專題06三角形的內角和與外角壓軸題六種模型全攻略考點一三角形內角和定理的證明考點二與平行線有關的三角的內角和問題考點三與角平分線有關的三角的內角和問題考點四三角形折疊中的角度問題考點五三角形內角和定理的應用考點六三角形外角的定義和性質典型例題典型例題考點一三角形內角和定理的證明例題：（2021·廣西·靖西市教學研究室八年級期末）（1）如圖①，直線DE經(jīng)過點A，DE∥BC．若∠B＝45°，∠C＝58°，那么∠DAB＝；∠EAC＝；∠BAC＝．(在空格上填寫度數(shù)）（2）求證：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°．【答案】（1）45°；58°；77°（2）見解析【解析】【分析】（1）通過平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等，可分別求出：，．由圖可知：，可求出：．（2）過點A作，通過平行線的性質，可得：，所以．【詳解】（1）解：，，，，故答案是：45°，58°，77°；（2）證明：過點A作，【點睛】本題主要考查知識點為，平行線的性質．即：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補．熟練掌握平行線的性質是解決本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·全國·八年級專題練習）在小學，我們曾經(jīng)通過動手操作，利用拼圖的方法研究了三角形三個內角的數(shù)量關系．如圖，把三角形ABC分成三部分，然后以某一頂點（如點B）為集中點，把三個角拼在一起，觀察發(fā)現(xiàn)恰好構成了平角，從而得到了“三角形三個內角的和是180°”的結論．但是，通過本學期的學習我們知道：由觀察、實驗、歸納、類比、猜想得到的結論還需要通過證明來確認它的正確性．小聰認真研究了拼圖的操作方法，形成了證明命題“三角形三個內角的和是180°”的思路：①畫出命題對應的幾何圖形；②寫出已知，求證；③受拼接方法的啟發(fā)畫出輔助線；④寫出證明過程．請你參考小聰解決問題的思路，寫出證明該命題的完整過程．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)要求畫出△ABC，寫出已知，求證．構造平行線，利用平行線的性質解決問題即可．【詳解】解：已知：△ABC．求證：∠A+∠B+∠C=180°．證明：如圖，延長CB到F，過點B作BE∥AC．∵BE∥AC，∴∠1=∠4，∠5=∠3，∵∠2+∠4+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°，即∠A+∠ABC+∠C=180°．【點睛】本題考查三角形內角和定理的證明，平行線的性質，平角的定義等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題．2．（2022·北京·中考真題）下面是證明三角形內角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．三角形內角和定理：三角形三個內角和等于180°，已知：如圖，,求證：方法一證明：如圖，過點A作方法二證明：如圖，過點C作【答案】答案見解析【解析】【分析】選擇方法一，過點作，依據(jù)平行線的性質，即可得到，，再根據(jù)平角的定義，即可得到三角形的內角和為．【詳解】證明：過點作，則，．兩直線平行，內錯角相等）點，，在同一條直線上，．（平角的定義）．即三角形的內角和為．【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及三角形內角和定理的運用，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．考點二與平行線有關的三角的內角和問題例題：（2022·山東泰安·一模）如圖，ABCD，分別與，交于點，．若，，則______．【答案】【解析】【分析】通過兩直線平行，同位角相等，求出∠ABE的度數(shù)，再利用三角形內角和定理求解．【詳解】解：，，在△ABE中，，，．故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質，三角形的內角和定理，靈活運用平行線的性質和三角形內角和定理是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·江西南昌·模擬預測）如圖，直線，被直線，所截．若//，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由兩直線平行，同旁內角互補求出∠CGE的度數(shù)，再由三角形的內角和定理求得∠3的度數(shù)．【詳解】解：∵//，，∴∠CGE＝180°－∠1＝104°，∵∠2＋∠3＋∠CGE＝180°，，∴∠3＝180°－∠2－∠CGE＝40°．故選：C【點睛】此題考查了平行線的性質、三角形的內角和定理，熟練掌握相關性質和定理是解題的關鍵．2．（2022·全國·八年級課時練習）如圖所示，直線，直線c與直線a，b分別相交于點A、點B，AM⊥b，垂足為點M，若∠1＝56°，則∠2＝______．【答案】34°##34度【解析】【分析】先根據(jù)平行線的性質得出∠ABM的度數(shù)，再由三角形內角和定理求出∠2的度數(shù)即可．【詳解】：解：∵直線，∠1＝56°，∴∠ABM＝∠1＝56°，∵AM⊥b，垂足為點M，∴∠AMB＝90°，∴∠2＝180°?∠AMB?∠ABM＝180°?56°?90°＝34°，故答案為：34°．【點睛】本題考查三角形中求角度問題，涉及到平行線的性質、三角形內角和定理，在求角度問題中，熟練運用三角形內角和是180°是解決問題的關鍵．考點三與角平分線有關的三角的內角和問題例題：（2022·江蘇·南京市第十三中學七年級期中）在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P，若∠P=125°，則∠A=_____°【答案】70【解析】【分析】依據(jù)BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，可得∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，再根據(jù)三角形內角和定理，即可求得∠ABC+∠ACB=110°，即可求得∠A的度數(shù)．【詳解】解：BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，，∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=55°，∠ABC+∠ACB=110°，，故答案為：70．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，角平分線定義，能正確運用定理進行推理是解此題的關鍵．【變式訓練】1.（2022·福建省福州屏東中學七年級期末）如圖，在中，AD是高，AE是角平分線．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)14°(2)9°【解析】【分析】先求∠DAC=30°，再求∠BAC=180°-32°-60°=88°，根據(jù)角的平分線計算∠EAC=，求得∠DAE=14°．(2)根據(jù)∠DAE====，代入計算即可．(1)∵AD是高，AE是角平分線，，，∴∠DAC=30°，∠BAC=180°-32°-60°=88°，∴∠EAC=，∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=44°-30°=14°．(2)∵∠DAE====，，∴∠DAE=9°．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，直角三角形性質，角的平分線意義，熟練掌握三角形內角和定理，直角三角形性質是解題的關鍵．2．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校七年級期中）如圖，中，于點D，E為AC上任意一點，連接BE交AD于點F．(1)若，求證：BE平分．(2)如圖2，在（1）的條件下，若，請直接寫出圖中所有直角三角形．【答案】(1)證明見解析；(2)△ABC、△ABE、△ABD、△ACD、△BDF都是直角三角形．【解析】【分析】（1）AD⊥BC，得∠ADB=90°，進而得∠DBF=20°，又由∠ABD=40°即可得∠DBF=，即可證明結論成立；（2）由AD⊥BC得△ABD、△ACD、△BDF是直角三角形，另由∠ABE+∠AEF=20°+70°=90°，可得∠BAE=90°得△ABE、△ABC是直角三角形．(1)解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴在Rt△BDF中，∠DBF+∠BFD=90°，∴∠BFD+∠AFE=70°，∴∠DBF=20°，∵∠ABD=40°，∴∠DBF=，∴BE平分∠ABC；(2)解：∵AD⊥BC，∴△ABD、△ACD、△BDF是直角三角形，∵∠ABE=∠CBE=20°，∴∠AEF=∠AFE=70°，∴∠ABE+∠AEF=20°+70°=90°，∴.在△ABE中，∠BAE=90°，∴△ABC、△ABE是直角三角形，綜上所述△ABC、△ABE、△ABD、△ACD、△BDF都是直角三角形．【點睛】本題主要考查了直角三角形及角平分線與垂直，熟練掌握直角三角形的概念是解題的關鍵．考點四三角形折疊中的角度問題例題：（2022·河南·南陽市第三中學七年級階段練習）如圖，在三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點落在外的點處．若，則的度數(shù)為（

）A．115° B．100° C．105° D．95°【答案】C【解析】【分析】在△ABC中利用三角形內角和定理可求出∠C的度數(shù)，由折疊的性質，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，結合∠2的度數(shù)可求出∠CED的度數(shù)，在△CDE中利用三角形內角和定理可求出∠CDE的度數(shù)，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出結論．【詳解】解：在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°．由折疊，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，∴∠CED＝＝102.5°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝37.5°，∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝105°．故選：C．【點睛】本題考查了三角形內角和定理以及折疊的性質，利用三角形內角和定理及折疊的性質求出∠CDE的度數(shù)是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，將點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、B與點C重合，則∠NCF的度數(shù)為（

）.A．22° B．21° C．20° D．19°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形的內角和定理可得∠ACB＝100°，再由折疊的性質可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，即可求解．【詳解】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝100°，∵將點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、B與點C重合，∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，∴∠NCF＝20°，故選：C．【點睛】本題主要考查了圖形的折疊的性質、三角形內角和定理、熟練掌握圖形的折疊的性質、三角形內角和定理是解題的關鍵．2．（2022·江蘇·南京市第十三中學七年級期中）如圖1，△ABC

中，D

是

AC

邊上的點，先將

ABD

沿看

BD

翻折，使點

A

落在點A＇處，且

A′D∥BC，A′B

交

AC

于點

E（如圖

2），又將△BCE

沿著

A′B

翻折，使點

C

落在點

C′處，若點C′恰好落在

BD

上（如圖

3），且∠C′EB=75°，則∠C=___°【答案】80°##80度【解析】【分析】先由平行線性質得：=∠CBE，再由折疊可得：∠A=∠，∠ABD=∠DBE=∠CBE，=∠C，則∠A=∠ABD=∠DBE=∠CBE，由三角形內角和定理知，而，可求得，然后由∠A+∠C+∠ACB=180°，則∠C+4∠DBE=180°，即可求出∠C度數(shù)．【詳解】解：∵A′D∥BC，∴=∠CBE，由折疊可得：∠A=∠，∠ABD=∠DBE=∠CBE，=∠C，∴∠A=∠ABD=∠DBE=∠CBE，∵，，∴，∴，∵∠A+∠C+∠ACB=180°，∴∠C+4∠DBE=180°，∴∠C=80°，故答案為：80°．【點睛】本題考查平行線的性質，折疊性質，三角形內角和定理，求出和∠C+4∠DBE=180°是解題的關鍵．考點五三角形內角和定理的應用例題：（2022·河南南陽·二模）小明把一副三角板按如圖所示方式擺放，直角邊CD與直角邊AB相交于點F，斜邊，∠B＝30°，∠E＝45°，則∠CFB的度數(shù)是（

）A．95° B．115° C．105° D．125°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得，再由平行線的性質得出，再由三角形的內角和定理進行求解即可．【詳解】是直角三角形，∠E＝45°，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，平行線的性質及三角形的內角和定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·福建省福州第十六中學七年級期中）如圖，直線，點A在直線與之間，點B在直線上，連接．的平分線交于點C，連接，過點A作交于點D，作交于點F，平分交于點E，若，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設，則，，先求得，即可得到，進而得出，即可得到，再依據(jù)內角和即可得到∠ACD的度數(shù)．【詳解】設，則，，∵，∴，∴，，∴，∵，BC平分∠ABM，∴，又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴在中，，故答案為：B．【點睛】此題考查平行線的性質，三角形內角和定理，解題關鍵在于得出．2．（江西省吉安市六校聯(lián)誼聯(lián)考2021-2022學年七年級下學期期中考試數(shù)學試題）如圖，在中，點D在邊BC上，點G在邊AB上，點E、F在邊AC上，，(1)試判斷BF與DE的位置關系，并說明理由；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)∥，理由見解析(2)【解析】【分析】（1）先證，得出∠1=∠3，進而得出，最后證得；（2）由，可知∠DEC=90°，進而∠C=60°，根據(jù)三角形內角和定理最后求得∠A的度數(shù)．(1)解：，理由如下：∵，∴，∴，又，∴，∴．(2)解：∵，∴，，，∴．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，三角形內角和定理，熟練地掌握平行線的判定和性質是解決問題的關鍵．考點六三角形外角的定義和性質例題：（2022·四川·成都七中七年級期中）如圖，已知，一條光線從點出發(fā)后射向邊．若光線與邊垂直，則光線沿原路返回到點，此時．當時，光線射到邊上的點后，經(jīng)反射到線段上的點，易知若，光線又會沿原路返回到點，此時______°．若光線從點出發(fā)后，經(jīng)若干次反射能沿原路返回到點，則銳角的最小值______°．【答案】

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6【解析】【分析】根據(jù)入射角等于反射角得出，再由是的外角即可得度數(shù)；如圖，當時，光線沿原路返回，分別根據(jù)入射角等于反射角和外角性質求出、的度數(shù)，從而得出與具有相同位置的角的度數(shù)變化規(guī)律，即可解決問題．【詳解】解：，，，，如圖：當時，光線沿原路返回，，，，，由以上規(guī)律可知，，當時，取得最小值，最小度數(shù)為，故答案為：，．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質和三角形的外角性質及入射角等于反射角，根據(jù)三角形的外角性質及入射角等于反射角得出與具有相同位置的角的度數(shù)變化規(guī)律是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2021·廣西·靖西市教學研究室八年級期末）如圖，∠BCD＝145°，則∠A+∠B+∠D的度數(shù)為_____．【答案】145°【解析】【分析】連接AC并延長，延長線上一點為E．由三角形外角的性質可得：，．所以可得：【詳解】解：連接AC并延長，延長線上一點為E是的外角同理可得：故答案為．【點睛】本題主要考查知識點為，三角形中外角的性質．即：三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角的和．本題需根據(jù)已知和所求作出輔助線．掌握外角的性質是解決本題的關鍵．2．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學科研訓處七年級期中）平面內的兩條直線有相交和平行兩種位置關系．(1)如圖1，AB∥CD，點P在AB、CD內部，∠B＝55°，∠D＝40°，則∠BPD＝°；(2)如圖2，AB∥CD，點P在AB、CD外部（CD的下方），則∠BPD、∠B、∠D之間的數(shù)量關系為；(3)如圖3，直接寫出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間的數(shù)量關系為；(4)如圖4，計算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是°．【答案】(1)95(2)∠BPD+∠D=∠B(3)∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD(4)360【解析】【分析】（1）延長BP交CD于點E，根據(jù)平行線的性質、三角形外角的性質即可求解；（2）根據(jù)AB∥CD，得∠B=∠BOD，再由三角形外角的性質即可求證；（3）連接BD，由∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°即可求解；（4）連接AD，由∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，∠CAD+∠ADC+∠C=180°，即可求解；(1)解：延長BP交CD于點E，∵AB∥CD，∠B＝55°，∴∠B=∠BED=55°，∵∠D＝40°，∴∠BPD＝∠D+∠BED＝95°．故答案為：95．(2)∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，∵∠BPD+∠D=∠BOD，∴∠BPD+∠D=∠B．故答案為：∠BPD+∠D=∠B．(3)連接BD，∵∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°，∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ-∠BPD=0，∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD．故答案為：∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD．(4)如圖，連接AD，∵∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠E=180°，∵∠CAD+∠ADC+∠C=180°，∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠CAD+∠ADC+∠C+∠E=360°．故答案為：360．【點睛】本題主要考查平行線的性質、三角形的內角和定理、三角形外角的性質，掌握相關知識并結合題意正確做出輔助線是解題的關鍵．課后訓練課后訓練一、選擇題1．（2022·河南平頂山·七年級期末）如圖，直線，若∠1＝70°，∠2＝30°則∠3的度數(shù)是（

）A．40° B．50° C．60° D．無法計算【答案】A【分析】如圖，根據(jù)平行線的性質求出∠4＝∠1＝70°，然后根據(jù)三角形外角的性質得出答案．【詳解】解：如圖．∵ab，∠1＝70°，∴∠4＝∠1＝70°，∵∠4＝∠3＋∠2，∠2＝30°，∴∠3＝∠4?∠2＝70°?30°＝40°，故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質、三角形外角的性質，熟知三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和是解答本題的關鍵．2．（2022·湖北·武漢市光谷實驗中學七年級階段練習）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質，由，得．根據(jù)三角形外角的性質，得，那么．【詳解】解：，，．，，．故選：．【點睛】本題主要考查平行線的性質、三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質、三角形外角的性質是解決本題的關鍵．3．（2022·山東聊城·七年級期末）如圖，將直尺與含30°角的三角尺疊放在一起，若∠2=50°，則∠1的大小是（

）A．40° B．50° C．70° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)三角形內角和定理得，根據(jù)平行線的性質得，根據(jù)平角定義即可求解．【詳解】解：如圖所示，由題意得，，∵，，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，解題的關鍵是掌握這些知識點．4．（2022·江蘇連云港·七年級階段練習）如圖所示，將長方形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點處，折痕為EF，若∠ABE=20°，那么的度數(shù)為（

）A．115° B．120° C．125° D．130°【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質知∠BEF=∠DEF，而∠AEB的度數(shù)可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠DEF的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質即可得解．【詳解】解：Rt△ABE中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°，由折疊的性質知：∠BEF=∠DEF，∠EFC=，而∠BED=180°-∠AEB=110°，∴∠DEF=55°，∵ADBC，∴∠EFC=180°-∠DEF=125°．∴=125°．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質以及圖形的翻折變換，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變．5．（2022·四川眉山·七年級期末）如圖，△ABC中CD平分∠ACB，點M在線段CD上，且MN⊥CD交BA的延長線于點N．若∠B=30°，∠CAN=96°，則∠N的度數(shù)為（

）A．22° B．27° C．30° D．37°【答案】B【分析】由∠CAN是△ABC的外角可得∠ACB，由CD平分∠ACB可得∠BCD；再由∠CDN是△BCD的外角求得∠CDN；△DMN中再由三角形內角和定理即可解答；【詳解】解：∵∠CAN是△ABC的外角，∴∠CAN=∠B+∠ACB，∵∠B=30°，∠CAN=96°，∴∠ACB=96°-30°=66°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACB=33°，∵∠CDN是△BCD的外角，∴∠CDN=∠B+∠BCD=63°，∵△DMN中，∠DMN=90°，∠MDN=63°，∴∠N=180°-∠DMN-∠MDN=27°，故選：B．【點睛】本題考查了三角形內角和定理和三角形外角的性質，掌握相關性質和定理是解題關鍵．二、填空題6．（2022·四川·渠縣瑯琊中學七年級期中）如圖，直線DEBC，分別交邊AB、AC于點D、E，∠1=120°，則∠2的度數(shù)是__．【答案】30°##30度【分析】根據(jù)三角形外角性質得到∠1=∠A+∠B，則∠B=120°-90°=30°，然后根據(jù)平行線的性質即可得到∠2的度數(shù)．【詳解】解：∵∠1=∠A+∠B，∴∠B=120°-90°=30°，又∵DEBC，∴∠2=∠B=30°．故答案為：30°．【點睛】本題考查了三角形外角性質，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等．掌握平行線的性質是解題的關鍵．7．（2022·江蘇泰州·七年級階段練習）如圖,將鉛筆放置在三角形ABC的邊AB上，筆尖方向為點A到點B的方向，把鉛筆依次繞點A、點C、點B按逆時針方向旋轉∠A、∠C、∠B的度數(shù)，觀察筆尖方向的變化，該操作說明了_________．【答案】三角形內角和等于180°【分析】根據(jù)旋轉后反方向說明旋轉度數(shù)等于180°解答．【詳解】解：筆尖方向發(fā)生了由點B到點A的方向，∵鉛筆依次繞點A、點C、點B按逆時針方向旋轉∠A、∠C、∠B的度數(shù)，∴旋轉角度之和為∠A＋∠B＋∠C，∵筆尖方向變?yōu)辄cB到點A的方向，∴旋轉角度之和為180°，∴這種變化說明三角形內角和等于180°．故答案為：三角形內角和等于180°．【點睛】本題考查了平角的性質，三角形的內角和定理，理解旋轉度數(shù)之和與三角形的內角和的關系是解題的關鍵．8．（2022·四川眉山·七年級期末）如圖，點E是長方形紙片AD邊的中點，過E點將∠A和∠D分別翻折，得到折痕EM和EN，且折后A、D兩點均與MN上的點H重合．若∠DEN=62°，則∠AEM=______．【答案】28°##28度【分析】根據(jù)折疊的性質得出∠DEN=∠HEN，∠AEM=∠MEH，根據(jù)題意結合圖形即可得出結果．【詳解】解：過E點將∠A和∠D分別翻折，得到折痕EM和EN，∴∠DEN=∠HEN，∠AEM=∠MEH，又∵∠DEN=62°，∴∠HEN=62°，∴∠AEM=×(180°-62°-62°)=28°，故答案為：28°．【點睛】題目主要考查折疊的性質及角度的計算，理解題意，找準各角之間的關系是解題關鍵．9．（2022·江蘇揚州·七年級期中）如圖和中，，，，點在邊上，將繞點按每秒的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中當∥時，旋轉時間_____秒．【答案】11或29【分析】討論：如圖1，△COD繞點O順時針旋轉得到△C′OD′，C′D′交OB于E，根據(jù)平行線的判定，當∠OEC′=∠B=40°時，C′D′∥AB，則根據(jù)三角形外角性質計算出∠C′OC=110°，從而可計算出此時△COD繞點O順時針旋轉110°得到△C′OD′所需時間；如圖2，△COD繞點O順時針旋轉得到△C″OD″，C″D″交直線OB于F，利用平行線的判定得當∠OFC″=∠B=40°時，C″D″∥AB，根據(jù)三角形內角和計算出∠C″OC=70°，則△COD繞點O順時針旋290°得到△C″OD″，然后計算此時旋轉的時間．【詳解】如圖1，△COD繞點O順時針旋轉得到△C′OD′，C′D′交OB于E，則∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=70°，當∠OEC′=∠B=40°時，C′D′∥AB，∴∠C′OC=∠OEC′+∠OC′E=40°+70°=110°，∴△COD繞點O順時針旋轉110°得到△C′OD′所需時間為110÷10=11（秒）；如圖2，△COD繞點O順時針旋轉得到△C″OD″，C″D″交直線OB于F，則∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D″=∠C=70°，當∠OFC″=∠B=40°時，C″D″∥AB，∴∠C″OC=180°-∠OFC″-∠OC″F=180°-40°-70°=70°，∴△COD繞點O順時針旋轉的角度為：360°-70°=290°，∴△COD繞點O順時針旋得到△C″OD″所需時間為290÷10=29（秒）；綜上所述，在旋轉的過程中，在第11秒或29秒時，邊CD恰好與邊AB平行．故答案為：11或29【點睛】考查了平行線的判定和性質，旋轉變換的性質，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．10．（2022·江蘇南京·七年級期末）如圖，在△ABC中有兩個內角相等，且BD是△ABC的角平分線，，．若DF//BC，則______°．【答案】或22.5【分析】設，，根據(jù)題意可用x和y分別表示出，和．根據(jù)在△ABC中有兩個內角相等可分類討論，結合三角形內角和定理列出方程組，即可解答．【詳解】設，，∵，，∴，，∴．∵，∴，．∵BD是△ABC的角平分線，∴．分類討論：①當時，由題意可得：，解得：，∴；②當時，由題意得：，解得：，∴；③當時，∵，∴此情況不成立．綜上可知，的大小為或．故答案為：或．【點睛】本題考查三角形內角和定理，角平分線的定義，平行線的性質．利用分類討論的思想是解題關鍵．三、解答題11．（2021·黑龍江·同江市第三中學八年級期中）如圖，在△ABC中，AE為邊BC上的高，AD為∠BAC的角平分線，∠C＝65°，∠B＝35°，求∠DAE的度數(shù)．【答案】15°【分析】根據(jù)三角形內角和定理先求出∠BAC=80°，由AD平分∠BAC，可得∠BAD，根據(jù)AE是BC邊上的高線，可得∠BEA=90°，則∠BAE可得，根據(jù)∠DAE=∠BAE-∠BAD，即可求解．【詳解】∵∠C=65°，∠B=35°，∴∠BAC=180°-65°-35°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC=40°，∵AE是BC邊上的高線，∴∠BEA=90°，∴∠BAE=180°-∠B-∠BEA=55°，∵∠DAE=∠BAE-∠BAD，∴∠DAE=55°-40°=15°，即∠DAE為15°．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理以及角平分線的知識，掌握三角形內角和為180°是解答本題的關鍵．12．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學研究室七年級期末）如圖，已知直線上的點M，N，E滿足，的平分線交于G，作射線．(1)直線與平行嗎？為什么？(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)平行，理由見解析(2)【分析】（1）利用已知條件和三角形內角和定理，通過等量代換可得，由同旁內角互補，兩直線平行，可得；（2）利用，求出，再利用角平分線的定義求出，再證，利用兩直線平行，同旁內角互補，即可求出．（1）解：．理由如下：∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．∴，∴．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，角平分線的定義，三角形內角和定理，垂直的定義等，熟練掌握平行線的判定定理和性質定理是解題的關鍵．13．（2022·江蘇連云港·七年級階段練習）將紙片△ABC沿DE折疊使點A落在點A'處．【感知】如圖①，點A落在四邊形BCDE的邊BE上，則∠A與∠1之間的數(shù)量關系是；【探究】如圖②，若點A落在四邊形BCDE的內部，則∠A與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．【拓展】如圖③，點A落在四邊形BCDE的外部，若∠1=80°，∠2=24°，則∠A的大小為．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質得出，根據(jù)折疊性質得出，即可求出答案；（2）根據(jù)三角形內角和定理得出，，兩式相加可得，即，根據(jù)平角的定義得出，可得出，根據(jù)折疊性質得出，即可得出；（3）根據(jù)三角形外角性質得出，，推出，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖①，．理由如下：由折疊可得：；，，故答案為：；（2）如圖