專題5.13三角函數(shù)的應(yīng)用（重難點題型精講）1．函數(shù)，中各量的物理意義在物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與函數(shù)中的常數(shù)有關(guān).2．三角函數(shù)的簡單應(yīng)用(1)三角函數(shù)應(yīng)用的步驟(2)三角函數(shù)的常見應(yīng)用類型

①三角函數(shù)在物體簡諧運動問題中的應(yīng)用.

物體的簡諧運動是一種常見的運動，它的特點是周而復(fù)始，因此可以用三角函數(shù)來模擬這種運動狀態(tài).

②三角函數(shù)在幾何、實際生活中的圓周運動問題中的應(yīng)用.

物體的旋轉(zhuǎn)顯然具有周期性，因此也可以用三角函數(shù)來模擬這種運動狀態(tài).

③三角函數(shù)在生活中的周期性變化問題中的應(yīng)用.

大海中的潮汐現(xiàn)象、日常生活中的氣溫變化、季節(jié)更替等都具有周期性，因此常用三角函數(shù)模型來解決這些問題.【題型1三角函數(shù)在物體簡諧運動問題中的應(yīng)用】【方法點撥】物體的簡諧運動是一種常見的運動，它的特點是周而復(fù)始，因此可以用三角函數(shù)來模擬這種運動狀態(tài).【例1】（2022·全國·高三階段練習（文））如圖所示是某彈簧振子做簡諧運動的部分圖象，則下列判斷錯誤的是（

）A．該彈簧振子的振幅為2cmB．該彈簧振子的振動周期為1.6sC．該彈簧振子在0.2s和1.0s時振動速度最大D．該彈簧振子在0.6s和1.4s時的位移為零【解題思路】由簡諧運動圖象可得出該彈簧振子的振幅、最小正周期，可判斷AB選項的正誤，再根據(jù)簡諧振動的幾何意義可判斷CD選項的正誤.【解答過程】由圖象及簡諧運動的有關(guān)知識知，該彈簧振子的振幅為2cm，振動周期為2×1?0.2當t=0.2s或1.0s時，振動速度為零，該彈簧振子在0.6s和1.4s時的位移為零.所以，ABD選項正確，C選項錯誤.故選：C.【變式1-1】（2021·全國·高一專題練習）在圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距離平衡位置最遠處時開始計時．則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）和時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．x=32sinC．x=32sin【解題思路】設(shè)x=ft=Asinωt+φω>0，根據(jù)振幅確定A，根據(jù)周期確定ω【解答過程】設(shè)位移x關(guān)于時間t的函數(shù)為x=ft根據(jù)題中條件，可得A=3，周期T=2πω=3由題意可知當x=0時，ft取得最大值3，故3sinφ=3所以x=3sin故選：D．【變式1-2】（2022·湖南·高一課時練習）如圖為一簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是A．該質(zhì)點的振動周期為0.7B．該質(zhì)點的振幅為?5C．該質(zhì)點在0.1s和0.5D．該質(zhì)點在0.3s和0.7s【解題思路】由簡諧運動得出周期和振幅，質(zhì)點位移為零時，速度最大，加速度最小；位移最大時，速度最小，加速度最大.振動圖象上某點的切線斜率的正負代表速度的方向，根據(jù)以上知識可判斷出各選項命題的正誤.【解答過程】對于A、B選項，由圖可得知振幅為5cm，周期為2×0.7?0.3對于C選項，質(zhì)點在0.1s和0.5s時刻，質(zhì)點的位移為最大值，可知速度為零，C選項錯誤；對于D選項，質(zhì)點在0.3s和0.7s時刻，質(zhì)點的位移為0，則質(zhì)點受到的回復(fù)力為0，所以加速度為0，D選項正確.故選D.【變式1-3】（2022·寧夏·高三階段練習（理））我們來看一個簡諧運動的實驗：將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗，再掛在架子上，就做成一個簡易單擺．在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸，把漏斗灌上細沙拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖象．它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標）隨時間t（橫坐標）變化的情況．如圖所示．已知一根長為Lcm的線一端固定，另一端懸掛一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是s=2cosgLt，其中g(shù)≈980cm/s2A．3.6 B．3.8 C．4.0 D．4.5【解題思路】由圖象觀察得出函數(shù)s=2cosglt的最小正周期為【解答過程】解：由題意，函數(shù)關(guān)系式為s=2cos由圖象可知，函數(shù)s=2cosglT=2πg(shù)l故選：C.【題型2三角函數(shù)在圓周運動問題中的應(yīng)用】【方法點撥】這類題一般明確地指出了周期現(xiàn)象滿足的變化規(guī)律，例如，周期現(xiàn)象可用形如或的函數(shù)來刻畫，只需根據(jù)已知條件確定參數(shù)，求解函數(shù)解析式，再將題目涉及的具體的數(shù)值代入計算即可.【例2】（2022·浙江溫州·高二期中）一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點P0）開始計時，則點P距離水面的高度h（米）與tA．?=2sinπ30C．?=2sinπ30【解題思路】依據(jù)題給條件去求一個函數(shù)解析式即可解決.【解答過程】設(shè)點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為?=Asin由A+B=3?A+B=?1，可得A=2B=1，由T=2由t=0時h=0，可得2sinφ+1=0，則sinφ=?12則點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為?=2sin故選：A.【變式2-1】（2022·全國·高一課時練習）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4m，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為2m，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動4圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系xOy.設(shè)盛水筒M從點P0運動到點P時所經(jīng)過的時間為t（單位：s），且此時點P距離水面的高度為h（單位：m），則點P第一次到達最高點需要的時間為（

）s.A．2 B．3 C．5 D．10【解題思路】設(shè)點P離水面的高度為?(t)=Asin(ωt+φ)+2，根據(jù)題意求出A,ω,φ，再令【解答過程】設(shè)點P離水面的高度為?(t)=Asin依題意可得A=4，ω=8π60=所以?(t)=4sin令?(t)=4sin(2π15t?π6得t=15k+5，k∈Z，因為點P第一次到達最高點，所以0<t<2π所以k=0,t=5s故選：C.【變式2-2】（2022·北京·高一期末）石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑88米，總高約100米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為18分鐘，配有42個球形全透視360度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進入各自座艙的時間相差6分鐘.這兩名同學在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．78米 B．112米 C．156米 D．188米【解題思路】角速度為2πft=44sin【解答過程】因為角速度為2π所以游客從離地面最近的位置進入座艙，游玩中到地面的距離為ft由題意可得甲乙在摩天輪上游玩的過程中他們所在的高度之和g=112+44=112+44sin因為0≤t≤18，所以π6所以?12≤所以90≤112+44sin所以gtmax=156故選：C.【變式2-3】（2022·上海市高三期中）如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要30min.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，則在轉(zhuǎn)動一周的過程中，高度H關(guān)于時間t的函數(shù)解析式是（

）A．H=55B．H=55C．H=?55D．H=?55【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)Ht【解答過程】解：根據(jù)題意設(shè)，Ht因為某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m所以，該摩天輪最低點距離地面高度為10m，所以A+B=120?A+B=10，解得A=55,B=65因為開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要30min，所以，T=2πω=30因為t=0時，H0=10，故10=55sinφ+65，即所以，H故選：B.【題型3三角函數(shù)在生活中的周期性變化問題中的應(yīng)用】【方法點撥】大海中的潮汐現(xiàn)象、日常生活中的氣溫變化、季節(jié)更替等都具有周期性，因此常用三角函數(shù)模型來解決這些問題.【例3】（2021·全國·高一專題練習）如圖是某市夏季某一天從6時到14時的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asinωx+φ+BA．25°C B．26°C C．27°C【解題思路】由函數(shù)圖像分析：由圖像的最高點和=最低點求A,B，由周期求ω，根據(jù)特殊點求φ,得到函數(shù)解析式，把x=12帶入即可求出中午12時天氣的溫度.【解答過程】對于函數(shù)y=Asin?A+B=10A+B=30解得：A=10從x=6到x=14為函數(shù)的半個周期，即T2所以T=16，即2πω=16，解得：所以y=10又有圖像經(jīng)過14,30，所以10sin(所以y=10sin當x=12時，y=10sin故選：C.【變式3-1】（2022·全國·高三專題練習）夏季來臨，人們注意避暑．如圖是某市夏季某一天從6時到14時的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asinωx+φ+B，則該市這一天中午12A．25°C B．26°C C．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的圖象求出y=10sin(π【解答過程】解：由題意以及函數(shù)的圖象可知，A+B=30，?A+B=10，所以A=10，B=20.∵T2=14?6，∴T=16.∵T=2πω∴y=10sin∵圖象經(jīng)過點(14,30)，∴30=10sin∴sin(∴φ可以取34π，∴當x=12時，y=10sin故選：C.【變式3-2】（2022·全國·高一專題練習）某市一年12個月的月平均氣溫y與月份x的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=a+Acosπ6x?6（x=1,2,3,???,12）來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高，為28°A．25.5°C B．22.5°C C．【解題思路】根據(jù)已知條件列方程可求得a和A的值，可得函數(shù)解析式，將x=8代入即可求解.【解答過程】由題意可得：f6=a+Acosπ6所以fx所以該市8月份的平均氣溫為f8故選：A.【變式3-3】（2021·全國·高一專題練習）月均溫全稱月平均氣溫，氣象學術(shù)語，指一月所有日氣溫的平均氣溫．某城市一年中12個月的月均溫y（單位：°C）與月份x（單位：月）的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=Asinπ6x?3+a（x=1,2,3,?,12）來表示，已知6月份的月均溫為29°C，A．20°C B．20.5°C C．【解題思路】由題意得出關(guān)于A、a的方程組，可得出函數(shù)解析式，在函數(shù)解析式中令x=10可得結(jié)果.【解答過程】由題意可得Asinπ2所以，函數(shù)解析式為y=6sin在函數(shù)解析式中，令x=10，可得y=6sin因此，10月份的月均溫為20°故選：A.【題型4用擬合法建立三角函數(shù)模型】【方法點撥】數(shù)據(jù)擬合問題的實質(zhì)是根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)畫出簡圖，求相關(guān)函數(shù)的解析式進而研究實際問題.在求解與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)擬合問題時，需弄清楚的具體舍義，只有掌握了這三個參數(shù)的含義，才可以實現(xiàn)符號語言(解析式)與圖形語言(函數(shù)圖象)之間的相互轉(zhuǎn)化.【例4】（2022·全國·高一課時練習）某港口的水深y(單位：m)是時間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：t03691215182124y10139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5m(1)若有以下幾個函數(shù)模型：y=at+b，y=Asinωt+?(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？【解題思路】(1)通過題目數(shù)據(jù)擬合函數(shù)圖像，可判斷函數(shù)模型y=Asinωt+?(2)根據(jù)題意已知可求出水深y范圍，解三角函數(shù)不等式可得答案，船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時間最長，就應(yīng)從凌晨1時進港，而下午的17時離港.【解答過程】（1）y=Asinωt+?+K函數(shù)模型更好地刻畫根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asin從擬合曲線可知，函數(shù)y=Asinωt+?∴函數(shù)的最小正周期為12，因此2πω又∵當t=0時，y=10；當t=3時ymax∴K=10,A=13?10=3,?∴所求函數(shù)的表達式為y=3（2）由于船的吃水深度為7m，船底與海底的距離不少于4.5m，故在船舶航行時，水深y應(yīng)大于或等于7+4.5=11.5(m).令y=3sin可得sinπ∴12k+1?t?12k+5(k∈Z)取k=0，則1≤t≤5；取k=1，則13≤t≤17；取k=2時，25≤t≤29（不符合題意，舍去).∴當1≤t≤5與13≤t≤17時，船能夠安全進港，船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時間最長，就應(yīng)從凌晨1時進港，而下午的17時離港，在港內(nèi)停留的時間最長為16h.【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學數(shù)學興趣小組進行潮水漲落與時間的關(guān)系的數(shù)學建?；顒?，通過實地考察某港口水深y（米）與時間0≤t≤24（單位：小時）的關(guān)系，經(jīng)過多次測量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識儲備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學知識，給該船舶公司提供安全進此港時間段的建議．【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)據(jù),畫出散點圖、連線，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【解答過程】（1）畫出散點圖，連線如下圖所示：設(shè)y=Asinωt+b，根據(jù)最大值13，最小值7，可列方程為：再由T=2πω=12y=3sin（2）3sin∵0≤t≤24，∴0≤π∴π6≤解得1≤t≤5，或13≤t≤17，所以請在1：00至5：00和13：00至17：00進港是安全的．【變式4-2】（2021·全國·高一專題練習）某“帆板”集訓隊在一海濱區(qū)域進行集訓，該海濱區(qū)域的海浪高度y（米）隨著時間t（0≤t≤24，單位：小時）而周期性變化．每天各時刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：t（時）03691215182124y（米）1.01.41.00.61.01.40.90.41.0(1)試在圖中描出所給點；(2)觀察圖，從y=at+b，y=Asinωt+φ+b(3)如果確定在一天內(nèi)的7時至19時之間，當浪高不低于0.8米時才進行訓練，試安排恰當?shù)挠柧殨r間．【解題思路】（1）利用表格數(shù)據(jù)直接描點即可；（2）根據(jù)散點圖可確定應(yīng)選擇y=Asin（3）令y=25sin【解答過程】(1)散點圖如下，(2)由散點圖可知：應(yīng)選擇y=Asin則A=1.4?0.62=25，b=1將0,1代入可得：1=25sin∴該模型的解析式為：y=2(3)令y=25sin∵0≤t≤24，∴0≤π∴0≤π6t≤7π6