第1講二次函數(shù)概念與圖像【知識(shí)點(diǎn)一】二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,b,c為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù).若b=0，則y=ax2+c；若c=0，則y=ax2+bx；若b=c=0，則y=ax2.以上三種形式都是二次函數(shù)的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函數(shù)的一般式.例1．下列函數(shù)表達(dá)式中，一定是二次函數(shù)的是（）A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2+變式1．若關(guān)于x的函數(shù)y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠2 C．a(chǎn)＜2 D．a(chǎn)＞2變式2．下列關(guān)系式中，屬于二次函數(shù)的是（x是自變量）（）A．y=13x2 B．y=x2?1 C．y=1x2變式3．若二次函數(shù)y＝（2x﹣1）2+1的二次項(xiàng)系數(shù)為a，一次項(xiàng)系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)為c，則b2﹣4ac0（填寫(xiě)“＞”或“＜”或“＝”）變式4．下列關(guān)系中，是二次函數(shù)關(guān)系的是（）A．當(dāng)距離S一定時(shí)，汽車(chē)行駛的時(shí)間t與速度v之間的關(guān)系 B．在彈性限度時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度y與所掛物體的質(zhì)量x之間的關(guān)系 C．圓的面積S與圓的半徑r之間的關(guān)系 D．正方形的周長(zhǎng)C與邊長(zhǎng)a之間的關(guān)系變式5．圓的面積公式S＝πR2中，S與R之間的關(guān)系是（）A．S是R的正比例函數(shù) B．S是R的一次函數(shù) C．S是R的二次函數(shù) D．以上答案都不對(duì)【知識(shí)點(diǎn)二】二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象及性質(zhì)1.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象，如圖，它是一條關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)，這樣的曲線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)。因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y=x2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以y軸是這條拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，從圖上看，拋物線(xiàn)y=x2的頂點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn)。因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y=x2有最低點(diǎn)，所以函數(shù)y=x2有最小值，它的最小值就是最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).2.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的畫(huà)法用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象時(shí)，應(yīng)在頂點(diǎn)的左、右兩側(cè)對(duì)稱(chēng)地選取自變量x的值，然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的y值，這樣的對(duì)應(yīng)值選取越密集，描出的圖象越準(zhǔn)確.3.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象的性質(zhì)，見(jiàn)下表：函數(shù)圖象開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸函數(shù)變化最大（?。┲祔=ax2a>0向上（0，0）y軸x>0時(shí)，y隨x增大而增大；x<0時(shí)，y隨x增大而減小.當(dāng)x=0時(shí)，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y軸x>0時(shí)，y隨x增大而減小；x<0時(shí)，y隨x增大而增大.當(dāng)x=0時(shí)，y最大=0例2．在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出下列函數(shù)的圖象：①y＝x2；②y＝2x2；③y＝﹣x2；④y＝﹣2x2．從圖象對(duì)比，說(shuō)出解析式中二次項(xiàng)系數(shù)a對(duì)拋物線(xiàn)的形狀有什么影響？變式1．將函數(shù)y＝kx2與y＝kx+k的圖象畫(huà)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，可能的是（）A． B． C． D．變式2．已知四個(gè)二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么a1，a2，a3，a4的大小關(guān)系是．（請(qǐng)用“＞”連接排序）【知識(shí)點(diǎn)三】二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象的性質(zhì)關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)，主要從拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、函數(shù)值的增減性以及函數(shù)的最大值或最小值等方面來(lái)研究．下面結(jié)合圖象，將其性質(zhì)列表歸納如下：函數(shù)圖象開(kāi)口方向向上向下頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，c)(0，c)對(duì)稱(chēng)軸y軸y軸函數(shù)變化當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大.最大（?。┲诞?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，例3．二次函數(shù)y＝﹣2x2﹣1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（0，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）變式1．拋物線(xiàn)y＝x2+1的對(duì)稱(chēng)軸是（）A．直線(xiàn)x＝﹣1 B．直線(xiàn)x＝1 C．直線(xiàn)x＝0 D．直線(xiàn)y＝1變式2．拋物線(xiàn)y＝x2﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（2，0）變式3．在直角坐標(biāo)系中畫(huà)山函數(shù)圖象，并求出y＝﹣x2+2的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．變式4．一次函數(shù)y＝kx+4與二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），另一個(gè)交點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，求k，a，c的值?！局R(shí)點(diǎn)四】函數(shù)與函數(shù)的圖象與性質(zhì)的圖象與性質(zhì)的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上x(chóng)=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．的圖象與性質(zhì)的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上x(chóng)=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．例4對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說(shuō)法不正確的是（）A．開(kāi)口向上 B．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為， D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小變式1二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2的圖象大致是（）A． B． C． D．變式2在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+c和二次函數(shù)y＝a（x+c）2的圖象大致為（）A． B． C． D．變式3已知二次函數(shù)y=（x+1）2﹣4，寫(xiě)出拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸.作業(yè)題1．下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)，哪些不是？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由（1）y＝3（x﹣1）2+2018；（2）y=12x（3）y＝（3x﹣1）2﹣9x2；（4）y=12x2．如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)①y＝3x2；②y=2x2；③y＝x2的圖象，則從里到外的三條拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)依次是（）A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②①3．對(duì)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）A．開(kāi)口向下 B．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y有最大值是2 C．對(duì)稱(chēng)軸是x＝﹣1 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）4．二次函數(shù)y＝x2+1的圖象大致是（）A． B． C． D．5．二次函數(shù)y＝2（x+2）2﹣1的圖象是