2022年廣東省東莞市市東城職業(yè)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文

月考試題含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.定義在(-8,0)上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x),且有xff(x)-2f(x)>

X2,若f(m+2015)-(m+2015)2f(-1)>0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(-2016,0)B.(-8,-2017)C.(-8,-2016)D.(-2016,-

2015)

參考答案：

D

【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

【分析】對(duì)不等式xf'(x)-2f(x)Ax'兩邊同除以-x，便可據(jù)條件得出

呼)，>0號(hào)

X,從而判斷出函數(shù)F(X)=X，在(-8,0)上單調(diào)遞增，這樣可由不

等式f(m+2015)-(m+2015)2f(-1)>0得出F(m+2015)>F(-1),這樣根據(jù)F

(x)的定義域及單調(diào)性即可求出m的取值范圍.

【解答】解：由xf'(x)-2f(x)>x2(x<0)得，

xf'(x)-2f(x)

-x3x；

煤)，〉o

JX'；

f(x)

9

設(shè)F(x)=1,則F(x)在(-8,o)上單調(diào)遞增；

f(m+2015)>f(_])

由f(m+2015)-(m+2015)*(-1)>0得，(/2015)2；

f(m+2015)

即("2015尸(-1)2.

：.F(m+2015)>F(-1)；

，-l<m+2015<0；

:.-2016<m<-2015；

的取值范圍是(-2016,-2015).

故選D

2.已知函數(shù)f(x)nx'+Zbx'cx+l有兩個(gè)極值點(diǎn)Xi、X”且xP[-2,-1],x2G[1,2],

則f(-1)的取值范圍是()

r_3r3r_3

A.2,3]B.L2,6]C.[3,12]D.2,12]

參考答案：

C

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件.

【分析】根據(jù)極值的意義可知，極值點(diǎn)Xi、Xz是導(dǎo)函數(shù)等于零的兩個(gè)根，根據(jù)根的分布建

立不等關(guān)系，畫(huà)出滿(mǎn)足條件的區(qū)域即可；利用參數(shù)表示出f(-1)的值域，設(shè)z=2b-c,

再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線(xiàn)z=x+3y過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，從而得到

z=x+3y的最大值即可.

【解答】解:f'(x)=3x2+4bx+c,

依題意知，方程f'(x)=0有兩個(gè)根xi、xz,

且xP[-2,-1],x2e[l,2]

等價(jià)于f'(-2)20,f'(-1)WO,f'(1)<0,f'(2)、0.

'12-8b+c>0

3-4b+c40

3+4b+c<0

由此得b,c滿(mǎn)足的約束條件為ll2+8b+c>0

滿(mǎn)足這些條件的點(diǎn)(b,c)的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分.

由題設(shè)知f(-1)=2b-c,

由z=2b-c,

將z的值轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)z=2b-c在y軸上的截距，

當(dāng)直線(xiàn)z=2b-c經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-3)時(shí)，z最小，

最小值為：3.

當(dāng)直線(xiàn)z=2b-c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,-12)時(shí)，z最大，

最大值為：12.

故選C.

3.已知集合4=｛出“2.*川*+3*2<0｝則

()

A.-1€J4B.若WB

cMIB(3)=zD.

參考答案：

D

【解析】

1

iSS分析：?../=｛尸|>=2-11%€&｝=｛>|丁>一1｝3=｛工|_?一工-：I<oj=1x|-1<x<2J,

A\JB=A,故選D.

考點(diǎn)：1、集合的表示；2、集合的運(yùn)算.

4.點(diǎn)4BGD均在同一球面上，且工8、工C、工￡)兩兩垂直,且工3=1,AC=2,

幺。=3,則該球的表面積為

7>r

A.7kB.14開(kāi)C.TD.

7-TMTT

3

參考答案：

B

5.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是

(A)54(B)27(C)18(D)9

h--------6---------H

IKzd

正視圖側(cè)視圖

K7

3—H

歸視國(guó)

參考答案：

C

略

COSX

6.函數(shù)x+sinx在的圖像大致為()

Ulu

_.一

A.B.

二、兒y

參考答案：

D

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊值可判斷.

【詳解】解：因?yàn)閤+snr,所以/（x）為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

故排除,又因?yàn)椤ń?°,"±萬(wàn)）=1/（3）＞0,〃也＜0,故排除與、C,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及特殊值法靈活判斷，屬于基礎(chǔ)題.

x2/

7.已知雙曲線(xiàn)L戶(hù)a＞＞的左、右焦點(diǎn)分別為尸F(xiàn)z，過(guò)B且傾斜角為45。的

直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)于點(diǎn)P,Q,若（。是坐標(biāo)原點(diǎn)），則此雙曲線(xiàn)

的離心率等于（）

A.2B.45c.3D.版

參考答案：

D

【分析】

過(guò)人且傾斜角為45°的直線(xiàn)方程設(shè)為y=x+c,聯(lián)立兩直線(xiàn)可得2的坐標(biāo)，進(jìn)而得％的

be_b

斜率為oc-Ac+oc2a-d,化筒可得6=3a,從而可求離心率.

【詳解】過(guò)解且傾斜角為45。的直線(xiàn)方程設(shè)為事=工+匕

jr=+-x

雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為a,

由0P〃眄，可得2在第一象限，

bacbe

,,一y=-x2（；——-）

由y-x+c和a,解得b-ab-a,

be_b

。區(qū)的斜率為ac-ic+ac2a—b,

b_b

可得a2a-b,可得B=3a,

/=＜啟=而

則a

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的幾何特征，考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

R電視圖

一個(gè)兒何體的三視圖如圖所示，如該幾何體的表面

積為

92cM2,則為的值為

A.4B.5C.6D.7

參考答案：

A

由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面是直角梯形

的四棱柱，其底面直角梯形的上底為2,下底為5,高為4,

2+5

2x-x4+(2+4+5

四棱柱的高為〃，則兒何體的表面積2

+在+42)%=92,即16〃=64,解得a=4.故選A.

【解題探究】本題考查立體幾何中的三視圖及幾何體的體積計(jì)算.通過(guò)題中給出的三視

圖，分析可以得到該幾何體是一個(gè)底面是直角梯形的四棱柱，然后依據(jù)四棱柱的表面積公

式進(jìn)行計(jì)算.

9.已知定義在R上的奇函數(shù)/"),滿(mǎn)足/"+4)=-力＞),且在區(qū)間［0,2］上是減函

數(shù)，

則(

)

A./(ll)</(80)</(-25)B./(80)</(ll)</(-25)

C./(-25)</(ll)</(80)D./(-25)</(80)</(11)

參考答案：

A

略

71冗

10.將函數(shù)尸cos(2X+T)的圖象向左平移T個(gè)單位后，得到f(x)的圖象，則

()

7T

A.f(x)=-sin2xB.f(x)的圖象關(guān)于x=-3對(duì)稱(chēng)

7兀1.

C.f("T")五D.f(x)的圖象關(guān)于(15,0)對(duì)稱(chēng)

參考答案：

B

【考點(diǎn)】函數(shù)尸Asin(sx+e)的圖象變換.

【分析】利用誘導(dǎo)公式、y=Asin(3x+6)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得

出結(jié)論.

.71

【解答】解：將函數(shù)y=cos(2X+T)的圖象向左平移T個(gè)單位后，得到f(x)=cos[2

冗冗

(x+6)+3]

2兀71

=cos(2x+3)=-sin(2x+6)的圖象，故排除A；

717T

當(dāng)x二-亨時(shí)，f(x)=1,為最大值，故f(x)的圖象關(guān)于x=-丁對(duì)稱(chēng)，故B正確；

7-29兀5兀1_

f(3)=-sin6=-sin6=-2,故排除C；

2L2L返—

當(dāng)x=I2時(shí)，f(x)=-sinT=-V^O,故f(x)的圖象不關(guān)于(12,0)對(duì)稱(chēng)，故D

錯(cuò)誤，

故選：B.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知加€用直線(xiàn),5優(yōu)-512+1?=4加，則直線(xiàn)，斜率的取值范圍

參考答案：

12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于.

倚視圖

參考答案:

13.將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為

（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

參考答案:

1

答案：12

14.某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測(cè)了100根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花

纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間［5,40］中，其頻率分布直方

圖如圖所示，則在抽測(cè)的100根棉花纖維中，有根的長(zhǎng)度小于20mm.

參考答案：

30

15.已知直線(xiàn)＞=扛+1與曲線(xiàn)切于點(diǎn)色笏，則占的值為.

參考答案：

3

⑹已知函數(shù)^:/⑺滿(mǎn)足/⑺+“一工”？。。？，則/“（X）+廣1（2002_工）=

參考答案：

0

略

17.已知向量場(chǎng)，礪，冠滿(mǎn)足：OA+2OB+3OC=O,則“A8C：SACBC=

A.12B.6C.3D.2

參考答案：

B

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a#l).

(I)當(dāng)a>l時(shí)，求證：函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

(II)若函數(shù)y=|f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求t的值.

參考答案：

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】(I)先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得：F(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-l)Ina,由于a>1,

得到f(x)>0,從而函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

(II)由已知條件得，當(dāng)a>0,a^l時(shí)，f(x)=0有唯一解x=0,又函數(shù)y=|f(x)-t|-l有

三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程f(X)=t±l有三個(gè)根，從而t-l=(f(X))mi產(chǎn)f(0)=1,解得t即

得.

【解答】解:(I)f(x)=axlna+2x-lna=2x+(a'-l)Ina

由于a>l,故當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，lna>0,as-l>0,所以F(x)>0,

故函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增

(II)當(dāng)a>0,ag時(shí)，因?yàn)閒(0)=0,且f(x)在R上單調(diào)遞增，

故f(x)=0有唯一解x=0(6分)

所以X,f(X),f(X)的變化情況如表所示：

X(-00.0)0(O.+oo)

/V)—0+

“X)極小值遞增

又函數(shù)y=|f(x).t|-l有三個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(x)=t±l有三個(gè)根，

而所以t-l=(f(X))min=f(O)=1，解得t=2(10分).

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)等

基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.

19.(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)數(shù)列｛°』的前浮項(xiàng)和為號(hào)，且用=2右-35=1,2,…).

(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列;

(2)若數(shù)列｛紜｝滿(mǎn)足4寸K+2%伽=1,2,…)，求數(shù)列3』的前"項(xiàng)和為北.

參考答案：

(1)證明：因?yàn)榉?24-35=1,2,…)，

則以I=2%「35=23…)……1分

所以當(dāng)附22時(shí)，％=6*-26.1,

整理得由號(hào)=2仆一3,令萬(wàn)=1,得號(hào)=2的-3,解得％=3.

所以｛4｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.……6分

⑵解：因?yàn)樯?3-2*:由九飛+2萬(wàn)5=1,2,…)，得4=32-1+2叱

所以4=3(1+2]+22+.一+21)+20+2+3+…+%)ks5u

_1(1-22)W+1)

1-22=328+?2+?-3

所以方=32+步+"_3.................12分

20.今年，樓市火爆，特別是一線(xiàn)城市，某一線(xiàn)城市采取“限價(jià)房”搖號(hào)制度，客戶(hù)以家庭

為單位進(jìn)行抽簽，若有"套房源，則設(shè)置”個(gè)中獎(jiǎng)簽，客戶(hù)抽到中獎(jiǎng)簽視為中簽，中簽家

庭可以在指定小區(qū)提供的房源中隨機(jī)抽取一個(gè)房號(hào)，現(xiàn)共有20戶(hù)家庭去抽取6套房源.

(1)求每個(gè)家庭中簽的概率；

(2)已知甲、乙兩個(gè)友好家庭均已中簽，并共同前往某指定小區(qū)抽取房號(hào).目前該小區(qū)剩

余房源有某單元27、28兩個(gè)樓層共6套房，其中，第27層有2套房，第28層有4套房.

記甲、乙兩個(gè)家庭抽取到第28層的房源套數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考答案：

(1)因?yàn)楣灿?0戶(hù)家庭去抽取6套房源且每個(gè)家庭中簽的概率都是相同的，

63

所以每個(gè)家庭能中簽的概率,20-10

(2)據(jù)題意知，X的所有可能取值是0,1,2

5。)嘴喘其『=警4世”唱V

X的分布列為

X012

1_86

p

151515

4

-

E(JO=0x—+1XA+2XA=3

X的數(shù)學(xué)期望151515

返

21.(2016?邵陽(yáng)二模)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為e=3,右焦

點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為?-近

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)F”艮為橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)同作直線(xiàn)交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，求△PQE的內(nèi)切

圓半徑r的最大值.

參考答案：

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).

c

【分析】(1)由題意設(shè)橢圓方程，由e=W=7",a-c=V3-V2,即可求得a和c的值，

由即可求得b的值，求得橢圓方程；

(2)由當(dāng)直線(xiàn)PQ斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為：x=ky+Ji代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可

11_

知yl+y2,娟人根據(jù)三角形的面積公式可知S=2IF,+F2I?Iyi-y2I(IPF)I+I

F.QI+IPQI)?r,求得r的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式的關(guān)系，即可求得△PQK的內(nèi)切

圓半徑r的最大值.

22

XV1

【解答】解：(1)由題意可知：設(shè)橢圓方程為：ab，,(a>b>0),

c

則e=a=3,a-c=V3-V2,

解得：a二班，c=近,

由b2=a2-C2=L

...橢圓的方程為：3:

(2)由(1)可知：F.(-V2,0),F2(V2,1),設(shè)P(x,,y.),Q(x2,y2),

返

當(dāng)PQ斜率不存在時(shí)，可得：r=3,

當(dāng)PQ斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為：x=ky+M,

將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，整理得：農(nóng)+3)y2+2?ky-0=0,

2五k1

由韋達(dá)定理可知：y,+y2=-k'+3,y,?y2=-k"+3,

]I--------；------2炳k2+1

△PQ以面積S=E|K+F2I?Iy「yzI=7^/61+丫2)2-4丫1丫&k2+3,

1

由S=y(IPE,I+IF,QI+IPQI)?r=2a?r=2V3r,

2月1?+1

k2+3-2y[3r,

1

，r=k"+3=后Vk*，lW2,

____2

當(dāng)且僅當(dāng)必7=必二時(shí)，即1<=土1時(shí)，等號(hào)成立，

1

.?.內(nèi)切圓半徑的最大值為

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積公式及

基本不等式的關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

21.(12分)(2016?邵陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)=lnx+x2-2ax+l(a為常數(shù)).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若存在x°w(0,1],使得對(duì)任意的ae(-2,0],不等式2me"(a+1)+f(x。)>

a、2a+4(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】

【解析】

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；其他不等式的

解法.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)二次函數(shù)中參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，判斷函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間；

(2)根據(jù)(1),得出f(X。)的最大值，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的ad(-2,0],不等式

2mea(a+1)-a?+-4a-2>0都成立，構(gòu)造函數(shù)h(a)=2mea(a+1)-a2+-4a-2,根據(jù)

題意得出m的范圍，由h(0)>0得m>l,且h(-2)20得m^e2,利用導(dǎo)函數(shù)，對(duì)m

進(jìn)行區(qū)間內(nèi)討論，求出m的范圍.

【解答】解：(I)f(x)=lnx+x2-2ax+l,

12x"2ax+l

f'(x)=x+2x-2a=x,

令g(x)=2x2-2ax+L

(i)當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閤>0,所以g(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

(ii)當(dāng)時(shí)，因?yàn)椤?()，所以g(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)

遞增；

a?a2-2aWa2

(iii)當(dāng)a>M時(shí)，x在(2,2)時(shí)，g(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)

遞減；

a2一2aMa2-2

在區(qū)間(0,2)和(2,+8)時(shí)，g(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

(II)由(I)知當(dāng)ad(-2,0],時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xw(0,1]時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值是f(1)=2-2a,對(duì)任意的ae(-2,0],

都存在Xo《(0,1],使得不等式ae(-2,0],2mea(a+1)+f(xo)>a'+2a+4成立，

等價(jià)于對(duì)任意的(-2,0],不等式2me，(a+l)-a?+-4a-2>0都成立，

記h(a)=2mea(a+1)-a2+-4a-2,由h(0)>0得m>l,且h(-2)20得mWe',

h'(a)=2(a+2)(mea-1)=0,

Aa=-2或a=-Inm,

VaG(-2,0],

：.2(a+2)>0,

①當(dāng)1VmVe?時(shí)，-lnm￡(-2,0),且a￡(-2,-Inm)時(shí)，h'(a)<0,

aG(-Inm,0)時(shí)，h'(a)>0,所以h(a)最小值為h(-Inm)=lnm-(2-Inm)>

0,

所以aW(-2,-Inm)時(shí)，h(a)>0恒成立；

②當(dāng)m=e2時(shí),h'(a)=2(a+2)(ea，2-1),因?yàn)閍G(-2,0],所以h'(a)>0,

此時(shí)單調(diào)遞增，且h(-2)=0,

所以ae(-2,0],時(shí)，h(a)>0恒成立；

綜上，