第7章微波諧振器第7章

微波諧振器微波諧振器的基本特性與參數(shù)串聯(lián)和并聯(lián)諧振電路傳輸線諧振器金屬波導(dǎo)諧振腔介質(zhì)諧振器法布里-珀羅諧振器諧振器的激勵(lì)微波諧振腔的微擾理論本章提要習(xí)題第7章微波諧振器7.1

微波諧振器的基本特性與參數(shù)1.任意形狀微波諧振器自由振蕩的基本特性為使我們對(duì)微波諧振器(microwave

resonators)的基本特性有所了解，我們來(lái)分析一下任意形狀的微波諧振器，如圖

7.1-1所示，其體積為V，表面為S。S面既可以是電壁(理想

導(dǎo)體壁)，也可以是磁壁(開路壁)，也可以是部分電壁部分磁壁。下面我們以理想導(dǎo)體壁為例來(lái)討論，其它情況的分析大

同小異。設(shè)微波諧振器體積內(nèi)填充理想的均勻介質(zhì)，其電導(dǎo)率σ=0，且諧振器內(nèi)無(wú)其它場(chǎng)源。于是體積V內(nèi)的電磁場(chǎng)滿足如下麥克斯韋方程:第7章微波諧振器圖7.1-1任意形狀微波諧振器第7章微波諧振器(7.1-1)在S面上的邊界條件是(7.1-2)式中是S面的法向單位矢量。第7章微波諧振器由式(7.1-1)可以求得電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程為(7.1-3)第7章微波諧振器式(7.1-3)的求解可用分離變量法。以電場(chǎng)方程為例，可設(shè)E=E(r)T(t)(7.1-4)其中，T(t)只是時(shí)間t的函數(shù)，是個(gè)標(biāo)量；E(r)只是空間位置坐標(biāo)r的函數(shù),為一矢量。將式(7.1-4)代入式(7.1-3)第一式，得到(7.1-5)第7章微波諧振器此式要成立，必須每項(xiàng)為常數(shù)。令分離變量常數(shù)分別為ωi和ki，則得到方程:(7.1-6)(7.1-7)稱為波數(shù)，在此為正實(shí)數(shù)。式中第7章微波諧振器式(7.1-6)是個(gè)簡(jiǎn)諧方程，其解為(7.1-8)式中Ai為任意常數(shù)，由起始條件決定，亦即由諧振器起始激勵(lì)條件決定。式(7.1-7)為本征值方程，ki為本征值。在選定坐標(biāo)系后，可用分離變量法求解。設(shè)其特解為Ei(r)，于是得到式(7.1-3)第一式的特解為(7.1-9)E的通解則為(7.1-10)式中，Ei(r)是滿足邊界條件的矢量函數(shù)，稱為模式矢量函數(shù)；ωi是諧振器自由振蕩的模式角頻率；。第7章微波諧振器對(duì)于式(7.1-3)第二式，同樣可求得(7.1-11)式中，Hi(r)也是模式矢量函數(shù)，Bi也是任意常數(shù)。由于電場(chǎng)和磁場(chǎng)滿足麥克斯韋方程，故當(dāng)Ai決定后，Bi即可決定。事實(shí)上，將電場(chǎng)和磁場(chǎng)歸一化，使得(7.1-12)則將式(7.1-10)和式(7.1-11)代入式(7.1-1)第一、二方程，可得到Ai=-jηBi(7.1-13)第7章微波諧振器式中 是介質(zhì)的波阻抗。于是，對(duì)于諧振器某一特定自由振蕩模式(free

oscillation

mode),(7.1-14)同時(shí)由式(7.1-1)可得(7.1-15)第7章微波諧振器對(duì)于諧振器任一自由振蕩模式，可以證明其最大電場(chǎng)儲(chǔ)能等于其最大磁場(chǎng)儲(chǔ)能。事實(shí)上，電場(chǎng)最大儲(chǔ)能為磁場(chǎng)最大儲(chǔ)能為第7章微波諧振器由式(7.1-14)(7.1-16)由于第7章微波諧振器故在諧振器內(nèi)壁(電壁)，將上式代入式(7.1-16)，得到，故式中。第7章微波諧振器綜上討論，我們可以得到如下結(jié)論:①微波諧振器中可以存在無(wú)窮多不同振蕩模式的自由振蕩，不同的振蕩模式具有不同的振蕩頻率。這表明微波諧振器的多諧性，與低頻LC回路不同。②微波諧振器中的單模電場(chǎng)和磁場(chǎng)為正弦場(chǎng)，時(shí)間相位差90°，電場(chǎng)最大時(shí)，磁場(chǎng)為零；磁場(chǎng)最大時(shí)，電場(chǎng)為零，兩者最大儲(chǔ)能相等。由于諧振器內(nèi)無(wú)能量損耗，諧振器表面亦無(wú)能量流出，能量只在電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間不斷交換，形成振蕩。故振蕩實(shí)質(zhì)與低頻LC回路相同。第7章微波諧振器2.諧振器的基本參數(shù)(1)諧振波長(zhǎng)λ0。諧振波長(zhǎng)(resonantwavelength)λ0是微波諧振器最主要的參數(shù)。它表征微波諧振器的振蕩規(guī)律，即表示微波諧振器內(nèi)振蕩存在的條件。在導(dǎo)行系統(tǒng)求解中，我們得到關(guān)系(7.1-17)在導(dǎo)行系統(tǒng)情況下，沿z向無(wú)邊界限制，波沿z向傳播。此種情況下的相位常數(shù)β值是連續(xù)的，即波沿z向不具有諧振特性。對(duì)于諧振器情況，z向也有邊界限制，如圖7.1-2所示的封閉式波導(dǎo)諧振器,波沿z向也應(yīng)呈駐波分布，且(7.1-18)第7章微波諧振器圖7.1-2任意形狀封閉諧振器第7章微波諧振器式中，l是諧振器的長(zhǎng)度，λg為波導(dǎo)波長(zhǎng)。由此可得(7.1-19)代入式(7.1-17)，得到封閉式波導(dǎo)諧振器諧振波長(zhǎng)一般表示式為(7.1-20)式中λc為波導(dǎo)的截止波長(zhǎng)。可見諧振波長(zhǎng)與諧振器形狀尺寸和工作模式有關(guān)。第7章微波諧振器(2)品質(zhì)因數(shù)Q0品質(zhì)因數(shù)(qualityfactor)Q0表征微波諧振系統(tǒng)的頻率選擇性，表示諧振器的儲(chǔ)能與損耗之間的關(guān)系。其定義為(7.1-21)式中，W代表諧振器儲(chǔ)能，WT代表一周期內(nèi)諧振器的能量損耗，Pl則代表一周期內(nèi)的平均損耗功率。第7章微波諧振器諧振器的儲(chǔ)能(7.1-22)諧振器的平均損耗功率(7.1-23)式中，Rs為表面電阻率，Htan為切線方向磁場(chǎng)。第7章微波諧振器將式(7.1-22)和式(7.1-23)代入式(7.1-21)，得到品質(zhì)因的一般表示式為(7.1-24)式中δ為導(dǎo)體的趨膚深度。第7章微波諧振器諧振器內(nèi)壁附近的切線磁場(chǎng)總要大于腔內(nèi)部的磁場(chǎng)，可近似認(rèn)為｜H｜2

｜Htan｜2/2，則近似得到(7.1-25a)據(jù)此近似式可以估計(jì)諧振器的Q0值。由此式可見，在一級(jí)近似下，諧振器的Q0值近似與其體積V成正比，與其內(nèi)壁表面積S成反比，與趨膚深度成反比。比值V/S越大，Q0值越高。因此，為獲得較高的Q0值，應(yīng)選擇其形狀使V/S大。第7章微波諧振器我們知道，諧振器的線性尺寸與工作波長(zhǎng)成正比，因此可以認(rèn)為(7.1-25b)例如在常用的厘米波段，δ一般在數(shù)微米至數(shù)十微米之間，因此可以估計(jì)Q0值約為104～105量級(jí)。需要指出的是，由上面求得的Q0是孤立諧振器的品質(zhì)因數(shù)，稱之為無(wú)載Q值(unloaded

Q)或固有品質(zhì)因數(shù)(intrinsic

Q)。第7章微波諧振器(3)損耗電導(dǎo)G0損耗電導(dǎo)(loss

conductance)G0表征諧振系統(tǒng)的功率損耗特性。在實(shí)用中，為了工程計(jì)算的方便，常把單模工作的諧振器在不太寬的頻帶內(nèi)等效為L(zhǎng)C振蕩回路，用等效電導(dǎo)G0或損耗電阻R0(R0=1/G0)來(lái)表示諧振器的功率損耗。為了計(jì)算諧振器的有功損耗電導(dǎo)，可采用如圖7.1-3所示的并聯(lián)等效電路。設(shè)電路兩端的電壓為V=Vm

sin(ωt+φ)，則諧振器中的損耗功率為，因此損耗電導(dǎo)為(7.1-26)第7章微波諧振器圖7.1-3微波諧振器的等效電路第7章微波諧振器式中Vm是等效電路兩端電壓幅值。Pl可由式(7.1-23)求得。這樣，為了計(jì)算諧振器的損耗電導(dǎo)G0就必須確定Vm值，然

而，對(duì)于微波諧振器，其內(nèi)不管哪個(gè)方向都不屬于似穩(wěn)場(chǎng)，因而兩點(diǎn)間的電壓與所選擇的積分路徑有關(guān)，故G0不是單

值量。因此嚴(yán)格講，在一般情況下，微波諧振器的G0值是

難以確定的。盡管如此，我們還是可以設(shè)法在諧振器內(nèi)表

面選擇兩個(gè)固定點(diǎn)a和b，并在固定時(shí)刻可以沿所選擇路徑進(jìn)行電場(chǎng)的線積分，并以此積分值作為等效電壓Vm的值，據(jù)此得到(7.1-27)第7章微波諧振器式中Em為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的幅值。損耗電導(dǎo)的一般表示式則為(7.1-28)顯然，諧振器的有功損耗電導(dǎo)G0與所選擇的點(diǎn)a和b有關(guān)。這有別于Q0

。Q0對(duì)每個(gè)給定尺寸的諧振器來(lái)說(shuō)是固定不變的。第7章微波諧振器實(shí)際計(jì)算時(shí)，一個(gè)有耗諧振器可以當(dāng)成無(wú)耗諧振器來(lái)處理，但其諧振頻率ω0需用復(fù)數(shù)有效諧振頻率(complexeffective

resonant

frequency)代替，即(7.1-29)第7章微波諧振器由式(7.1-20)、(7.1-24)和式(7.1-28)可以計(jì)算特定諧振的λ0、Q0和G0，諧振器的其它參數(shù)可由這三個(gè)參數(shù)導(dǎo)出，故

λ0、Q0和G0是微波諧振器的基本參數(shù)。為了計(jì)算這三個(gè)參數(shù)，就需要知道諧振器的模式及其場(chǎng)分布。這只對(duì)極少數(shù)形狀簡(jiǎn)單規(guī)則的諧振器才是可行的。對(duì)于形狀較復(fù)雜的諧振器，則難以由上述公式計(jì)算得到，而需要利用等效電路概念，通過測(cè)量來(lái)獲得。第7章微波諧振器從上述分析可知，諧振器的Q0和R0都與諧振器中的損耗功率成反比，因而比值R0/Q0便與損耗無(wú)關(guān)，而只與幾何形狀有關(guān)，而且R0/Q0與頻率也無(wú)關(guān)。這就允許在任意頻段上對(duì)R0/Q0進(jìn)行測(cè)量。因此在實(shí)際工程設(shè)計(jì)中，可將諧振器的所有尺寸按線性縮尺方法做成模型，進(jìn)行模擬測(cè)量。這樣，在較高頻率時(shí)，就可以避免尺寸很小的精密加工困難問題，而在頻率較低時(shí)，則可不必浪費(fèi)材料去加工尺寸很大的諧振器。第7章微波諧振器7.2

串聯(lián)和并聯(lián)諧振電路1.串聯(lián)諧振電路如圖7.2-1(a)所示串聯(lián)RLC集總元件諧振電路，其輸入阻抗為(7.2-1)傳送給諧振器的復(fù)功率為(7.2-2)第7章微波諧振器圖7.2-1(a)串聯(lián)RLC諧振電路；(b)諧振曲線第7章微波諧振器我們知道，電阻R的耗散功率為(7.2-3)電感L中的平均磁場(chǎng)儲(chǔ)能為(7.2-4)電容器C中的平均電場(chǎng)儲(chǔ)能為(7.2-5)第7章微波諧振器式中VC是電容器兩端的電壓。于是式(7.2-2)所示復(fù)功率可以寫成Pin=Pl+2jω(Wm-We)式(7.2-1)的輸入阻抗則可以寫成(7.2-6)(7.2-7)第7章微波諧振器當(dāng)平均磁場(chǎng)儲(chǔ)能與平均電場(chǎng)儲(chǔ)能相等，即Wm=We時(shí)便產(chǎn)生諧振。由式(7.2-7)和式(7.2-3)知，諧振時(shí)的輸入阻抗為純實(shí)阻抗，即Zin=2Pl/｜I｜2=R，而由式(7.2-4)和式(7.2-5)Wm=We意味著諧振頻率ω0為(7.2-8)諧振電路的另一個(gè)重要參數(shù)是品質(zhì)因數(shù)，其定義如式(7.1-21)所示。Q值是諧振電路損耗的量度，較低的損耗意味著有較高的Q值。如圖7.2-1(a)所示，串聯(lián)諧振電路的Q值可由式(7.1-21)、(7.2-3)和式(7.2-4)求得為(7.2-9)這表明Q值隨R減小而增大。第7章微波諧振器在諧振頻率附近，令ω=ω0+Δω，這里Δω很小。由式(7.2-1)，輸入阻抗則可以寫成因△ω很小，則，因此(7.2-10a)用此式可以鑒定分布元件諧振器的等效電路。第7章微波諧振器此外，如7.1節(jié)所述，一個(gè)有耗諧振器可當(dāng)成具有復(fù)諧振頻率ω0(1+j/2Q)的無(wú)耗諧振器來(lái)處理。作這樣的處理后，由式(7.2-10)，令R=0，可得無(wú)耗串聯(lián)諧振器的輸入阻抗為Z

in=j2L(ω-ω0)(7.2-10b)式中ω0以復(fù)頻率式(7.1-29)代入，則得此式與式(7.2-10a)完全相符。這種處理方法很有用，因?yàn)榇蠖鄶?shù)實(shí)用微波諧振器的損耗都很小，因此其Q值可用微擾法求得，先求無(wú)耗情況的解，然后，以式(7.1-29)所示的復(fù)諧振頻率代替無(wú)耗情況下輸入阻抗中的ω0，以考慮損耗的影響。第7章微波諧振器最后考慮諧振器的半功率百分帶寬。圖7.2-1(b)表示輸入阻抗值隨頻率的變化曲線，當(dāng)頻率變化使得｜Zin｜2=R2/2時(shí)，由式(7.2-2)，傳送給電路的平均實(shí)功率等于諧振時(shí)功率的一半。如果令BW表示百分帶寬，則在上邊頻，Δω/ω0=BW/2，利用式(7.2-10)，即得到(7.2-11)第7章微波諧振器2.并聯(lián)諧振電路并聯(lián)諧振電路如圖7.2-2(a)所示，是圖7.2-1(a)所示串聯(lián)RLC電路的對(duì)偶電路，其輸入阻抗為(7.2-12)傳送給諧振器的復(fù)平均功率為(7.2-13)電阻R的耗散功率為(7.2-14)第7章微波諧振器圖7.2-2(a)并聯(lián)RLC電路；(b)諧振曲線第7章微波諧振器電容器C中的平均電場(chǎng)儲(chǔ)能為(7.2-15)電感L中的平均磁場(chǎng)儲(chǔ)能為(7.2-16)式中IL是流過電感器的電流。于是復(fù)功率式(7.2-13)可以寫成(7.2-17)此式與式(7.2-6)完全相同。同樣，輸入阻抗可表示為式(7.2-7第7章微波諧振器與串聯(lián)諧振情況一樣，當(dāng)Wm=We時(shí)產(chǎn)生諧振，則由式(7.2-7)和式(7.2-14)，諧振時(shí)的輸入阻抗為純實(shí)阻抗，即Zin=2Pl/｜I｜2=R。由式(7.2-15)和式(7.2-16)Wm=We意味著諧振頻率ω0應(yīng)定義為與串聯(lián)諧振電路的式(7.2-8)完全相同。第7章微波諧振器并聯(lián)諧振電路的Q值可由式(7.1-21)、(7.2-14)、(7.2-1和式(7.2-16)求得為(7.2-18)可見并聯(lián)諧振電路的Q值隨R增大而增大。第7章微波諧振器在諧振頻率附近，令ω=ω0+Δω，這里Δω很小，則由式(7.2-12)可求得輸入阻抗近似為(7.2-19a)若諧振器無(wú)耗，R=0，式(7.2-19a)簡(jiǎn)化為(7.2-19b)若以復(fù)頻率式(7.1-29)代替式(7.2-19b)中的ω0，結(jié)果與式

(7.2-19a)完全相同。這也說(shuō)明，像串聯(lián)諧振情況一樣，損耗的影響可用復(fù)頻率ω0(1+j/2Q)代替無(wú)耗時(shí)的諧振頻率來(lái)處理。第7章微波諧振器圖7.2-2(b)表示輸入阻抗的諧振曲線，其半功率帶寬邊頻(Δω/ω0=BW/2)處，｜Zin｜2=R2/2，則由式(7.2-19a)，可得(7.2-20)與串聯(lián)諧振情況結(jié)果一樣。第7章微波諧振器3.有載Q值和外部Q值上述Q值只是諧振電路本身的特性，而沒有計(jì)及外部電

路的負(fù)載效應(yīng)，故稱之為無(wú)載Q值。實(shí)用的諧振電路不可能

不與其它電路耦合，結(jié)果將使整個(gè)諧振電路的Q值降低。與

外電路耦合的諧振器Q值稱為有載Q值(loaded

Q)，以QL表示。圖7.2-3表示與外部負(fù)載電阻RL相耦合的諧振器:若諧振器為串聯(lián)RLC電路，則負(fù)載電阻RL與R串聯(lián)相加，因此式(7.2-9)

中的有效電阻為R+RL；若諧振器為并聯(lián)RLC電路，則負(fù)載電阻RL與R并聯(lián)，因此式(7.2-18)中的有效電阻為RRL/(R+RL)。我們按Q值定義來(lái)定義外部Q值并以Qe表示，則有第7章微波諧振器(7.2-21)而有載Q值可表示為(7.2-22)第7章微波諧振器圖7.2-3第7章微波諧振器7.3

傳輸線諧振器1.短路λ/2線型諧振器考慮一段終端短路的有耗線，如圖7.3-1(a)所示。傳輸線的特性阻抗為Z0，相移常數(shù)為β，衰減常數(shù)為α

。諧振時(shí)，ω=ω0，線的長(zhǎng)度l=nλ/2(n=1，2，3，…)，這里λ=2π/β。由式(2.4-9)，其輸入阻抗為(7.3-1)第7章微波諧振器圖7.3-1(a)短路有耗線段；(b)開路有耗線段第7章微波諧振器若α=0(無(wú)耗線)，則Zin=jZ0tg

βl。實(shí)用中的大多數(shù)傳輸線的損耗都很小，因此可以假設(shè)αl<<1，于是th

αl

αl?，F(xiàn)在令ω=0+Δω(在諧振頻率附近)，這里Δω很小，則對(duì)于TEM線，式中vp是相速度。由于諧振時(shí)，ω=ω0，l=nλ/2=nπvp/ω0，因此有第7章微波諧振器而代入式(7.3-1)，得到(7.3-2)式(7.3-2)與串聯(lián)諧振電路的輸入阻抗(7.2-10a)的形式相似，據(jù)此可判定長(zhǎng)度為λ/2的終端短路線構(gòu)成串聯(lián)RLC諧振器。將式(7.3-2)與式(7.2-10a)比較，便得到其等效電路的電阻為(7.3-3a)第7章微波諧振器等效電路的電感為(7.3-3b)由式(7.2-8)和式(7.3-3b)，等效電路的電容則為(7.3-3c)第7章微波諧振器由式(7.2-9)和式(7.3-3)可得此種諧振器的Q值為(7.3-4)可見，其Q值隨傳輸線衰減的增大而減小，這是預(yù)料之中的。第7章微波諧振器例7.3-1有一銅制λ/2同軸線諧振器，內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為1

mm和4

mm，諧振頻率為5

GHz，試計(jì)算空氣填充和聚四氟乙烯填充同軸線諧振器的Q值。解銅的導(dǎo)電率σ=5.813×107

S/m，其表面電阻則為?？諝馓畛渫S線的導(dǎo)體衰減常數(shù)為第7章微波諧振器聚四氟乙烯的εr=2.08，tg

δ=0.000

4，因此聚四氟乙烯填充同軸線的導(dǎo)體衰減常數(shù)為空氣填充同軸線的介質(zhì)損耗為零；而聚四氟乙烯填充同軸線的介質(zhì)衰減常數(shù)為第7章微波諧振器最后，由式(7.3-4)可計(jì)算得到Q值為結(jié)果表明，空氣填充同軸線諧振器的Q值幾乎是聚四氟乙烯填充同軸線諧振器Q值的兩倍。若采用鍍銀導(dǎo)體，Q值可進(jìn)一步提高。第7章微波諧振器2.短路λ/4線型諧振器采用長(zhǎng)度為(2n-1)λ/4(n=1，2，…)的短路傳輸線可以構(gòu)成并聯(lián)諧振器。事實(shí)上，長(zhǎng)度為l的短路線的輸入阻抗為以-j

ctg

βl乘分子和分母，得到(7.3-5)第7章微波諧振器諧振時(shí)，l=(2n-1)λ/4，又令ω=ω0+Δω，則對(duì)于TEM線，于是第7章微波諧振器若損耗很小，則th

αl到αl。將這些結(jié)果代入式(7.3-5)，得(7.3-6)此式與并聯(lián)RLC電路的阻抗式(7.2-19a)相似，這表明短路λ/4線型諧振器為并聯(lián)RLC電路。其等效電路的電阻為(7.3-7a)第7章微波諧振器等效電路的電容為(7.3-7b)等效電路的電感則為(7.3-7c)由式(7.2-18)和式(7.3-7)可求得這種諧振器的Q值為(7.3-8)第7章微波諧振器3.開路λ/2線型諧振器實(shí)用的帶狀線和微帶線諧振器常用開路線段做成。當(dāng)線長(zhǎng)為nλ/2時(shí)，這種諧振器等效為并聯(lián)諧振電路，如圖7.3-1(b)所示。長(zhǎng)度為l的開路有耗線的輸入阻抗為(7.3-9)諧振時(shí)，ω=ω0，l=nλ/2；令ω=ω0+Δω，則第7章微波諧振器于是又th

αlαl。將這些結(jié)果代入式(7.3-9)，得到(7.3-10)第7章微波諧振器與式(7.2-19a)所示的并聯(lián)諧振電路輸入阻抗比較，得到其等效RLC并聯(lián)電路的等效電阻、等效電容和等效電感分別為(7.3-11a)(7.3-11b)(7.3-11c)由式(7.2-18)和式(7.3-11)可得其Q值為(7.3-12)第7章微波諧振器例7.3-2有一長(zhǎng)度為λ/2的50

Ω開路微帶線諧振器，其基片厚度h=0.159

cm，介電常數(shù)εr=2.2，tg

δ=0.001，導(dǎo)體材料為銅，忽略線端的邊緣場(chǎng)，試計(jì)算諧振頻率為5

GHz時(shí)的

線長(zhǎng)與諧振器的Q值。解由第四章的4.2節(jié)的簡(jiǎn)化公式可求得此基片上50

Ω微帶線的導(dǎo)體帶寬度和有效介電常數(shù)分別為W=0.49

(cm)，

εe=1.87于是諧振器長(zhǎng)度為第7章微波諧振器相移常數(shù)為導(dǎo)體衰減常數(shù)近似為第7章微波諧振器介質(zhì)衰減常數(shù)為由式(7.3-12)可求得Q值為第7章微波諧振器4.螺旋線諧振器上述結(jié)果適用于同軸線諧振器、帶狀線諧振器和微帶線

諧振器。螺旋線諧振(helix

resonator)是同軸線諧振器的變型常用于1

GHz以下頻率設(shè)計(jì)濾波器等。同軸線諧振器在V和U波段顯得尺寸太大，主要是長(zhǎng)度太長(zhǎng)。為了減小長(zhǎng)度，可將其內(nèi)導(dǎo)體做成螺旋線，結(jié)果便成為螺旋線諧振器，如圖7.3-2所示。螺旋線諧振器實(shí)質(zhì)上是一段四分之一波長(zhǎng)的內(nèi)導(dǎo)體為螺旋線的螺旋同軸傳輸線，其一端短路(螺旋線直接與屏蔽外導(dǎo)體焊接)，另一端開路。螺旋線內(nèi)導(dǎo)體的截面形狀為圓形，屏蔽外導(dǎo)體的截面形狀可以是圓形，也可以是正方形，視應(yīng)用要求而定。信號(hào)一般通過線圈上的抽頭輸入和輸出。對(duì)于50

Ω負(fù)載，抽頭距焊接端約1/8～1/4匝。耦合也可用位于線圈焊接端附近的電感性環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)。諧振器之間可以通過孔或開路端的窗口來(lái)提供耦合。第7章微波諧振器圖7.3-2(a)圓形螺旋線諧振器；(b)正方形螺旋線諧振器第7章微波諧振器螺旋線諧振器在V和U波段具有體積小、重量輕、Q值高

(無(wú)載Q值一般可做到2

000左右)、設(shè)計(jì)制作簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。在V和U波段廣泛用作帶通和帶阻濾波器、線性相移濾波器、多工器、倍頻器等。(1)電磁場(chǎng)分布螺旋線諧振器中的場(chǎng)分量可用螺旋同軸線的場(chǎng)疊加得到。采用圓柱坐標(biāo)系(r，φ，z)，則縱向場(chǎng)分量滿足如下波動(dòng)方程:(7.3-13)其它橫向場(chǎng)分量可由橫-縱向場(chǎng)關(guān)系式求得。式中。第7章微波諧振器邊界條件要求(見圖7.3-3):①螺旋線導(dǎo)體表面導(dǎo)線方向切向電場(chǎng)為零，即在r=d/2處，應(yīng)有②螺旋線表面內(nèi)外切向電場(chǎng)分量應(yīng)連續(xù)，即③螺旋線導(dǎo)體表面處磁場(chǎng)切向分量應(yīng)連續(xù)，即在r=d/2處④外導(dǎo)體(r=D/2處)切向電場(chǎng)分量應(yīng)為零，即第7章微波諧振器圖7.3-3螺旋同軸線參數(shù)示意圖第7章微波諧振器由方程(7.3-13)及上述邊界條件可求得場(chǎng)分量如下:在螺旋線內(nèi)部(r≤d/2):(7.3-14)第7章微波諧振器在螺旋線和外導(dǎo)體之間(d/2≤r≤D/2):(7.3-15)第7章微波諧振器式中，J0、J1為第一類貝塞爾函數(shù)；N0、N1為第二類貝塞爾函數(shù);第7章微波諧振器結(jié)果表明，螺旋同軸線中的模式不是TEM模。螺旋線諧振

器內(nèi)的電場(chǎng)主要集中在螺旋同軸線內(nèi)外導(dǎo)體之間，方向由內(nèi)導(dǎo)體指向外導(dǎo)體，或相反。短路端電場(chǎng)為零；開路端電場(chǎng)最強(qiáng)，存在高電位。因此，為避免損耗，通常使內(nèi)導(dǎo)體比外導(dǎo)體短一些(一般取0.46d)。磁力線是圍繞螺旋線的閉合曲線，由于ψ角很小，所以

，故腔壁上的φ向傳導(dǎo)電流遠(yuǎn)大于軸向電流。開路端磁場(chǎng)為零，短路端的磁場(chǎng)最強(qiáng)，結(jié)果腔壁和螺旋線中的傳導(dǎo)電流自上而下逐漸增大，在短路點(diǎn)有最大值。故要求螺旋線接地必須牢固可靠，最好用銀焊焊牢，底蓋要蓋嚴(yán)。由于Jφ＞Jz，所以腔壁上不應(yīng)有軸向接縫或開口，需要有接縫時(shí)必須用銀焊或銅焊焊牢，且表面要做到光滑。第7章微波諧振器(2)設(shè)計(jì)公式第7章微波諧振器例7.3-3設(shè)D=18

cm，f0=35

MHz，設(shè)計(jì)相應(yīng)的圓形螺旋線諧振器。解將此螺旋線諧振器與工作在同一頻率的同軸線諧振器相比可以發(fā)現(xiàn)，諧振器的重量可減小18倍，而Q0值只比同軸線諧振器小一倍。第7章微波諧振器7.4

金屬波導(dǎo)諧振腔1.矩形波導(dǎo)諧振腔矩形波導(dǎo)諧振腔(rectangularwaveguidecavity)由一段長(zhǎng)度為l，兩端短路的矩形波導(dǎo)做成，電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量被儲(chǔ)存在腔體內(nèi)，功率損耗由腔體的金屬壁與腔內(nèi)填充的介質(zhì)引起。諧振腔可用小孔或探針或環(huán)與外電路耦合。其結(jié)構(gòu)如圖7.4-1所示。我們首先求諧振腔在無(wú)耗情況下的諧振頻率，然后用微擾方法求其Q值。第7章微波諧振器圖7.4-1矩形波導(dǎo)諧振腔第7章微波諧振器(1)諧振頻率矩形波導(dǎo)諧振腔(簡(jiǎn)稱為矩形腔)內(nèi)的場(chǎng)分量可由入射波和反射波場(chǎng)的疊加求得。由3.1節(jié)的結(jié)果，矩形腔中TEmn或TMmn模的橫向電場(chǎng)(Ex，Ey)可以寫成(7.4-1)式中，E0t(x，y)為該模式橫向場(chǎng)的橫向坐標(biāo)函數(shù)；A+和A-分別為正向和反向行波的任意振幅系數(shù)。TEmn和TMmn模的傳播常數(shù)為(7.4-2)，μ和ε是腔體內(nèi)填充材料的導(dǎo)磁率和式中，介電常數(shù)。第7章微波諧振器將z=0處的邊界條件Et=0用于式(7.4-1)，得到A-=-A+，又由z=l處邊界條件Et=0，可得Et(x，y，l)=-E0t(x，y)A+2jsin

βmnl=0，由此得到(7.4-3)這表明，諧振時(shí)腔體的長(zhǎng)度必須是半波導(dǎo)波長(zhǎng)的整數(shù)倍。第7章微波諧振器矩形腔的截止波數(shù)則可求得為(7.4-4)這樣，與矩形波導(dǎo)的模式相對(duì)應(yīng)，矩形腔可以存在無(wú)窮多

TEmnp模式和TMmnp模式，下標(biāo)m、n、p分別表示沿a、b、l分布的半駐波數(shù)。TEmnp

或TMmnp

模式的諧振頻率則為(7.4-5)諧振頻率最低或諧振波長(zhǎng)最長(zhǎng)的模式為微波諧振器的主模(dominant

resonant

mode)。矩形腔的主模是TE101模。第7章微波諧振器(2)TE10p模的Q值實(shí)用的矩形腔幾乎都是以TE10p模式工作，因而有必要求其Q值。由3.1節(jié)的結(jié)果、式(7.4-1)及A-=-A+，可求得矩形腔TE10p模的場(chǎng)分量為(7.4-6a)(7.4-6b)(7.4-6c)據(jù)此可畫出TE101模式的場(chǎng)結(jié)構(gòu)，如圖7.4-2所示。第7章微波諧振器圖7.4-2

TE101模式場(chǎng)結(jié)構(gòu)第7章微波諧振器TE10p模式的電場(chǎng)儲(chǔ)能為(7.4-7)磁場(chǎng)儲(chǔ)能則為(7.4-8)，于是式(7.4-8)右而邊括號(hào)中的量可化簡(jiǎn)為因此有Wm=We。這就是說(shuō)，諧振時(shí)矩形腔內(nèi)的電場(chǎng)儲(chǔ)能與磁場(chǎng)儲(chǔ)能相等。這與7.2節(jié)中的RLC諧振電路情況一樣。第7章微波諧振器對(duì)于小損耗情況，我們可用2.4節(jié)中的微擾方法求腔體內(nèi)壁的功率損耗，即有(7.4-9)是金屬壁的表面電阻，Htan是腔壁式中，表面處的切向磁場(chǎng)。利用式(7.4-6b、c)和式(7.4-9)，得到(7.4-10)第7章微波諧振器則由式(7.1-21)可求得矩形腔TE10p模式的有限導(dǎo)電壁，但介質(zhì)無(wú)耗情況下的Q值為(7.4-11)若介質(zhì)有損耗，則TE10p模矩形腔內(nèi)有耗介質(zhì)的耗散功率為(7.4-12)第7章微波諧振器根據(jù)定義式(7.1-21)，則得用有耗介質(zhì)填充但腔壁為理想導(dǎo)體的諧振腔的Q值為(7.4-13)此式可用于計(jì)算任意諧振腔模式的Qd。當(dāng)腔壁和填充的介

質(zhì)都存在損耗時(shí)，總的功率損耗為Pc+Pd，由式(7.1-21)，總的Q值則為(7.4-14)第7章微波諧振器例7.4-1用BJ-48銅導(dǎo)波做成的矩形諧振腔，a=4.755cm，

b=2.215

cm，腔內(nèi)填充聚乙烯(εr=2.25，tgδ=0.0004)，其諧振頻率f0=5

GHz，試求所要求的腔長(zhǎng)l與TE101、TE102模式的Q值。解波數(shù)為由式(7.4-5)得到諧振時(shí)的腔長(zhǎng)為(m=1，n=0)第7章微波諧振器對(duì)于p=1的TE101模式，腔長(zhǎng)應(yīng)為對(duì)于p=2的TE102模式，腔長(zhǎng)應(yīng)為l=2(4.65)=9.30(cm)第7章微波諧振器銅的導(dǎo)電率σ=5.813×107

S/m，則表面電阻為而于是由式(7.4-12)，導(dǎo)體損耗的Q值為:對(duì)于TE101模式，Qc=3

380；對(duì)于TE102模式，Qc=3

864。由式(7.4-14)，介質(zhì)損耗的Q值，對(duì)TE101和TE102模式都是Qd=1/tg

δ=1/0.0004=2500。第7章微波諧振器因此，由式(7.4-15)，總的Q值為:對(duì)于TE101模式，Q=(1/3380+1/2500)-1=1437；對(duì)于TE102模式，Q=(1/3864+1/2500)-1=1

518。結(jié)果表明介質(zhì)損耗對(duì)Q值有著重要影響，因此要求較高Q時(shí)一般采用空氣填充的的諧振腔。第7章微波諧振器2.圓形波導(dǎo)諧振腔圓形波導(dǎo)諧振腔(circular

waveguide

carity)簡(jiǎn)稱圓柱形(cylindricalcavity)，是由一段長(zhǎng)度為l兩端短路的圓波導(dǎo)構(gòu)成的，如圖7.4-3所示。實(shí)用的圓柱形腔常用作微波頻率計(jì)或波長(zhǎng)計(jì)，其頂端做成可調(diào)短路活塞，通過調(diào)節(jié)長(zhǎng)度可對(duì)不同頻率調(diào)諧。諧振腔通過小孔與外電路耦合。第7章微波諧振器圖7.4-3圓形波導(dǎo)諧振腔第7章微波諧振器(1)諧振模式圓柱形腔中振蕩模式的電磁場(chǎng)分量可用圓波導(dǎo)的解并考慮反射波而得到。其縱向場(chǎng)為(7.4-15)式中，對(duì)于TEmn模，kc=umn′/a；對(duì)于TMmn模，kc=umn/a，umn和umn′分別是第一類m階貝塞爾函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的第n根值。第7章微波諧振器利用邊界條件:z=0和l處，Hz=0，可得C1=0和βmn=pπ/lp=0，1，2，…于是(7.4-16)第7章微波諧振器腔中TE模橫向場(chǎng)分量與Hz的關(guān)系式為(7.4-17)第7章微波諧振器將式(7.4-16)代入(7.4-17)，得到TEmnp模式場(chǎng)分量為(7.4-18)第7章微波諧振器用同樣方法可求得TMmnp模式的場(chǎng)分量為(7.4-19)第7章微波諧振器結(jié)果表明，圓柱形腔中可以存在無(wú)窮多TE型模式和TM型模式。當(dāng)諧振時(shí)(7.4-20)式中λg為圓波導(dǎo)的軸向波導(dǎo)波長(zhǎng)。第7章微波諧振器(2)諧振頻率由3.1節(jié)的討論知道，TEmn模的傳播常數(shù)為(7.4-21a)TMmn模的傳播常數(shù)則為(7.4-21b)式中，而(7.4-22)第7章微波諧振器因此，圓柱形腔TEmnp模式和TMmnp模式的諧振頻率為(7.4-23)式(7.4-23)可以寫成或者(7.4-24)第7章微波諧振器式中，對(duì)于TEmn模，xmn=u"mn；對(duì)于TMmn模，xmn=umn。將式(7.4-24)繪制成曲線圖，得到如圖7.4-4所示諧振模式圖(mode

chart)。由此圖可確定在什么頻率范圍和2a/l尺寸下只有單個(gè)諧振模式工作(簡(jiǎn)并的兩個(gè)模的諧振頻率相同)。由圖可見，

當(dāng)(2a/l)2在2～3之間，對(duì)應(yīng)的(2af)2在16.3×108～20.4×108間的頻率范圍內(nèi)(圖中所示虛線長(zhǎng)方形框內(nèi))，只有TE011模式

和TM111模式能諧振。若設(shè)法不讓TM111模式激勵(lì)，則在此頻率范圍內(nèi)調(diào)諧時(shí)，就只有TE011模式工作，不會(huì)出現(xiàn)由其它模式引起的寄生諧振。第7章微波諧振器圖7.4-4圓柱形諧振腔的諧振模式圖第7章微波諧振器(3)諧振模式的Q值諧振時(shí)電場(chǎng)儲(chǔ)能與磁場(chǎng)儲(chǔ)能相等，某TEmnp模式(取Hz分量的cos

mφ模為例討論)的總儲(chǔ)能，由式(7.4-18)得到(7.4-25)第7章微波諧振器腔壁內(nèi)的功率損耗為(7.4-26)第7章微波諧振器式(7.4-25)和式(7.4-26)中的H0=Hmnp。由式(7.1-21)，非理想腔壁但介質(zhì)無(wú)耗的TEmnp模式圓柱形腔的Q值為(7.4-27)由式(7.4-21)和式(7.4-22)可知，β=pπ/l和(ka)2對(duì)于尺寸一的諧振腔是不隨頻率變化的常數(shù)，因此，Q值的頻率關(guān)系取決于k/Rs，與頻率的平方根成反比(∝)。第7章微波諧振器TMmnp模式的Q值可由下式求得(7.4-28)圖7.4-5示出幾種模式的歸一化Q值曲線。由圖可見，TE011模式的Q值較低次模式TE111、TM010或TM111模式的Q值高得多。最佳Q值發(fā)生在l2a時(shí)。例如，當(dāng)λ0=3

cm時(shí)，δs/λ02.2×10-5，由圖可以看出，TE011模式的典型Q值范圍是10

000～40

000或者更高；在λ0=10

cm時(shí)，對(duì)應(yīng)的Q值約為λ0=3

cm時(shí)的三倍。第7章微波諧振器對(duì)于TEmnp模式，有耗介質(zhì)內(nèi)的耗散功率為(7.4-29)由式(7.4-21)，介質(zhì)損耗引起的Q值為(7.4-30)式中tg

δ是介質(zhì)材料的損耗正切。式(7.4-30)與矩形腔的式(7.4-13)完全相同。若腔壁和介質(zhì)都有損耗，則諧振腔的總Q值應(yīng)由式(7.4-14)求得。第7章微波諧振器圖7.4-5圓柱形腔幾種模式的歸一化Q值第7章微波諧振器(4)三個(gè)常用模式圓柱形腔與圓形波導(dǎo)的模式相對(duì)應(yīng)，在上述圓柱形諧振腔模式中，較實(shí)用的是TE111、TM010和TE011三個(gè)模式。a.TE111模式當(dāng)l＞2.1

a時(shí)，TE111模式是圓柱形腔的主模。其諧振頻率為(7.4-31)可見諧振頻率與長(zhǎng)度l有關(guān)，因此可采用短路活塞調(diào)節(jié)長(zhǎng)度l來(lái)進(jìn)行調(diào)諧。由于此模式是圓柱形腔的主模，故單模工作的頻帶較寬，?？捎米髦械染葘拵РㄩL(zhǎng)計(jì)；但此模式容易出現(xiàn)極化簡(jiǎn)并現(xiàn)象，致使應(yīng)用受到一定限制，且加工時(shí)對(duì)橢圓度要求高。圖7.4-6(a)表示此模式的場(chǎng)結(jié)構(gòu)。第7章微波諧振器由式(7.4-27)求得TE111模式腔的Q值為(7.4-32)式中δ為金屬導(dǎo)體的趨膚深度。第7章微波諧振器b.TM010模式當(dāng)l＜2.1a時(shí)，TM010模式是圓柱形腔的主模。其諧振波長(zhǎng)為λ0=2.62

a(7.4-33)可見諧振頻率與腔長(zhǎng)無(wú)關(guān)，不能采用短路活塞形式來(lái)進(jìn)行調(diào)諧。調(diào)諧比較困難，致使其應(yīng)用受到一定限制。其調(diào)諧方法通常采用中心軸向加調(diào)諧桿。與圓波導(dǎo)TM01模相似，TM010模式的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別相對(duì)集中于中心軸附近和圓柱壁附近，因此TM010模式圓柱形腔常用作介質(zhì)參數(shù)測(cè)量用微擾腔。其場(chǎng)結(jié)構(gòu)如圖7.4-6(b)所示。第7章微波諧振器圖7.4-6圓柱形腔三個(gè)常用模式的場(chǎng)結(jié)構(gòu)(a)TE111模式；(b)TM010模式；(c)TE011模式第7章微波諧振器由式(7.4-28)可得TM010模式圓柱形腔的Q值為(7.4-34)第7章微波諧振器c.TE011模式由式(7.4-23)可得TE011模式的諧振頻率為(7.4-35)可見諧振頻率與腔長(zhǎng)l有關(guān)，可采用短路活塞調(diào)節(jié)長(zhǎng)度l來(lái)進(jìn)行調(diào)諧。其場(chǎng)結(jié)構(gòu)如圖7.4-6(c)所示。第7章微波諧振器由第三章3.2節(jié)討論知道，TE01模的損耗小，因而TE011模圓柱形腔的Q值很高，是TE111模圓柱形腔Q值的兩倍到三倍。由式(7.4-27)可求得TE011模圓柱形腔的Q值為(7.4-36)由于TE011模腔的Q值高，而頻率分辨率取決于諧振腔的Q值，故TE011模圓柱形腔常用作微波頻率計(jì)。TE011模式的另一優(yōu)點(diǎn)是Hφ=0，因而無(wú)縱向壁電流，只有φ向腔壁電流。這意味著TE011模腔的端板可以自由地移動(dòng)，通常做成軛流式活塞以調(diào)節(jié)腔長(zhǎng)l來(lái)進(jìn)行調(diào)諧，而不會(huì)引入顯著的損耗。然而，由于TE011模式并非圓柱形腔的主模，所以必須謹(jǐn)慎地選擇耦合方式，使在其諧振頻率范圍內(nèi)不會(huì)激勵(lì)起其它可能的諧振模式。第7章微波諧振器例7.4-2直徑d=2a=l的銅制TE011模式圓柱形腔，腔內(nèi)為空氣填充，諧振頻率為5

GHz，求此腔的尺寸與Q值。解λ0=300/5

000=0.06

(m)，k=2π/λ0=104.7

(m-1)由式(7.4-35)，TE011模腔的諧振頻率為第7章微波諧振器于是腔體的半徑為5

GHz時(shí)銅(σ=5.813×107

S/m)的表面電阻為；趨膚深度，代入式(7.4-36)，求得Q11=42

400與例7.4-1工作于相同頻率的TE101模矩形腔的Qc=3

380和TE102模矩形腔的Qc=3864相比，可見TE011模圓柱形腔的Q值高得多。第7章微波諧振器7.5

介質(zhì)諧振器介質(zhì)諧振器(dielectricresonator)是由一小段長(zhǎng)度為l的圓形、矩形或環(huán)形低損耗高介電常數(shù)且高Q的、對(duì)溫度變化穩(wěn)定的介質(zhì)波導(dǎo)制成的，實(shí)用時(shí)，常將它置于波導(dǎo)內(nèi)或微帶線基片上。不同諧振模式的諧振頻率取決于其幾何尺寸及其周圍環(huán)境。介質(zhì)諧振器具有體積小、Q值高、成本低、易與MIC集成等優(yōu)點(diǎn)，可方便地用于設(shè)計(jì)有源和無(wú)源微波電路。介質(zhì)諧振器在原理上類似于金屬波導(dǎo)諧振腔。介質(zhì)的高介電常數(shù)保證了絕大部分場(chǎng)集中在介質(zhì)諧振器內(nèi)部；但與金屬腔不同，介質(zhì)諧振器的邊界是開放的，會(huì)有一小部分場(chǎng)從介質(zhì)諧振器周邊和兩端漏出，即介質(zhì)諧振器外面有一定的邊緣場(chǎng)。第7章微波諧振器介質(zhì)諧振器常用材料的介電常數(shù)為37≤εr≤100，典型例子是二氧化鈦(titaniumdioxide)和鈦酸鋇(bariumtitanate)在相同頻率下介質(zhì)諧振器的尺寸比金屬腔為小，約為其倍。若采用的介質(zhì)材料εr高，則電場(chǎng)和磁場(chǎng)緊緊被束縛在諧振器附近，輻射損耗很低，則介質(zhì)諧振器的無(wú)載Q值只決定于介質(zhì)損耗；若所用的介電常數(shù)較低，其輻射損耗較大，就要對(duì)介質(zhì)諧振器加以屏蔽。第7章微波諧振器介質(zhì)諧振器的技術(shù)指標(biāo)主要是εr、Q值和頻率溫度系數(shù)ηf；其主要求解的特性參數(shù)是諧振頻率。嚴(yán)格求解介質(zhì)諧振器的

諧振頻率比較困難，一般采用近似方法。早期的方法是磁壁

模型法，即將介質(zhì)諧振器的邊界都視為磁壁來(lái)分析。這種方

法的誤差較大，達(dá)10%以上?，F(xiàn)在較精確的方法有混合磁壁法、開波導(dǎo)法、變分法等。下面分別討論孤立和屏蔽圓柱形介質(zhì)諧振器諧振頻率的求解方法，介紹介質(zhì)諧振器與微帶線電路的耦合與計(jì)算及頻率調(diào)整方法。第7章微波諧振器1.孤立圓柱形介質(zhì)諧振器孤立的圓柱形介質(zhì)諧振器如圖7.5-1(a)所示，設(shè)介質(zhì)為均勻、無(wú)耗，相對(duì)介電常數(shù)為εr，半徑為a，長(zhǎng)度為l。實(shí)用的圓柱形介質(zhì)諧振器多數(shù)以TE01δ模式工作，下面用混合磁壁法來(lái)求解TE模式的諧振頻率?；旌洗疟诜ㄊ菍A柱形介質(zhì)諧振器看成一段圓柱形介質(zhì)波導(dǎo)，上下的空氣區(qū)域看成截止波導(dǎo)，假設(shè)r=a的圓柱面為磁壁邊界條件，如圖7.5-1(b)所示。第7章微波諧振器圖7.5-1(a)圓柱形介質(zhì)諧振器；(b)混合磁壁法第7章微波諧振器TE模的Ez=0，Hz滿足如下方程:(7.5-1)式中(7.5-2)橫向場(chǎng)分量可由Hz求得:(7.5-3)第7章微波諧振器場(chǎng)在介質(zhì)內(nèi)應(yīng)呈駐波分布，在介質(zhì)外應(yīng)為衰減狀態(tài)。用分離變量法可求得式(7.5-1)的解為(7.5-4)式中(7.5-5)第7章微波諧振器將式(7.5-4)代入式(7.5-3)可求得其它場(chǎng)分量。已假設(shè)r=a的圓柱面為磁壁，則該處的Hz必須為零，于是有Jm(kca)=0。由此得到(7.5-6)式中，umn是第一類m階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)零點(diǎn)，相應(yīng)的截止波數(shù)。在｜z｜=l/2的端面上，切向場(chǎng)必須連續(xù)，即應(yīng)有為。由此得到Am

cos

(βl/2+θ)=BmAm

β

sin

(βl/2+θ)=αBm第7章微波諧振器由此兩式消去Am和Bm，得到β

tg

(βl/2+θ)=α(7.5-7)式中θ為初相角，考慮到結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，場(chǎng)分量Hz關(guān)于z=0應(yīng)為偶函數(shù)，于是應(yīng)取θ=-pπ/2(p=0，1,2，…)。因此式(7.5-7)變成β

tg

(βl/2-pπ/2)=α由此求得(7.5-8)第7章微波諧振器此即圓柱形介質(zhì)諧振器TE模式的特征方程。式中δπ=2arctg(α/β)＜π，故有0＜δ＜1，而p是場(chǎng)沿z向分布的半駐波這樣，圓柱形介質(zhì)諧振器TE模式可表示成TEmn，δ+p，最低次模式為TE01δ模式。圖7.5-2表示TE01δ模式的場(chǎng)結(jié)構(gòu)，其磁力線在子午面上，而電力線是繞z軸的同心圓。從遠(yuǎn)處看，這種模式好像一個(gè)磁偶極子，故有時(shí)稱之為磁偶極子模。當(dāng)εr約為40時(shí)，TE01δ模中貯存的95%以上的電能及60%以上的磁能位于介質(zhì)諧振器里面，其余能量分布在其周圍空氣中，且隨著離諧振器表面距離的增大而迅速衰減。第7章微波諧振器圖7.5-2孤立圓柱形介質(zhì)諧振器TE01δ模式的場(chǎng)結(jié)構(gòu)第7章微波諧振器實(shí)用的圓柱形介質(zhì)諧振器多選用TE01δ模式工作。此模式有如下優(yōu)點(diǎn):①電場(chǎng)和磁場(chǎng)都是圓對(duì)稱的，與微帶線的耦合很方便；②能量在介質(zhì)諧振器內(nèi)的集中程度高，其周圍的金屬引入的損耗小，介質(zhì)諧振器置于微帶線基片上的Q值變化較?。虎勰Ｊ饺菀妆嬲J(rèn)，其電性能容易比較精確地測(cè)量；④Q值較高。此模式的缺點(diǎn)是頻率特性比較陡，TE01δ模式介質(zhì)諧振器的穩(wěn)定調(diào)諧帶寬比較窄。第7章微波諧振器由式(7.5-8)和式(7.5-5)、(7.5-6)求得β、kc后，諧振頻則可由下式求得:(7.5-9)式(7.5-9)的求值需要使用計(jì)算機(jī)，不便工程使用。卡杰費(fèi)斯(Kajfez)［26］給出了孤立的TE01δ模式圓柱形介質(zhì)諧振器諧振頻率近似式:(7.5-10a)式中諧振器的半徑a和高度l的單位為mm；在下列范圍內(nèi)，上式的精度約為2%:(7.5-10b)第7章微波諧振器孤立介質(zhì)諧振器的無(wú)載Q值，取決于介質(zhì)材料本身的Q值。εr為100左右或更高的介質(zhì)諧振器，其無(wú)載Q值可用下式近似估算:(7.5-11)式中tg

δ為介質(zhì)材料的損耗正切。介質(zhì)諧振器常用材料的tgδ典型值為0.000

1～0.000

2，于是Q0值約為5000～10000。第7章微波諧振器2.屏蔽的圓柱形介質(zhì)諧振器實(shí)用的介質(zhì)諧振器都是放在波導(dǎo)中或微帶線基片上，屏蔽條件的引入將使諧振器的諧振頻率產(chǎn)生偏移，使其Q值降低。下面先介紹用開波導(dǎo)法求解圓柱形介質(zhì)諧振器TEon，δ+p模式的諧振頻率。圖7.5-3(a)表示置于微帶線基片上的圓柱形介質(zhì)諧振器的截面圖，圖(b)為其分區(qū)圖。圖中。陰影區(qū)⑤、⑥中的場(chǎng)忽略不計(jì)。式(7.5-1)在各區(qū)域中的解為(7.5-12)第7章微波諧振器式中(7.5-13)J0( )和K0()分別為零階貝塞爾函數(shù)和第二類變態(tài)貝塞爾函數(shù)；A1～A4、θ是待定常數(shù)。第7章微波諧振器圖7.5-3屏蔽圓柱形介質(zhì)諧振器及其分區(qū)第7章微波諧振器橫向場(chǎng)分量可由式(7.5-3)求得。TEon，δ+p模式只有Hz、Hr和Eφ

三個(gè)分量。由r=a處Hz、Eφ

連續(xù)條件，可以得到(7.5-14)式中，可以得到。又由z=l處Hr、Eφ連續(xù)條件，β

ctg

(βl+θ)=α3

cth

α3(H-l)或者(7.5-15)第7章微波諧振器由z=0處Hr、Eφ

連續(xù)條件則可得β

ctg

θ=α4

cth

α4

h或者(7.5-16)由式(7.5-15)和式(7.5-16)，得到方程(7.5-17)第7章微波諧振器由式(7.5-13)、(7.5-14)和式(7.5-17)求得諧振頻率可由下式求得和β(7.5-18)式中c為光速。由式(7.5-17)可見，諧振頻率與屏蔽盒蓋高度H有關(guān)。調(diào)節(jié)此高度可調(diào)整屏蔽介質(zhì)諧振器的諧振頻率。第7章微波諧振器上述公式不便工程使用。卡杰費(fèi)斯給出了給定諧振頻率時(shí)MＩC中TE01δ模式圓柱形介質(zhì)諧振器幾何尺寸的計(jì)算方法:(Ⅰ)諧振器的直徑(d=2a)選定在如下范圍內(nèi):(7.5-19)(Ⅱ)計(jì)算值(7.5-20)式中(7.5-21)第7章微波諧振器計(jì)算TE01δ模式的傳播常數(shù)β(7.5-22)估算衰減常數(shù)α3和α4(7.5-23)求諧振器的高度l(7.5-24)第7章微波諧振器諧振器與微帶線之間的距離則需根據(jù)其間耦合的外部Q值來(lái)確定，見下面分析。當(dāng)已知介質(zhì)諧振器的幾何尺寸時(shí)，亦可用上述各式來(lái)確定介質(zhì)諧振器的諧振頻率。屏蔽條件將使諧振器Q值降低。部件封裝盒的金屬壁、介質(zhì)材料及固定介質(zhì)諧振器用的粘合劑等所引起的損耗及其它因素，一般會(huì)使Q值降低約10%至20%。介質(zhì)諧振器總的Q值應(yīng)按式(7.5-14)計(jì)算。第7章微波諧振器3.MIC中介質(zhì)諧振器與電路的耦合為了在微波電路設(shè)計(jì)中有效地使用介質(zhì)諧振器，有必要較準(zhǔn)確地知道介質(zhì)諧振器與各種傳輸線的耦合狀況。圓柱形介質(zhì)諧振器的TE01δ?？梢院芊奖愕嘏c微帶線、鰭線、磁環(huán)、金屬波導(dǎo)及介質(zhì)波導(dǎo)等耦合。這里討論最常用的TE01δ模與微帶線的耦合。圖7.5-4表示介質(zhì)諧振器與微帶線之間的磁耦合。其耦合大小主要是由其間的側(cè)距d確定。第7章微波諧振器圖7.5-4介質(zhì)諧振器與微帶線的耦合第7章微波諧振器TE01δ?？捎靡淮排紭O矩M來(lái)近似表示。使M方向與微帶線平面(截面)相垂直，則諧振器的磁力線與微帶線的磁力線交鏈。置于微帶線鄰近的介質(zhì)諧振器的工作便類似于一個(gè)反應(yīng)式諧振腔，在諧振頻率時(shí)，它反射微波能量，其等效電路如圖7.5-5所示，圖中Lr、Cr和Rr是介質(zhì)諧振器的等效參量，L1、C1和R1是微帶線的等效參量，Lm為兩者間的磁耦合參量。由變壓器折換過來(lái)與傳輸線串聯(lián)的諧振器阻抗Z為(7.5-25)第7章微波諧振器在中心頻率附近，ωL1可以忽略，于是Z簡(jiǎn)化為(7.5-26)式中，X=2Q0Δω/ω，諧振器的無(wú)載Q0值和諧振頻率分別為(7.5-27a)(7.5-27b)在諧振頻率ω0時(shí)，X=0，則(7.5-28)第7章微波諧振器此式表明，圖7.5-5所示的等效電路可用圖7.5-6所示的簡(jiǎn)化并聯(lián)諧振電路來(lái)表示，圖中L、C和R如下式所示:(7.5-29)定義諧振頻率ω0時(shí)的耦合系數(shù)β為(7.5-30)耦合系數(shù)β也可用能直接測(cè)量的耦合諧振器在諧振頻率時(shí)的反射系數(shù)S110和傳輸系數(shù)S210表示成(7.5-31)第7章微波諧振器圖7.5-5與微帶線耦合的介質(zhì)諧振器等效電路第7章微波諧振器圖7.5-6(a)簡(jiǎn)化等效電路；(b)最終等效電路第7章微波諧振器而無(wú)載、有載和外部品質(zhì)因數(shù)(Q0、QL和Qe)之間有關(guān)系Q0=QL(1+β)=Qeβ(7.5-32)而Qe(=Q0/β)可用來(lái)表征耦合度，由Qe便可決定耦合間距d。第7章微波諧振器7.6

法布里-珀羅諧振器1.法布里-珀羅諧振腔的工作原理圖7.6-1(a)表示由兩塊平行導(dǎo)體板構(gòu)成的法布里-珀羅諧振腔，(b)為其正視圖。假設(shè)兩平行平板無(wú)限大，則在其間可以存在如下TEM駐波場(chǎng)(a>>λr，b>>λr；d>>λr；d＜α，d＜b，且忽略邊緣場(chǎng)):(7.6-1)第7章微波諧振器式中，E0為任意振幅常數(shù)，η0=377

Ω是自由空間固有阻抗。式(7.6-1)的場(chǎng)滿足邊界條件Ex|z=0=0；為了滿足另一邊界條件|Ex|z=d=0，則要求k0d=pπ由此得到諧振頻率為p=1，2，3，…(7.6-2)(7.6-3)第7章微波諧振器圖7.6-1理想法布里-珀羅諧振腔第7章微波諧振器這種諧振腔的Q值的推導(dǎo)如下:截面1

m2的電場(chǎng)儲(chǔ)能為(7.6-4)1

m2的磁場(chǎng)儲(chǔ)能為(7.6-5)可見磁場(chǎng)儲(chǔ)能等于電場(chǎng)儲(chǔ)能。兩個(gè)導(dǎo)體平板1

m2的功率損耗為(7.6-6)第7章微波諧振器因此，由于導(dǎo)體損耗的Q值為(7.6-7)結(jié)果說(shuō)明，這種開式腔的Q值與模數(shù)p成正比，即隨模數(shù)增多而增大。其模數(shù)p常為幾千或更大。假如在平板之間區(qū)域填充損耗正切tg

δ的介質(zhì)材料，則由于介質(zhì)損耗的Q值為(7.6-8)不過在這種開式腔中極少用介質(zhì)，以免降低Q值。第7章微波諧振器2.開式諧振腔的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是開式諧振腔的一個(gè)實(shí)際問題。這里我們定性地討論曲面鏡開式諧振腔的一些特性。圖7.6-2表示曲面鏡開式腔的一般結(jié)構(gòu)，兩個(gè)半徑分別為R1和R2的球面鏡，相距為d。根據(jù)球面鏡的聚焦特性，諧振腔中的能量可以被限制在鏡面軸線附近的窄小區(qū)域內(nèi)(穩(wěn)定型)；也有可能擴(kuò)展出鏡面邊緣以外(不穩(wěn)定型)。后者將導(dǎo)致很大的損耗。第7章微波諧振器圖7.6-2用球面鏡構(gòu)成的開式諧振腔第7章微波諧振器應(yīng)用幾何光學(xué)可以證明，當(dāng)滿足如下條件時(shí)，圖7.6-2所示開式諧振腔可形成穩(wěn)定的模式［28］:(7.6-9)其穩(wěn)定性判據(jù)可用圖7.6-3所示曲線圖來(lái)表示。式(7.6-9)左邊不等式的邊界是d/R1=1和d/R2=1的直線；式(7.6-9)右邊不等式的邊界則是在d/R1=/R2=1的交點(diǎn)處有焦點(diǎn)的雙曲線。據(jù)此

我們可以解釋一些結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性:①平行板諧振器:其結(jié)構(gòu)如同圖7.6-1，曲率半徑R1=R2=∞因此，這種結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)于圖7.6-3中的原點(diǎn)d/R1=d/R2=0，正好

在穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)的邊界上，因此任何不規(guī)則性，例如鏡面

的不平行度，都將使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。顯然，這種平行

板開式腔結(jié)構(gòu)不實(shí)用。第7章微波諧振器圖7.6-3開式腔的穩(wěn)定性圖第7章微波諧振器②共焦諧振器:此種情況下，R1=R2=d，位于圖7.6-3的(1，1)點(diǎn)。這種諧振器可用穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)之間的某個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，因此對(duì)不規(guī)則性很敏感。③同心諧振器:這種情況下，R1=R2=d/2，兩鏡面具有相同的中心，對(duì)應(yīng)于圖7.6-3的(2，2)點(diǎn)，故稱為同心諧振器。這種諧振器結(jié)構(gòu)也位于穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)的邊緣處。④穩(wěn)定的諧振器:選擇d/R1=d/R20.6的對(duì)稱球形諧振器即可做成穩(wěn)定的諧振器。這種情況的諧振器處于共焦和平行板諧振器的設(shè)計(jì)之間；也可以選擇d/R1=d/R21.4。這種情況下的諧振器則是處于共焦和同心諧振器的設(shè)計(jì)之間。為了確保諧振器穩(wěn)定地工作，我們可以選取R1=R2=2d或

R1=R2=2d/3。它們分別對(duì)應(yīng)于圖7.6-3中的點(diǎn)(0.5，0.5)和

(1.5，1.5)。第7章微波諧振器7.7

諧振器的激勵(lì)1.激勵(lì)方式諧振器與外電路的激勵(lì)方式(或稱耦合方式)隨導(dǎo)行系統(tǒng)和諧振器的結(jié)構(gòu)而異，常用的方式有:直接耦合、探針或環(huán)耦合、孔耦合。直接耦合常見于微波濾波器中，如圖7.7-1所示，其中圖

(a)是以縫隙耦合的微帶線諧振器；圖(b)是用膜片直接耦合的波導(dǎo)諧振器；圖(c)是與微帶線直接耦合的介質(zhì)諧振器。在直接耦合機(jī)構(gòu)中，電磁波徑導(dǎo)行系統(tǒng)耦合到諧振器的過程中，不會(huì)因耦合機(jī)構(gòu)而改變模式，耦合機(jī)構(gòu)僅起變換器作用，可

用一個(gè)變換器來(lái)等效。第7章微波諧振器圖7.7-1諧振器與導(dǎo)行系統(tǒng)的直接耦合第7章微波諧振器探針耦合和環(huán)耦合常用于諧振器與同軸線之間的耦合，如圖7.7-2所示。由于耦合結(jié)構(gòu)很小，可以認(rèn)為探針或環(huán)處的電場(chǎng)或磁場(chǎng)是均勻的，這樣，圖(a)所示探針在電場(chǎng)作用下就成為一個(gè)電偶極子，通過電偶極矩的作用，使諧振器與同軸線相耦合，故探針耦合又稱為電耦合；圖(b)所示耦合環(huán)在磁場(chǎng)作用下就成為一個(gè)磁偶極子，通過其磁矩的作用，使諧振器與同軸線耦合起來(lái)，故環(huán)耦合又稱為磁耦合。第7章微波諧振器圖7.7-2諧振器與同軸線的耦合第7章微波諧振器孔耦合常用于諧振器與波導(dǎo)之間的耦合，如圖7.7-3所示。圖(a)的耦合為磁耦合；圖(b)的耦合孔很小的話，也主要是磁耦合；圖(c)的耦合也是磁耦合?？梢娭C振器與波導(dǎo)之間的孔耦合主要是磁場(chǎng)耦合，因?yàn)樵诳滋幉▽?dǎo)壁附近的

磁場(chǎng)比較強(qiáng)，而小孔中的模式主要是TM01模。耦合孔(又稱為窗孔)應(yīng)設(shè)置在諧振器與輸入波導(dǎo)之間以使諧振器中模式的場(chǎng)分量與輸入波導(dǎo)的場(chǎng)分量方向一致。第7章微波諧振器圖7.7-3諧振器與波導(dǎo)的孔耦合(a)波導(dǎo)終端的孔耦合；(b)波導(dǎo)寬邊的孔耦合；(c)波導(dǎo)窄邊的孔耦合；(d)用波導(dǎo)喇叭饋電的開式諧振腔第7章微波諧振器2.耦合的影響微波諧振器與外電路耦合以后，諧振器的特性將與孤立狀態(tài)有所不同，外電路要通過耦合機(jī)構(gòu)對(duì)諧振器的特性產(chǎn)生影響。其影響有二:一是要在諧振器中引入一個(gè)電抗，使諧振器失諧，即使諧振頻率改變；另一是在諧振器中引入一個(gè)電阻，使諧振器的能量損耗增大，從而使其Q值降低。第7章微波諧振器容易理解，與外電路耦合的諧振器，其功率損耗包括

諧振器本身的損耗Ps和外電路負(fù)載上的損耗Pe兩部分，即Pl=Ps+Pe

。有負(fù)載時(shí)諧振器的Q值稱為有載Q值(loadedquality

factor)，以QL表示，則根據(jù)定義式(7.1-21)，得到或者(7.7-1)式中Qe稱為外部Q值(external

Q)第7章微波諧振器外部Qe值表示外電路(或負(fù)載)對(duì)諧振器的影響，是諧振器與外電路之間耦合的量度，與耦合機(jī)構(gòu)有關(guān)。改變耦合，Q0值不變，Qe卻隨之改變。定義Q0與Qe之比值為耦合系數(shù)(coupling

coefficient)β:(7.7-2)顯然，Qe越大、β越小，表示耦合越松；反之，Qe越小，β越大，表示耦合越緊。這樣，根據(jù)所要求Qe值(或β值)就可設(shè)計(jì)所需耦合機(jī)構(gòu)。第7章微波諧振器有載Q值也可用耦合系數(shù)表示為(7.7-3)如果諧振器有N個(gè)匹配的耦合端口，則諧振器的有載Q值為(7.7-4)第7章微波諧振器根據(jù)耦合系數(shù)的大小，有三種耦合狀態(tài):①β＜1稱諧振器與饋線為欠耦合(under

coupling)或松耦(loose

coupling)。②β=1稱諧振器與饋線為臨界耦合(critical

coupling)。③β＞1稱諧振器與饋線為過耦合(over

coupling)或緊耦合(tight

coupling)。臨界耦合狀態(tài)下，諧振器在諧振時(shí)與饋線實(shí)現(xiàn)匹配，諧振器和饋線之間獲得最大的功率傳輸。這可用圖7.7-4所示串聯(lián)諧振電路與饋線的的耦合為例來(lái)說(shuō)明。由式(7.2-10a)、圖7.7-4所示的串聯(lián)諧振電路在諧振頻率附近(ω0±Δω)的輸入阻抗為(7.7-5)第7章微波諧振器圖7.7-4串聯(lián)諧振電路與饋線的耦合第7章微波諧振器其無(wú)載Q值為(7.7-6)諧振時(shí)，Δω=0，因此由式(7.7-5)，輸入阻抗為Zin=R；為使諧振器與饋線匹配，必須有R=Z0，則無(wú)載Q值為(7.7-7)由式(7.1-21)，外部Q值為(7.7-8)因此有(7.7-9)即表明在臨界耦合狀態(tài)下，外部Q值與無(wú)載Q值相等。第7章微波諧振器3.阻尼因子諧振電路的重要參數(shù)之一是阻尼因子δd。它是當(dāng)激勵(lì)源去掉時(shí)振蕩衰減速率的量度。對(duì)于高Q諧振電路，儲(chǔ)能衰減速率與平均儲(chǔ)能W0成正比，因此儲(chǔ)能W隨時(shí)間的衰減關(guān)系為(7.7-10)由此求得(7.7-11)可見阻尼因子與諧振電路的Q值成反比。當(dāng)諧振器與外電路耦合時(shí)，式中Q應(yīng)用有載QL來(lái)代替。第7章微波諧振器這樣，當(dāng)用復(fù)諧振頻率ωc(7.7-12)來(lái)處理?yè)p耗作用時(shí)，由式(7.2-19a)表示的諧振頻率鄰近諧振電路的輸入阻抗Zin就可改寫成(7.7-13)式中參數(shù)R/Q稱之為諧振電路的優(yōu)值，它反映諧振器對(duì)增益帶寬積的影響程度。用諧振電路的集總元件可表示成(7.7-14)第7章微波諧振器4.縫隙耦合微帶線諧振器考慮圖7.7-1(a)所示縫隙耦合λ/2開路微帶線諧振器，其微帶線縫隙可近似等效為一串聯(lián)電容，整個(gè)縫隙耦合微帶諧振器的等效電路如圖7.7-5所示。由饋線向諧振器看去的歸一化輸入阻抗為(7.7-15)式中bC=Z0ωC是耦合電容C的歸一化電納。當(dāng)zin=0時(shí)出現(xiàn)諧振，因而得到tg

βl+bC=0(7.7-16)此超越方程的解如圖7.7-6所示。實(shí)用中bC<<1，因而第一個(gè)諧振頻率ω1接近但小于βl=π的頻率(無(wú)載諧振器的第一個(gè)諧振頻率)?？梢婑詈系挠绊懯怪C振頻率降低。第7章微波諧振器圖7.7-5圖7.7-1(a)的等效電路第7章微波諧振器圖7.7-6式(7.7-16)的圖解第7章微波諧振器將耦合諧振器的歸一化輸入阻抗用關(guān)于ω1的泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)展開，并假定bC很小，則有(7.7-17)由式(7.7-15)和式(7.7-16)，zin(ω1)=0，于是這是因?yàn)閎

C<<1，lπvp/ω1，vp是傳輸線(假定為TEM線)的相速度。因此歸一化阻抗可以寫成(7.7-18)第7章微波諧振器至此未考慮諧振器的損耗。對(duì)于高Q諧振器，損耗可用復(fù)頻率ω1(1+j/2Q)代替ω1來(lái)考慮。這樣就得到縫隙耦合有耗微帶線諧振器的歸一化輸入阻抗為(7.7-19)需要注意的是，無(wú)耦合的λ/2開路線諧振器在諧振附近等效為一并聯(lián)RLC電路，而現(xiàn)在縫隙耦合λ/2開路線諧振器則等效為串聯(lián)RLC電路，這是因?yàn)榇?lián)耦合電容相當(dāng)為一阻抗倒置器。因此諧振時(shí)的輸入電阻為

。對(duì)于臨界耦合，R=Z0，因此得到(7.7-