17.2一元二次方程的解法學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會把一元二次方程降次轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；2.運用開平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程.3.了解配方法的概念.4.掌握解一元二次方程的方法解決有關(guān)問題.5.探索解一元二次方程的方法之間的區(qū)別和聯(lián)系.重點：掌握解一元二次方程的方法解決有關(guān)問題.難點：1.會把一元二次方程降次轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.2.探索解一元二次方程的方法之間的區(qū)別和聯(lián)系.知識點一直接開平方法解一元二次方程1.直接開平方法利用平方根的意義直接開平方來求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.方程x2=p的根一般的，對于可化為x2=p(I)的方程，(1)當(dāng)p>0時，根據(jù)平方根的意義，方程(I)有兩個不相等的實數(shù)根，；(2)當(dāng)p=0時，方程(I)有兩個相等的實數(shù)根；(3)當(dāng)p<0時，因為任何實數(shù)x，都有x2≥0，所以方程(I)無實數(shù)根.歸納：利用平方根的意義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法即學(xué)即練利用直接開平方法解下列方程：用直接開平方法解方程時，要先將方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是常數(shù)的形式.知識點二配方法解一元二次方程1.配方法把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個常數(shù)，進而可用直接開平方法來求解，這種通過配成完全平方的形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程來解。2.可化為(x+n)2=p的形式的一元二次方程的根一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p（Ⅱ）.①當(dāng)p>0時，方程（Ⅱ）有兩個不等的實數(shù)根，；②當(dāng)p=0時，方程（Ⅱ）有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=－n；③當(dāng)p<0時，因為對任意實數(shù)x，都有(x+n)2≥0，所以方程（Ⅱ）無實數(shù)根.學(xué)生：用配方法解一元二次方程時，移項時要注意些什么？老師：移項時需注意改變符號.1.用配方法解一元二次方程的一般步驟：一移：常數(shù)項且二次項系數(shù)化為1；二配：成完全平方公式[配上一次項系數(shù)2三寫：成(x+n)2=p；四直：接開平方法解方程.即學(xué)即練1試用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式k2－4k＋5的值必定大于零.即學(xué)即練2應(yīng)用配方法求最值.(1)2x2－4x+5的最小值；(2)－3x2+6x-7的最大值.【總結(jié)】ax2+bx+c(a，b，c均為常數(shù))型代數(shù)式求最值或證明恒為正(負(fù))等問題，都要想到運用配方法，將含字母部分配成a(x+m)2+n的形式來解決.即學(xué)即練3若a，b，c為△ABC的三邊長，且，試判斷△ABC的形狀.類別解題策略1.完全平方式中的求參如：已知x2－2mx＋16是一個完全平方式，所以一次項系數(shù)一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.2.求最值或證明代數(shù)式的值恒為正(或負(fù))對于一個關(guān)于x的二次多項式通過配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，當(dāng)a＞0時，可知其最小值；當(dāng)a＜0時，可知其最大值.3.利用配方構(gòu)成非負(fù)式的和的形式對于含有多個未知數(shù)的二次式的等式，求未知數(shù)的值，解題突破口往往是配方成多個完全平方式得其和為0，再根據(jù)非負(fù)式的和為0，各項均為0，從而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，則a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.知識點三因式分解法解一元二次方程1.因式分解法通過因式分解把一元二次方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2.用因式分解法解一元二次方程的理論依據(jù)如果兩個因式的積為0,那么這兩個因式中至少有一個等于0,即若ab=0,則a=0或b=0.3.用因式分解法解一元二次方程的一般步驟(1)移項、合并同類項：將方程的右邊化為0;(2)因式分解：將方程的左邊化為兩個一次式的乘積；(3)降次轉(zhuǎn)化：令每個一次式分別為0,得到兩個一元一次方程；(4)一一求解：分別解這兩個一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解.4.幾種常見的用因式分解法求解的方程(1)形如x2+bx=0的一元二次方程，將左邊運用提公因式法因式分解為x(x+b)=0,則x=0或x+b=0,即x1=0,x形如x2-a2=0的一元二次方程，將左邊用平方差公式因式分解為(x+a)(x-a)=0,則x+a=0或x-a=0,即x1=-a,x形如x2±2ax+a2=0的一元二次方程，將左邊用完全平方公式因式分解為(x±a)2=0,則①x+a=0,即x1=x2=-a;②x-a=0,即x1形如x2+(a+b)x+ab=0的一元二次方程，將左邊因式分解，則方程化為(x+a)(x+b)=0,所以x+a=0或x+b=0,即x1=-a,x即學(xué)即練用因式分解法解下列方程：(1)；(2)知識點四十字相乘法1.十字相乘法整式的乘法(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+整式的乘法兩個一次二項式相乘的積一個二次三項式反過來，得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)如果二次三項式x2+px+q中的常數(shù)項q能分解成兩個因數(shù)a、b的積，而且一次項系數(shù)p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法進行因式分解.2.十字相乘法步驟：①豎分二次項與常數(shù)項②交叉相乘，積相加③檢驗確定，橫寫因式即學(xué)即練1解：分解因式得（x+7）（x-1）=0∴x+7解：分解因式得（x+7）（x-1）=0∴x+7=0，或x-1=0.∴x1=-7,x2=1.xxxx7-1（x+7）（x-1）=0簡記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中.即學(xué)即練2解下列方程：(1)x2-5x+6=0；(2)x2+4x-5=0；(3)(x+3)(x-1)=5；(4)2x2-7x+3=0.用因式分解法解一元二次方程時，要先觀察方程結(jié)構(gòu)，看看方程中有沒有公因式，提取公因式后能否轉(zhuǎn)化為一邊為0,另一邊分解成兩個一次因式的乘積形式，若能，則采用因式分解法來解答比較簡單.知識點五公式法解一元二次方程1.求根公式解一元二次方程時，先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)當(dāng)Δ≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數(shù)根可寫為的形式，這個式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.2.公式法用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.注意：：運用公式法解一元二次方程時,首先要將方程化為一般式,然后當(dāng)Δ=b2－4ac≥0時,才可以用求根公式.3.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程，推導(dǎo)過程如下：移項，得ax2+bx=－c，二次項系數(shù)化為1，得x2+x=，配方，得x2+x+()2=()2，即(x+)2=.當(dāng)Δ=b2－4ac時，.4.用公式法解一元二次方程的一般步驟1.變形：化已知方程為一般形式；2.確定系數(shù)：用a，b，c寫出各項系數(shù)；3.計算：b2－4ac的值；4.判斷：若Δ=b2－4ac≥0，則利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac<0，則方程沒有實數(shù)根.b2-4ac（△）的取值與根的個數(shù)之間的關(guān)系Δ=b2－4ac>0有兩個不等的實數(shù)根Δ=b2－4ac=0有兩個相等的實數(shù)根Δ=b2－4ac＜0沒有實數(shù)根公式法內(nèi)容根的判別式Δ=b2－4ac，注意務(wù)必將方程化為一般形式求根公式步驟一化（一般形式）；二定（系數(shù)值）；三求（b2－4ac值）；四判（方程根的情況）；五代（代求根公式計算）即學(xué)即練用公式法解下列方程：．．．(4)．一、解法選擇基本思路:1.一般地，當(dāng)一元二次方程一次項系數(shù)為0時(ax2+c=0)，應(yīng)選用直接開平方法；2.若常數(shù)項為0(ax2+bx=0)，應(yīng)選用因式分解法；3.化為一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次項系數(shù)和常數(shù)項都不為0，先看左邊是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，否則就選用公式法或配方法：此時若二次項系數(shù)為1，且一次項系數(shù)為偶數(shù)，則可選用配方法；否則可選公式法.系數(shù)含根式時也可選公式法.二、一元二次方程的各種解法及適用類型.一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法(ax+m)2=n(a≠0，n≥0)配方法x2+px+q=0(p2-4q≥0)公式法ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)因式分解(ax+m)(bx+n)=0(ab≠0)題型一解一元二次方程直接開平方法例1（2023春·上海徐匯·八年級上海市西南模范中學(xué)?？计谀┌讯畏匠蘹2-4xy+4y舉一反三1（2023春·上海長寧·八年級上海市延安初級中學(xué)?？计谥校┤绻P(guān)于x的方程ax2-2x2舉一反三2（2023春·上海長寧·八年級上海市延安初級中學(xué)?？计谥校┓匠?x4=題型二解一元二次方程配方法例2（2023秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谀┯门浞椒ń夥匠蹋?舉一反三1（2022秋·上海靜安·八年級校考期中）用配方法解方程：2舉一反三2（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┯门浞椒ń庖辉畏匠蘹2A．4 B．8 C．16 D．64題型三配方法的應(yīng)用例3（2023春·上海楊浦·八年級?？计谥校┮阎獂為實數(shù)，若x2+1x2舉一反三1（2022秋·上海黃浦·八年級上海外國語大學(xué)附屬大境初級中學(xué)?？计谥校?13x舉一反三2（2022秋·上海楊浦·八年級統(tǒng)考期中）用一根長為20厘米的繩子，圍成一個面積為y平方厘米的長方形，則y的值不可能是（）A．30 B．20 C．16 D．10題型四公式法解一元二次方程例4（2023春·上海楊浦·八年級校考期中）解關(guān)于x的方程：k2舉一反三1（2023秋·上海靜安·八年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谀┙夥匠蹋?xx-1舉一反三2（2023秋·上海靜安·八年級上海市風(fēng)華初級中學(xué)?？计谀┰趯崝?shù)范圍內(nèi)分解因式：2x2題型五因式分解法解一元二次方程例5（2023春·上海虹口·八年級上外附中?？计谀┓匠蘹2=27x舉一反三1（2023秋·上海青浦·八年級校考期末）解方程：x-12舉一反三2（2023春·上海黃浦·八年級統(tǒng)考期末）方程x4﹣16＝0的根是．題型六換元法解一元二次方程例6（2023春·上海浦東新·八年級?？计谀┯脫Q元法解方程x2-12x-4xx2舉一反三1（2023春·上海閔行·八年級統(tǒng)考期末）用換元法解方程xx+1-x+1x+3=0A．y2+3y-1=0 BC．y2+y-3=0 D．舉一反三2（2023春·上海長寧·八年級統(tǒng)考期末）已知方程xx2-1+x2-1題型七一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例7（2023秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谀┤舴匠蘹2-3x+m=0有一根是A．1 B．2 C．-1 D．-2舉一反三1（2022秋·上海嘉定·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根為x1，x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：x1+x2=-ba舉一反三2（2022秋·上海楊浦·八年級校考期中）已知α，β是方程x2-7x+8=0的兩個根，α>β，不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求單選題1.（2017秋·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期中）用配方法解方程x2+4x+2=0，下列配方正確的是（A．x-22=2 B．x+22=2 C．2．（2022秋·上海奉賢·八年級校聯(lián)考期中）關(guān)于的一元二次方程x2+(a-1)x+a2-1=0的一個根是0A．1或-1 B．-1 C．1 D．13．（2019秋·上海徐匯·八年級上海市西南模范中學(xué)?？计谥校┓匠?x-12=1的根為（A．x1=x2=14 B．x1=x二、填空題1.（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）方程-1+1-2x2=02．（2021秋·上海金山·八年級?？计谥校┮辉畏匠蘹2﹣6x＋9＝0的實數(shù)根是．3．（2022秋·上海靜安·八年級上海市市西中學(xué)校考期中）如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程成為“差1方程”．例如x2+x=0是“差1方程”．若關(guān)于x的方程ax2+bx+1=0(a，b是常數(shù)，a>0)是“差1方程”設(shè)t=10a-4．（2019秋·上?！て吣昙壣虾Ｊ袕埥瘓F中學(xué)?？计谥校┮阎猘，b，c滿足a-b=8，ab+c2+16=0，則三、解答題1.（2023秋·上海青浦·八年