平面向量的概念及其線(xiàn)性運(yùn)算(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.下列說(shuō)法正確的是()A.若a與b都是單位向量,則a=bB.若a=b,則|a|=|b|且a與b的方向相同C.若a+b=0,則|a|=|b|D.若a-b=0,則a與b是相反向量【解析】選C.因?yàn)橄蛄肯嗟缺仨殱M(mǎn)足模相等且方向相同,所以A不正確;因?yàn)?的方向是任意的,當(dāng)a=b=0時(shí),B不正確;因?yàn)閍+b=0,所以a=-b,所以|a|=|-b|=|b|,故C正確;因?yàn)閍-b=0,所以a=b,a與b不是相反向量,故D不正確.【誤區(qū)警示】解答本題易誤選B,出錯(cuò)的原因是忽視了0方向的任意性.2.(2016·漢中模擬)已知點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn),則向量QUOTE等于()A.-QUOTE+QUOTE B.-QUOTE-QUOTEC.QUOTE-QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】選A.因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn),所以QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=-QUOTE+QUOTE.【加固訓(xùn)練】如圖,正六邊形ABCDEF中,QUOTE+QUOTE+QUOTE=()A.0B.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選D.因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,故選D.3.(2016·長(zhǎng)沙模擬)已知點(diǎn)P是四邊形ABCD所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若QUOTE=(1+λ)QUOTE-λQUOTE,其中λ∈R,則點(diǎn)P一定在()A.AB邊所在的直線(xiàn)上B.BC邊所在的直線(xiàn)上C.BD邊所在的直線(xiàn)上D.四邊形ABCD的內(nèi)部【解題提示】利用三角形法則,對(duì)向量等式QUOTE=(1+λ)QUOTE-λQUOTE進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而把已知向量等式化簡(jiǎn),最后利用向量的共線(xiàn)定理,即可判斷點(diǎn)P的位置.【解析】選C.因?yàn)镼UOTE=(1+λ)QUOTE-λQUOTE,所以QUOTE-QUOTE=λ(QUOTE-QUOTE),所以QUOTE=λQUOTE,所以B,D,P三點(diǎn)共線(xiàn),因此點(diǎn)P一定在BD邊所在的直線(xiàn)上.4.(2016·石家莊模擬)已知a,b是兩個(gè)非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,則下列說(shuō)法正確的是()A.a+b=0B.a=bC.a與b共線(xiàn)反向D.存在正實(shí)數(shù)λ,使a=λb【解析】選D.因?yàn)閍,b是兩個(gè)非零向量,且|a+b|=|a|+|b|.則a與b共線(xiàn)同向,故D正確.【加固訓(xùn)練】1.已知下列結(jié)論①已知a是非零向量,λ∈R,則a與λ2a方向相同②已知a是非零向量,λ∈R,則|λa|=λ|a|③若λ∈R,則λa與a共線(xiàn)④若a與b共線(xiàn),則存在λ∈R,使a=λb其中正確的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.4【解析】選B.對(duì)于①,當(dāng)λ=0時(shí),λ2a是零向量,0的方向是任意的,所以①不正確;對(duì)于②,λ<0時(shí),結(jié)論不成立,即②不正確;對(duì)于③,不論λ是否為零,或a是否為0,λa與a都共線(xiàn),所以③正確;對(duì)于④,當(dāng)a≠0,b=0時(shí),結(jié)論不正確.2.(2016·淮南模擬)在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),BE與AC相交于點(diǎn)F,若QUOTE=mQUOTE+nQUOTE(m,n∈R),則QUOTE的值為()A.-2 B.-QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選A.如圖.設(shè)QUOTE=a,QUOTE=b,則QUOTE=ma+nb,QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTEb-a,由向量QUOTE與QUOTE共線(xiàn)可知存在實(shí)數(shù)λ,使得QUOTE=λQUOTE,即ma+nb=QUOTEλb-λa,又a與b不共線(xiàn),則QUOTE所以QUOTE=-2.【一題多解】本題還可采用如下解法:選A.如圖,因?yàn)镋是AD的中點(diǎn),△EFA∽△BFC,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE(QUOTE-QUOTE)=QUOTE(QUOTE-QUOTE)=QUOTE-QUOTE.又因?yàn)镼UOTE=mQUOTE+nQUOTE,QUOTE與QUOTE不共線(xiàn),所以m=QUOTE,n=-QUOTE,QUOTE=-2.5.已知D為△ABC的邊AB的中點(diǎn).M在DC上且滿(mǎn)足5QUOTE=QUOTE+3QUOTE,則△ABM與△ABC的面積比為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解題提示】只要結(jié)合圖形,明確DM與DC之比即可,故利用已知轉(zhuǎn)化為QUOTE與QUOTE之間的關(guān)系.【解析】選C.如圖,由5QUOTE=QUOTE+3QUOTE得2QUOTE=2QUOTE+3QUOTE-3QUOTE,即2(QUOTE-QUOTE)=3(QUOTE-QUOTE),即2QUOTE=3QUOTE,故QUOTE=QUOTE,故△ABM與△ABC同底且高的比為3∶5,故S△ABM∶S△ABC=3∶5.【加固訓(xùn)練】設(shè)O在△ABC的內(nèi)部,D為AB的中點(diǎn),且QUOTE+QUOTE+2QUOTE=0,則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為()A.3 B.4 C.5 D.6【解析】選B.因?yàn)镈為AB的中點(diǎn),則QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE),又QUOTE+QUOTE+2QUOTE=0,所以QUOTE=-QUOTE,所以O(shè)為CD的中點(diǎn).又因?yàn)镈為AB的中點(diǎn),所以S△AOC=QUOTES△ADC=QUOTES△ABC,則QUOTE=4.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2016·鄭州模擬)在?ABCD中,QUOTE=a,QUOTE=b,3QUOTE=QUOTE,M為BC的中點(diǎn),則QUOTE=.(用a,b表示)【解析】如圖所示.QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE)=QUOTE+QUOTE(QUOTE+QUOTE)=QUOTEb-QUOTEa-QUOTEb=-QUOTEa-QUOTEb.答案:-QUOTEa-QUOTEb【方法技巧】利用基底表示向量的方法(1)盡可能將向量轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,運(yùn)用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行求解.(2)要注意平面幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用,如利用三角形的中位線(xiàn)、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì),把未知向量用基底向量表示.【加固訓(xùn)練】在△ABC中,QUOTE=c,QUOTE=b,若點(diǎn)D滿(mǎn)足QUOTE=2QUOTE,則QUOTE=.【解析】如圖,因?yàn)樵凇鰽BC中,QUOTE=c,QUOTE=b,且點(diǎn)D滿(mǎn)足QUOTE=2QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=2(QUOTE+QUOTE),QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTEb+QUOTEc.答案:QUOTEb+QUOTEc7.已知D為三角形ABC的邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)P滿(mǎn)足QUOTE+QUOTE+QUOTE=0,QUOTE=λQUOTE,則實(shí)數(shù)λ的值為.【解析】如圖,由QUOTE+QUOTE+QUOTE=0,得QUOTE=QUOTE+QUOTE,因?yàn)镼UOTE=λQUOTE,D是BC邊的中點(diǎn),所以QUOTE+QUOTE=2QUOTE,QUOTE=2QUOTE,QUOTE=-2QUOTE,故λ=-2.答案:-28.在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),QUOTE=QUOTE+λQUOTE,則實(shí)數(shù)λ=.【解題提示】結(jié)合圖形根據(jù)向量加法的平行四邊形法則作圖利用相似三角形求解.【解析】如圖,D是AB邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC,交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC,交BC于點(diǎn)F,連接CD,則QUOTE=QUOTE+QUOTE.因?yàn)镼UOTE=QUOTE+λQUOTE,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE=λQUOTE.由△ADE∽△ABC,得QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,故λ=QUOTE.答案:QUOTE【一題多解】解答本題還可用如下解法:如圖,設(shè)QUOTE=xQUOTE,因?yàn)镼UOTE=QUOTE-QUOTE,所以QUOTE=x(QUOTE-QUOTE),QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+x(QUOTE-QUOTE)=xQUOTE+(1-x)QUOTE,又因?yàn)镼UOTE=QUOTE+λQUOTE,所以QUOTE+λQUOTE=xQUOTE+(1-x)QUOTE.因?yàn)镼UOTE與QUOTE不共線(xiàn),所以QUOTE即λ=QUOTE.答案:QUOTE(20分鐘40分)1.(5分)(2016·太原模擬)在△ABC中,N是AC邊上一點(diǎn),且QUOTE=QUOTE,P是BN上的一點(diǎn),若QUOTE=mQUOTE+QUOTE,則實(shí)數(shù)m的值為()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.3【解析】選B.如圖所示.設(shè)QUOTE=λQUOTE,則QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+λQUOTE=QUOTE+λ(QUOTE-QUOTE)=QUOTE+λ(QUOTE-QUOTE)=(1-λ)QUOTE+QUOTE,因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以λ=QUOTE,所以1-λ=QUOTE,所以m=QUOTE.【一題多解】本題還可以采用如下解法:選B.如圖,因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE=mQUOTE+QUOTE=mQUOTE+QUOTE,因?yàn)锽,P,N三點(diǎn)共線(xiàn),所以m+QUOTE=1,所以m=QUOTE.2.(5分)O是△ABC所在平面外一點(diǎn)且滿(mǎn)足QUOTE=QUOTE+λ(QUOTE+QUOTE),λ為實(shí)數(shù),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡必經(jīng)過(guò)△ABC的()A.重心B.內(nèi)心C.外心D.垂心【解題提示】明確QUOTE與QUOTE是QUOTE,QUOTE方向上的單位向量,利用平行四邊形法則可轉(zhuǎn)化為QUOTE與QUOTE+QUOTE共線(xiàn)后可解.【解析】選B.如圖,設(shè)QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,已知QUOTE,QUOTE均為單位向量,故?AEDF為菱形,所以AD平分∠BAC,由QUOTE=QUOTE+λQUOTE得QUOTE=λQUOTE,又QUOTE與QUOTE有公共點(diǎn)A,故A,D,P三點(diǎn)共線(xiàn),所以P點(diǎn)在∠BAC的平分線(xiàn)上,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心.【加固訓(xùn)練】已知A,B,C是平面上不共線(xiàn)的三點(diǎn),O是△ABC的重心,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE+2QUOTE),則點(diǎn)P一定為三角形ABC的()A.AB邊中線(xiàn)的中點(diǎn)B.AB邊中線(xiàn)的三等分點(diǎn)(非重心)C.重心D.AB邊的中點(diǎn)【解析】選B.設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE(QUOTE+2QUOTE)=QUOTE+QUOTE,即3QUOTE=QUOTE+2QUOTE,也就是QUOTE=2QUOTE,又QUOTE與QUOTE有公共點(diǎn)P,所以P,M,C三點(diǎn)共線(xiàn),且P是CM上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).3.(5分)已知點(diǎn)D,E,F分別為△ABC的邊BC,CA,AB的中點(diǎn),且QUOTE=a,QUOTE=b,給出下列命題:①Q(mào)UOTE=QUOTEa-b;②QUOTE=a+QUOTEb;③QUOTE=-QUOTEa+QUOTEb;④QUOTE+QUOTE+QUOTE=0.其中正確命題的序號(hào)為.【解析】QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=QUOTE+QUOTE=-QUOTEa-b,故①錯(cuò);QUOTE=QUOTE+QUOTE=a+QUOTEb,故②正確;QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE)=QUOTE(-a+b)=-QUOTEa+QUOTEb,故③正確;QUOTE+QUOTE+QUOTE=-b-QUOTEa+a+QUOTEb+QUOTEb-QUOTEa=0.故④正確.答案:②③④4.(12分)已知a,b不共線(xiàn),QUOTE=a,QUOTE=b,QUOTE=c,QUOTE=d,QUOTE=e,設(shè)t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)t使C,D,E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上?若存在,求出實(shí)數(shù)t的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】由題設(shè)知,QUOTE=d-c=2b-3a,QUOTE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k,使得QUOTE=kQUOTE,即(t-3)a+t