第十三章三角形13.3等腰三角形13.3.2等邊三角形第1課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)與判定學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．探索等邊三角形的性質(zhì)和判定．2．能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明．重點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)和判定難點(diǎn)：運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計(jì)算和證明自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接1.三條邊都_________的三角形叫作等邊三角形.等腰三角形：圖形定義性質(zhì)判定等腰三角形有_______相等的三角形叫做等腰三角形兩____相等兩____相等等邊對_______等角對____三線合一:_______、_______、_______軸對稱圖形二、新知預(yù)習(xí)類比學(xué)習(xí)一：等邊三角形的性質(zhì)性質(zhì)等腰三角形等邊三角形邊兩條邊相等______條邊都相等角兩個(gè)底角相等______角相等，且都是______三線合一底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合______上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合對稱軸1條______條要點(diǎn)歸納：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都__________,并且每一個(gè)角都等于________.類比學(xué)習(xí)二：等邊三角形的判定判定等腰三角形等邊三角形邊______條邊相等的三角形是等腰三角形______條邊都相等的三角形是等邊三角形角______個(gè)角相等的三角形是等腰三角形______個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形要點(diǎn)歸納：_______個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.三、自學(xué)自測1.已知△ABC為等邊三角形，則∠A的度數(shù)是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△ABC的周長為______cm.3.△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則∠B=______度.四、我的疑惑____________________________________________________________________________________________________________________________________________________課堂探究課堂探究要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)典例精析例1：如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，D是BC延長線上一點(diǎn)，連接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數(shù)．方法總結(jié)：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個(gè)內(nèi)角都是60°，這個(gè)性質(zhì)常應(yīng)用在求三角形角度的問題上，一般需結(jié)合“等邊對等角”、三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì).變式訓(xùn)練：如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到E，使得CE=CD．求證：BD=DE．例2：△ABC為正三角形，點(diǎn)M是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA邊上任意一點(diǎn)，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點(diǎn)，∠BQM等于多少度？方法總結(jié)：此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運(yùn)用，一般是利用等邊三角形的性質(zhì)判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質(zhì)，求角度或證明邊相等.探究點(diǎn)2：等邊三角形的判定想一想：小明認(rèn)為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個(gè)角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？為什么？ABABC如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求證：△ABC是等邊三角形.證明：2.底角為60°的等腰三角形：證明：要點(diǎn)歸納：有一個(gè)角是_____的等腰三角形是等邊三角形.典例精析ADEBADEBCDE∥BC，求證：△ADE是等邊三角形.ADEADEBC例4：等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結(jié)論．方法總結(jié)：判定一個(gè)三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相等；二是證明三角形三個(gè)內(nèi)角相等；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有一個(gè)內(nèi)角等于60°.針對訓(xùn)練△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，則△ABC的周長為（）A.9B.8C.6D.132.如圖，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，圖中與BD相等的線段有（）ABABCDE第2題圖第3題圖3.如圖，△ABC是等邊三角形,DE∥BC,則∠ADE=__________.4.如圖，等邊△ABC中，D、E、F分別是各邊上的一點(diǎn)，且AD=BE=CF．求證：△DEF是等邊三角形．【變式題】△ABC為等邊三角形，且DE⊥BC，垂足為D，EF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)D⊥AB，垂足為F，則△DEF是等邊三角形嗎？為什么？二、課堂小結(jié)等邊三角形性質(zhì)判定三邊相等，三個(gè)角都等于_______.三邊相等每一條邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合三角相等3條對稱軸有一個(gè)角等于____的等腰三角形當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測1.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數(shù)是（）A．105°B．120°C．135°D．150°2.如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點(diǎn)O，DE∥BC，則這個(gè)圖形中的等腰三角形共有（）ACACBDEOACBACBDE第2題圖第3題圖第4題圖3.在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，則∠CDF的度數(shù)是（）A．10°B．15°C．20°D．25°如圖,△ABC和△ADE都是等邊三角形，已知△ABC的周長為18cm,EC=2cm,則△ADE的周長是__________cm.5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB為邊在△ABC外作等邊△ABD，E是AB的中點(diǎn)，連接CE并延長交AD于F．求證：△AEF≌△BEC．6.如圖，A、O、D三點(diǎn)共線，△OAB和△OCD是兩個(gè)全等的等邊三角形，求∠AEB的大小.拓展提升7.圖①、圖②中，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM與△CBN都是等邊三角形．(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；(2)如圖②，AN與MC交于點(diǎn)E，BM與CN交于點(diǎn)F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．第十三章軸對稱13.3等腰三角形13.3.2等邊三角形第2課時(shí)含30°角的直角三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．探索含30°角的直角三角形的性質(zhì).2．會運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算．重點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)．難點(diǎn)：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算．自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)知識鏈接1.等邊三角形的性質(zhì)有哪些？2.如何判定一個(gè)三角形是等邊三角形？課堂探究課堂探究要點(diǎn)探究探究點(diǎn)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)拼一拼：如圖，將兩個(gè)相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？A（D）BC（F）A（D）BC（F）EDFEABC填一填：∠A=∠D=_______，∠BAC=___________;AB=DE,△ABE是__________三角形；2BC=BE=________.要點(diǎn)歸納：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.證一證：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求證：BC=AB.方法一：倍長法ABC【提示：延長ABC證明：方法二：截半法【提示：在BA上截取BE=BC，連接EC】證明：方法總結(jié):在證明線段之間的和差倍分關(guān)系時(shí)，倍長法與截半法是常用的兩種作輔助線的方法.典例精析例1：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm注意：運(yùn)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求線段長時(shí)，要分清線段所在的直角三角形．例2：如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于()A．3B．2C.1.5D．1方法總結(jié)：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30°角的直角三角形．例3如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．方法總結(jié)：含30°角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個(gè)重要的依據(jù)，如果問題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時(shí)，要聯(lián)想此性質(zhì)．例4：已知:等腰三角形的底角為15°，腰長為20.求腰上的高.方法總結(jié)：在求三角形邊長的一些問題中，可以構(gòu)造含30°角的直角三角形來解決．本題的關(guān)鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質(zhì)，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解決問題.針對訓(xùn)練1.在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，則AC的長是()A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm2.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，若CD＝1，則BD＝____．第2題圖第3題圖3.如圖是某商場一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其中AB，CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC＝150°，BC的長是8m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h＝____m.4.如圖所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠A=30°.求證：AB=4BD證明：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30∴BC=AB∠B=又∵△BCD中,CD⊥AB∴∠BCD=∴BD=BC∴BD=AB即.5.如圖所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4.求PD的長.二、課堂小結(jié)含30°角的直角三角形的性質(zhì)：應(yīng)用的前提在三角形中，結(jié)論是30°角所對的直角邊是的一半，而不是任一直角邊是斜邊的一半．當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測1.如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為()A．6米B．9米C．12米D．15米第1題圖第2題圖2.某市在舊城改造中，計(jì)劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購買這種草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元CABDC3.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=CABDCBABA第3題圖第5題圖在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,則BC