ECD=90°﹣∠OCD∠CDF=45°﹣∠OCD．∵∠ECD=∠F+∠CDF，∴∠F=45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，以及三角形的內(nèi)角和是180°的定理．題目難度由淺入深，由特例到一般，是學(xué)生練習(xí)提高的必備題．13．（2016春?潮南區(qū)期末）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD⊥BC于D；（1）如果點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如圖1，求∠EFD的度數(shù)；（2）如果點(diǎn)F在線段AE上（不與點(diǎn)A重合），如圖2，問(wèn)∠EFD與∠C﹣∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（3）如果點(diǎn)F在△ABC外部，如圖3，此時(shí)∠EFD與∠C﹣∠B的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分線的性質(zhì)易得∠EAC的度數(shù)，可得∠EFD；（2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出∠BAE=90°﹣（∠C+∠B），外角的性質(zhì)得出∠AEC=90°+（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形內(nèi)角和定理可得∠EFD；（3）與（2）的方法相同．【解答】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=50°．在△ACE中∠AEC=80°，在Rt△ADE中∠EFD=90°﹣80°=10°．（2）∠EFD=（∠C﹣∠B）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE==90°﹣（∠C+∠B）∵∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C）∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°．∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）∴∠EFD=（∠C﹣∠B）（3）∠EFD=（∠C﹣∠B）．如圖，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=．∵∠DEF為△ABE的外角，∴∠DEF=∠B+=90°+（∠B﹣∠C），∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°．∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．14．（2016春?睢寧縣期末）如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A1，（1）當(dāng)∠A為70°時(shí)，則∠A1的度數(shù)是35°；當(dāng)∠A=90°時(shí)，∠A1的度數(shù)是45°；（2）①探索∠A與∠A1之間數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；②若∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交于A2，∠A2BC與A2CD的平分線交于A3，如此繼續(xù)下去可得A4、…、An，請(qǐng)你直接寫出∠An與∠A的數(shù)量關(guān)系∠An=∠A；（3）如圖，若E為BA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，∠Q+∠A1的值是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)名理由；若不變，請(qǐng)求出其值．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；（2）①同（1），②由三角形的外角性質(zhì)易知：∠A=∠ACD﹣∠ABC，∠A1=∠A1CD﹣∠A1BC，而∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A1，可得∠A1=（∠ACD﹣∠ABC）=∠A；根據(jù)上面的思路可知：∠A2=∠A1=∠A，…∠An=∠A，根據(jù)這個(gè)規(guī)律進(jìn)行求解即可．（3）依然要用三角形的外角性質(zhì)求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形內(nèi)角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的關(guān)系．【解答】解：（1）∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=70°，∴∠A1=35°∵∠A=90°，∴∠A1=45°；故答案為：35，45；（2）①∵A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A；②同②可求得：∠A2=∠A1=∠A，∠A3=∠A2=∠A，…依此類推，∠An=∠A；故答案為：∠An=∠A；（3）△ABC中，由三角形的外角性質(zhì)知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；即：2∠A1=2（180°﹣∠Q），化簡(jiǎn)得：∠A1+∠Q=180°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是三角形的外角性質(zhì)，還涉及到角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，難度適中．15．（2016春?閔行區(qū)期末）（1）閱讀并填空：如圖①，BD、CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC、∠ACB的平分線．試說(shuō)明∠D=90°+∠A的理由．解：因?yàn)锽D平分∠ABC（已知），所以∠1=∠ABC（角平分線定義）．同理：∠2=∠ACB．因?yàn)椤螦+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，（三角形的內(nèi)角和等于180°），所以∠D=180°﹣（∠ABC+∠ACB）（等式性質(zhì)）．即：∠D=90°+∠A．（2）探究，請(qǐng)直接寫出結(jié)果，無(wú)需說(shuō)理過(guò)程：（i）如圖②，BD、CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC、∠FCB的平分線．試探究∠D與∠A之間的等量關(guān)系．答：∠D與∠A之間的等量關(guān)系是∠D=90°﹣∠A．（ii）如圖③，BD、CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線．試探究∠D與∠A之間的等量關(guān)系．答：∠D與∠A之間的等量關(guān)系是∠D=∠A．（3）如圖④，△ABC中，∠A=90°，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分線．試說(shuō)明DC=CF的理由．【分析】（1）、（2）、（3）關(guān)鍵“三角形的一個(gè)內(nèi)角等于和它不相鄰的兩個(gè)外角的和”、“三角形的內(nèi)角和等于180°”及等式的性質(zhì)分析求解．（4）利用前三個(gè)小題的結(jié)論，證明∠D=∠DFC即可．【解答】（1）解：因?yàn)锽D平分∠ABC（已知），所以∠1=∠ABC（角平分線定義）．同理：∠2=∠ACB．因?yàn)椤螦+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°（三角形的內(nèi)角和等于180°），所以∠D=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A（等式性質(zhì)）．即：∠D=90°+∠A．（2）解：（i）∠D與∠A之間的等量關(guān)系是：∠D=90°﹣∠A．理由：∵BD、CD分別是△ABC的兩個(gè)外角∠EBC、∠FCB的平分線，∴∠EBD=∠DBC，∠BCD=∠DCF，∴∠DBC+∠DCB+∠D=180°，∴∠A+∠ABC+∠ACB=180°，而∠ABC=180°﹣2∠DBC，∠ACB=180°﹣2∠DCB，∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB=180°，∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）=﹣180°，∴∠A﹣2（180°﹣∠D）=﹣180°，∴∠A﹣2∠D=180°，∴∠D=90°﹣（ii）∠D與∠A之間的等量關(guān)系是：∠D=∠A．理由：∵BD、CD分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角∠ABC和一個(gè)外角∠ACE的平分線，∴∠DCE=∠DBC+∠D，∵∠A+2∠DBC=2∠DCE∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D∴∠A=2∠D即：∠D=（3）解：因?yàn)锽D平分∠ABC（已知），所以∠DBC=∠ABC（角平分線定義）．同理：∠ACF=∠ACB，∠DCA=∠DCE=∠ACE．∵∠ACE=∠ABC+∠A，∠DCE=∠DBC+∠D（三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)不相鄰的內(nèi)角和），∴∠D=∠DCE﹣∠DBC=（∠ACE﹣∠ABC）=∠A．又∵∠A=90°（已知），∴∠D=45°（等式性質(zhì)）．∵∠ACB+∠ACE=180°（平角的定義），∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=（∠BCA+∠ACE）=90°．∵∠D+∠DFC+∠FCD=180°（三角形的內(nèi)角和等于180°），∴∠DFC=45°（等式性質(zhì)）．∴∠D=∠DFC（等量代換）．∴DC=FC．（等角對(duì)等邊）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記三角形外角性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．16．（2016春?吳中區(qū)期中）（1）數(shù)學(xué)課上老師提出如下問(wèn)題：如圖，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點(diǎn)C落在∠MON的內(nèi)部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點(diǎn)D和點(diǎn)B．①填空：∠OBC+∠ODC=180°；②若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM（如圖1），試說(shuō)明DE⊥BF．請(qǐng)你完成上述問(wèn)題．（2）課后小佳和小芳對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了進(jìn)一步研究，若把DE平分∠ODC改為DG分別平分∠ODC的外角，其他條件不變（如圖2），小佳和小芳發(fā)現(xiàn)BF與DG的位置關(guān)系發(fā)生了變化，請(qǐng)你判斷BF與DG的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）①根據(jù)四邊形的性質(zhì)，可得答案；②根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得∠CBM=∠ODC，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠DBC+∠BDC=90，根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)，可得∠NDC+∠CBM=180，根據(jù)角的和差，可得∴∠DBC+∠BDC+∠GDC+∠FBC=180°，根據(jù)平行線的判定，可得答案．【解答】解：（1）①由四邊形內(nèi)角的性質(zhì)，得∠OBC+∠ODC=180°，故答案為：180．②如圖1，延長(zhǎng)DE交BF于G，∵∠ODC+∠OBC=∠CBM+∠OBC=180，∴∠CBM=∠ODC，∠CBM=∠EBG=∠ODC=∠EDC．∵∠BEG=∠DEC，∴△DEC∽△BEG，∴∠BGE=∠DCE=90所以DE垂直BE（2）平行，理由如下：連接BD，如圖2，∵∠BCD=90°，∴∠DBC+∠BDC=90°．∵∠ODC=∠CBM，∠NDC+∠ODC=180°，∠NDC+∠CBM=180°，∵∠GDC+∠FBC=∠NDC+∠CBM=90°，∴∠DBC+∠BDC+∠GDC+∠FBC=180°，即∠DBF+∠BDG=180°，∴DG∥BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵；利用補(bǔ)角的性質(zhì)得出∠NDC+∠CBM=180°是解題關(guān)鍵．17．（2016春?蘇州校級(jí)月考）已知△ABC中，∠A=30°．（1）如圖①，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC=105°．（2）如圖②，∠ABC、∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2，則∠BO2C=80°．（3）如圖③，∠ABC、∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2…On﹣1（內(nèi)部有n﹣1個(gè)點(diǎn)），求∠BOn﹣1C（用n的代數(shù)式表示）．（4）如圖③，已知∠ABC、∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=60°，求n的值．【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)三等分線的定義求得∠O2BC+∠O2CB，即可求出∠BO2C．（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)n等分線的定義求得∠On﹣1BC+∠On﹣1CB，即可求出∠BOn﹣1C．（4）依據(jù)（3）的結(jié)論即可求出n的值．【解答】解：∵∠BAC=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°，（1）∵點(diǎn)O是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=75°，∴∠BOC=105°；（2）∵點(diǎn)O2是∠ABC與∠ACB的三等分線的交點(diǎn)，∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=100°，∴∠BO2C=80°；（3）∵點(diǎn)On﹣1是∠ABC與∠ACB的n等分線的交點(diǎn)，∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB=（∠ABC+∠ACB）=×150°，∴∠BOn﹣1C=180°﹣×150°（4）由（3）得：180°﹣×150°=60°，解得：n=5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．18．（2015春?東臺(tái)市期末）Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別是邊A