1.5數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明能被8整除時，當(dāng)時，可變形為（

）A． B．C． D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增加的因式是（

）A． B． C． D．3．設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：當(dāng)成立時，總有成立.則下列命題總成立的是（

）A．若成立，則成立 B．若成立，則當(dāng)時，均有成立C．若成立，則成立 D．若成立，則當(dāng)時，均有成立4．用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋（

）A． B．π C． D．2π6．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“若為奇數(shù)，則能被整除”，在驗證了正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成（

）A．時，能被整除；B．時，能被整除；C．時，能被整除；D．時，能被整除．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的，都有，第一步應(yīng)該驗證的等式是（

）A． B．C． D．8．意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2020項的和為（

）A．1346 B．673 C．1347 D．1348二、多選題9．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，下列說法正確的是（）A．使不等式成立的第一個自然數(shù)B．使不等式成立的第一個自然數(shù)C．推導(dǎo)時，不等式的左邊增加的式子是D．推導(dǎo)時，不等式的左邊增加的式子是10．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．11．如果命題對成立，則它對也成立.則下列結(jié)論正確的是（

）A．若對成立，則對所有正整數(shù)都成立B．若對成立，則對所有正偶數(shù)都成立C．若對成立，則對所有正奇數(shù)都成立D．若對成立，則對所有自然數(shù)都成立12．?dāng)?shù)列滿足（且），則（

）A．若，則數(shù)列是等比數(shù)列 B．若，則數(shù)列是等差數(shù)列C．若，則數(shù)列中存在最大項與最小項 D．若，則三、填空題13．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，比多了項．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，需驗證時的式子為．15．計算前幾項：1，2＋3＋4，3＋4＋5＋6＋7，…各項的值，可以猜想第n個式子為．16．用數(shù)學(xué)歸納法證明（是非負(fù)實數(shù)，）時，假設(shè)命題成立之后，證明命題也成立的關(guān)鍵是．四、解答題17．如圖，類似于中國結(jié)的一種刺繡圖案，這些圖案由小正方形構(gòu)成，其數(shù)目越多，圖案越美麗，若按照前4個圖中小正方形的擺放規(guī)律，設(shè)第個圖案所包含的小正方形個數(shù)記為．（1）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出與的關(guān)系，并通過你所得到的關(guān)系式，求出的表達(dá)式；（2）計算：，，的值，猜想的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．18．用數(shù)學(xué)歸納法證明：求證：..19．設(shè)，求證：.分析下面證明過程，找出其中的錯誤.證明：（1）當(dāng)時，，不等式顯然成立.（2）假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即，那么當(dāng)時，有.這就是說，當(dāng)時，不等式也成立.根據(jù)（1）和（2）可知，對任何，不等式總成立.20．?dāng)?shù)列(Ⅰ)求，,并求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)設(shè)證明：當(dāng)21．?dāng)?shù)列中，，前項和（為正整數(shù)）.(1)計算，，的值，并猜測通項；(2)用數(shù)字歸納法證明（1）中的猜測．22．已知命題：設(shè)，為非負(fù)實數(shù)，，為正實數(shù)，若，則．請將該命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題．參考答案：1．A【分析】根據(jù)歸納假設(shè)化簡需歸納證明的代數(shù)式，從而可得正確的選項.【詳解】當(dāng)時，，兩個表達(dá)式都能被整除，故選：A．2．B【分析】將時左邊的等式除以時左邊的等式即可得解.【詳解】解：當(dāng)時，左邊，當(dāng)時，左邊，所以左邊應(yīng)添加因式為故選：B.3．D【分析】根據(jù)題中的信息，結(jié)合不等號的方向可判斷A、C的正誤；再根據(jù)題意可得若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥3時，均有f(k)≥k+1成立，據(jù)此可對B作出判斷；同理判斷出D的正誤.【詳解】選項A、C與已知條件不等號方向不同，故A、C錯誤；選項B中，若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥3時，均有f(k)≥k+1成立，故B錯誤；根據(jù)題意，若成立，則成立，即成立，結(jié)合，所以當(dāng)時，均有成立.故選：D.4．B【分析】分別令，計算左右兩邊，觀察不等式是否成立，即可求出正確答案.【詳解】當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，成立；即左邊大于右邊，不等式成立，則對任意的自然數(shù)都成立，則的最小值為，故選：B．5．B【分析】根據(jù)題意相當(dāng)于增加了一個三角形，從而得出選項.【詳解】由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時，增加了一個三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.故選：B6．C【分析】根據(jù)為奇數(shù)，由數(shù)學(xué)歸納法原則即可得到結(jié)論.【詳解】原命題中為奇數(shù)，歸納假設(shè)應(yīng)寫為：時，能被整除.故選：C.7．D【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的知識確定正確答案.【詳解】在等式中，當(dāng)時，，故等式的左邊為，右邊為.所以第一步應(yīng)該驗證的等式是.故選：D8．C【分析】由已知條件寫出數(shù)列的前若干項，觀察發(fā)現(xiàn)此數(shù)列周期為3，從而可求得答案.【詳解】由題意可得：若，等價于為偶數(shù)，若，等價于為奇數(shù)，則，猜想：，當(dāng)時，成立；假設(shè)當(dāng)時，成立，則為奇數(shù)，為偶數(shù)；當(dāng)時，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故符合猜想；得證，則連續(xù)三項之和為2，故數(shù)列的前2020項的和為.故選：C.【點睛】方法點睛：本題主要考查數(shù)列的周期性以及應(yīng)用，考查了遞推關(guān)系求數(shù)列各項的和，利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項或求數(shù)列的和：（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；（2）項的序數(shù)較大時，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.9．BC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法逐項分析判斷.【詳解】當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；即使不等式成立的第一個自然數(shù)，故A錯誤，B正確；當(dāng)時，可得；當(dāng)時，可得；兩式相減得：，所以推導(dǎo)時，不等式的左邊增加的式子是，故C正確，D錯誤；故選：BC.10．BCD【分析】先證明是遞增數(shù)列，且各項均為正，由遞推公式求得發(fā)現(xiàn)A錯誤，然后由遞推關(guān)系利用基本不等式變成不等式，讓依次減1進(jìn)行歸納得出B正確，由遞推式適當(dāng)放縮得，這樣對進(jìn)行歸納得出，此不等式兩邊取以2為底的對數(shù)可證明選項D，對由指數(shù)冪運算法則變形為，然后證明，再結(jié)合是正整數(shù)可得證C．【詳解】，∴，是遞增數(shù)列，又，所以，，，，，A顯然錯誤；，∴，B正確；對選項C，，∴，依此類推：，，下證，時，，時，，時，，假設(shè)時，成立，，則時，，所以對任意不小于3的正整數(shù)，，所以，又是正整數(shù)，所以，C正確；對選項D，由選項C得，所以，D正確．故選：BCD．11．BC【分析】由推理關(guān)系，可知需分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，再結(jié)合首項成立，即可判斷選項.【詳解】由題意可知，若對成立，則對所有正奇數(shù)都成立；若對成立，則對所有正偶數(shù)都成立.故選：BC12．ABD【分析】由等比數(shù)列和等差數(shù)列的概念可判斷A，B，利用B中結(jié)論求得，利用函數(shù)單調(diào)性可判斷C，利用數(shù)學(xué)歸納法及作差法判斷選項D．【詳解】選項A，因為若，，所以，，…，，即，，是等比數(shù)列，故A正確；選項B，令，而，，又，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，故B正確；選項C，由選項B的結(jié)論及可知：，，顯然，數(shù)列在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，有最大值2，沒有最小值，故C錯誤；選項D，用數(shù)學(xué)歸納法證明，(1)當(dāng)時，，(2)假設(shè)當(dāng)，時，不等式成立，即，即，當(dāng)時，，滿足，故當(dāng)時，不等式也成立，綜合(1)(2)，對任意，有，下面證明，，，上面不等式中的等號不成立，，，故，故D正確．故選：ABD．13．【分析】作差分析可得答案.【詳解】因為，，所以，所以比多了項.故答案為：14．【分析】由數(shù)學(xué)歸納法的變化規(guī)律直接可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)，不等式左側(cè)為，右側(cè)為：，需驗證式子為.故答案為：.15．【分析】直接由數(shù)學(xué)歸納法猜想得出結(jié)果即可.【詳解】，猜想第n個式子為.故答案為：.16．兩邊同乘以【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的方法，根據(jù)當(dāng)時要出現(xiàn)與判斷即可.【詳解】要想辦法出現(xiàn)，兩邊同乘以，右邊也出現(xiàn)了要證的故答案為：兩邊同乘以17．（1），（2）答案見解析【分析】（1）由圖知計算出，，，根據(jù)規(guī)律歸納猜想與的關(guān)系，使用累加法猜想出；（2）根據(jù)的計算猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】（1）由圖知，，，，，，，歸納猜想：，，，，以上各式相加得，所以.（2），，，猜想，證明，當(dāng)時，，，所以時猜想成立，當(dāng)時猜想成立，即，則時，，所以當(dāng)時，猜想成立，由①②可知，對任意，都有.18．證明見解析.【分析】由題意首先證得n=2時結(jié)論成立，然后假設(shè)當(dāng)時，等式也成立，證得當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立即可.注意應(yīng)用假設(shè)的條件進(jìn)行證明.【詳解】證明：①當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立．②設(shè)當(dāng)時，等式也成立，即：，則當(dāng)時，，，，，，得證．∴時，成立，故等式成立．19．答案見解析.【分析】根據(jù)證明過程可知，錯誤，從而得到該題用數(shù)學(xué)歸納法證明過程中的錯誤．【詳解】在中用了，這是一個不確定的結(jié)論，如時，．故在第（2）步中，錯誤．20．(Ⅰ)，，．(Ⅱ)證明見解析．【分析】(Ⅰ)由遞推公式計算出，然后分類討論得出數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，從而可求得通項公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)求出，用錯位相減法求得和后，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立．【詳解】(Ⅰ)因為所以一般地，當(dāng)時，＝，即所以數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當(dāng)時，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項公式為(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要證明當(dāng)時，成立，只需證明當(dāng)時，成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n=6時，成立.(2)假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即則當(dāng)n=k+1時，由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時，.即當(dāng)n≥6時，21．(1)(2)證明見解析.【分析】(1)分別取，代入，解方程即可；(2)先驗證時命題成立，假設(shè)假設(shè)時，命題成立，對進(jìn)行驗證即可.【詳解】（1），，得，，即，得，，即，，猜想（2）當(dāng)時命題成立,假設(shè)時，命題成立，即成立,因為，即整理得，，求得所以當(dāng)時，命題成立，故命題對任何都成立，因此.22．命題