一.模型特點與思維方法

1.模型分析

如圖甲、乙所示，質點沿豎直面內圓環(huán)上的任意一條光滑弦從上端由靜止滑到底端，可知

工但

加速度a=^in8,位移x=2/fein6,由勻加速直線運動規(guī)律有*=12廿,得下滑時間t=2、公

即沿豎直直徑自由下落的時間。圖丙是甲、乙兩圖的組合，不難證明有相同的結論。

2.結論

模型1質點從豎直面內的圓環(huán)上沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到環(huán)的最低點所用

時間相等，如圖甲所示；

模型2質點從豎直面內的圓環(huán)上最高點沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時間

相等，如圖乙所示；

模型3兩個豎直面內的圓環(huán)相切且兩環(huán)的豎直直徑均過切點，質點沿不同的光滑弦上端

由靜止開始經切點滑到下端所用時間相等，如圖丙所示。

3.思維模板

其中模型3可以看成兩個等時圓，分段按上述模板進行時間比較。

二.例題精講

例1:如圖所示，位于豎直平面內的固定光滑圓環(huán)軌道與水平面相切于"點，與豎直墻相

切于/點。豎直墻上另一點8與附的連線和水平面的夾角為60°,C是圓環(huán)軌道的圓心。已

知在同一時刻a、b兩球分別由4、8兩點從靜止開始沿光滑傾斜直軌道4從8"運動到〃點；

c球由C點自由下落到〃點。則（）

A.a球最先到達"點'

B.b球最先到達〃點"：）

C.c球最先到達〃點

D.b球和c球都可能最先到達"點

解析由等時圓模型知，a球運動時間小于b球運動時間，a球運動時間和沿過扇的直

徑的下落時間相等，所以從C點自由下落到“點的c球運動時間最短，故C正確。

答案C

例2.如圖所示，在同一豎直平面內，從定點P到固定斜面（傾角為8）搭建一條光滑軌道網

使物體從。點釋放后，沿軌道下滑到斜面的時間最短，則此軌道與豎直線的夾角a為多少？

解析：先用解析法求解。從定點P向斜面作垂線，垂足為〃，如圖1所示，設P到斜面距離為

h,則軌道長度為

cos（，一a）

物體沿軌道下滑的加速度a=gcosa

由于PM=-a/

2

2h

聯立解得:

gcosa”（^口一。）

令根式中分母y=cosa"os（。一a）,利用積化和差得:

1Q

y=—［cos^+cos（2a-^）］?e一定，當。=］時，分母y取得最大值，物體沿軌道下滑的

時間t最小。

再用“等時圓”作圖求解。以定點〃為“等時圓”最高點，作出系列半徑廠不同（動態(tài)的）“等

時圓”，所有軌道的末端均落在對應的“等時圓”圓周上，如圖9中甲所示，則軌道長度均可

表示為PM=2Rcosc

物體沿軌道下滑的加速度a=gcosa

由于PM=—。產，故得：t=

2

欲t最小，貝”須“等時圓”的半徑/■最小。

顯然，半徑最小的“等時圓”在圖中與斜面

相切于黑點，如圖9中乙所示。再根據幾何圖2

0

關系可知:a=

2

在這里，用了轉化的思想，把求最短時間轉化為求作半徑最小的“等時圓”，避免了用解析法

求解的復雜計算。

三.舉一反三，鞏固練習

1：如圖所示，形和微為兩條光滑斜槽，它們各自的兩個端點均分別位于半

徑為/?和廠的兩個相切的圓上，且斜槽都通過切點凡設有一重物先后沿兩

個斜槽，從靜止出發(fā)，由/滑到8和由，滑到。，所用的時間分別為6和6,

則a與tz之比為（）

A.2：1B.1：1

C.乖：1D.1：A/3

2:如圖所示，幾條足夠長的光滑直軌道與水平面成不同角度，從Q

點以大小不同的初速度沿各軌道發(fā)射小球，若各小球恰好在相同的

時間內到達各自的最高點，則各小球最高點的位置（）

A.在同一水平線上B.在同一豎直線上

C.在同一拋物線上D.在同一圓周上

3.身體素質拓展訓練中，人從豎直墻壁的頂點4沿光滑桿自由下滑到傾斜的木板上（人

可看成質點），若木板的傾斜角不同，人沿著三條不同路徑48、AC.4?滑到木板上的時間分

別為力、以t3,若已知48、AC,4?與板的夾角分別為70°、90°和105°,則（）

A.fi>ti

B.aVtzVts

C.fi=ti—ti

D.不能確定a、ti.a之間的關系

4.（2004年高考試題）如圖所示，ad、bd、cd是豎直面內三根固定的

光滑細桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最

低點。每根桿上都套有一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、

C處釋放（初速為0）,用七、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達d所用的時間，

則（）

A.B.tl>tz>t3C.t3>tl>t2D.tl=t2=t3

5:如圖，在設計三角形的屋頂時，為了使雨水能盡快地從屋頂流

下，并認為雨水是從靜止開始由屋頂無摩擦地流動。試分析和解：

在屋頂寬度（2L）一定的條件下，屋頂的傾角應該多大？雨水流

下的最短時間是多少？

6.傾角為30°的長斜坡上有C、0、8三點，CO=OB=tOm,在C

點豎直地固定一長10m的直桿4。/端與C點間和坡底8點間各連有一光滑的鋼繩，且各穿

有一鋼球（視為質點），將兩球從4點由靜止開始、同時分別沿兩鋼繩滑到鋼繩末端，如圖1

所示，則小球在鋼繩上滑行的時間加和標分別為（取g=

10m/s2）

A.2s和2sB.V2s和2s

C.V2s和4sD.4s和J^s

四.舉一反三，鞏固練習參考答案

1:如圖所示，48和面為兩條光滑斜槽，它們各自的兩個端點均分別位于半徑為/?和「的兩

個相切的圓上，且斜槽都通過切點凡設有一重物先后沿兩個斜槽，從靜止出發(fā)，由4滑到8

和由c滑到〃，所用的時間分別為a和右，則6與a之比為（）

A.2：1B.1：1A

C.m：1D.1：由

C

［解析］設光滑斜槽軌道與水平面的夾角為e,則物體下滑時的加速度

為a=^ind,由幾何關系，斜槽軌道的長度s=2（8+/*）sin夕，由運動

12X2/?+，sin62R+re

學公式S=pt2,得t=）即

結jn9

所用的時間大與傾角9無關，所以ty—ti,B項正確。

答案B

2:如圖所示，幾條足夠長的光滑直軌道與水平面成不同角度，從P/

點以大小不同的初速度沿各軌道發(fā)射小球，若各小球恰好在相同的//

時間內到達各自的最高點，則各小球最高點的位置（）//

A.在同一水平線上B.在同一豎直線上

C.在同一拋物線上0.在同一圓周上尸送之二二……一

［解析］設某一直軌道與水平面成e角，末速度為零的句減速直線

mg3］n

運動可逆向看成初速度為零的勻加速直線運動，則小球在直軌道上運動的加速度g=—

m

11/1

=^sin0由位移公式得/=;a#=KQin6?即一:~T=~^t2,不同的傾角8對應不同的

9zzsInaz

/1

位移/,但一二相同，即各小球最高點的位置在直徑為彳"的圓周上，選項D正確。

sine2

答案D

3.身體素質拓展訓練中，人從豎直墻壁的頂點/沿光滑桿自由下滑到4

傾斜的木板上（人可看成質點），若木板的傾斜角不同，人沿著三條不同路

徑破AC、4?滑到木板上的時間分別為6、京t3,若已知48、AC.AD^X//

與板的夾角分別為70°、90°和105°,則（）,

（）

A.ti>fe>t3

B.

C.ti=ti=ti

D.不能確定力、也、a之間的關系

［解析］以為直徑作圓，可知圓周過C點，8點在圓周外，〃點在圓周內。從圓周的

最高點沿光滑斜面由靜止釋放，滑至圓周的時間相等，可以判斷紛協如A正確。

易錯分析：解題能力方面忽略了知識的遷移，遇到此類題，沒有想到使用“等時圓”模型,

解題時無處下手，導致錯選。

答案A

4.（2004年高考試題）如圖所示，ad、bd、cd是豎直面內三根固定的

光滑細桿，a、b、c、d住于同一圓周上，a點為圓周的最高點，d點為最，/

低點。每根桿上都套有一個小滑環(huán)（圖中未畫出），三個滑環(huán)分別從a、b、!

C處釋放（初速為0）,用t,、t2、t3依次表示各滑環(huán)到達d所用的時間，

則（）

==

A.ti<t2<t3B.tl>tz>t3C.t3>tl>t2D.tltzt3

解析：選任一桿上的環(huán)為研究對象，受力分析并建立坐標如圖所示，設圓半徑為R,由牛頓第

二定律得，

mgcos0=ma①

再由幾何關系，細桿長度L=2Rcos6②

設下滑時間為f,則乙=，公

2

由以上三式得,

以D正確。

5:如圖，在設計三角形的屋頂時，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認為雨水是從

靜止開始由屋頂無摩擦地流動。試分析和解：在屋頂寬度（2L）

一定的條件下，屋頂的傾角應該多大？雨水流下的最短時間是

多少？

【解析】：如圖4所示，通過屋頂作垂線AC與水平線BD

相垂直；并以L為半徑、。為圓心畫一個圓與AC、BC相切。然

后，畫傾角不同的屋頂以幺45…

從圖可以看出：在不同傾角的屋頂中，只有A28是圓的弦，而其余均為圓的割線。根據“等

時圓”規(guī)律，雨水沿42臺運動的時間最短，且最短時間為

A

2x2￡

A

g

而屋頂的傾角則為

tga=—=1na=45,

6.傾角為30°的長斜坡上有C、0、8三點，CO=OB=10m,在C點

豎直地固定一長10m的直桿/端與C點間和坡底8點間各連有

一光滑的鋼繩，且各穿有一鋼球（視為質點），將兩球從4點由靜止開始、同時分別沿兩鋼繩

滑到鋼繩末端，如圖1所示，則小球在鋼繩上滑行的時間加

和加分別為（取g=10m/s2）

A.2s和2sB.V2s和2s

C.V2s和4sD.4s和J^s

解析：由于約=OB=OK,故4B、C三點共圓，。為圓心。

又因直桿40豎直，/點是該圓的最高點，如圖2所示。兩球

由靜止釋放，且光滑無摩擦，滿足“等時圓”條件。設鋼繩.

48和4c與豎直方向夾角分別為a、a2,該圓半徑為々則對下

鋼球均有!

2rcosa=-gcosa''

解得：r=一，鋼球滑到斜坡時間才跟鋼繩與豎直方向夾角

Vg

a無關，且都等于由A到D的自由落體運動時間。代入數值得t=2s,選項A正確。

等時圓現象指質點在圓中不同的弦的一端從靜止開始運動到弦的另一端點所用時間相等，

且都等于沿某一直徑的一端從靜止開始運動到另一端所用的時間。復合場指某空間同時存在重

力場、電場、磁場三種場中的兩種場或三種場。做有關等時圓現象的題可練習建模能力、受力

分析能力、綜合應用牛頓第二定律、運動學公式、電場力、磁場力以及幾何知識的能力。

一、復合場中“等時圓”模型基本規(guī)律

1、勻強電場與重力場組成的復合場中“等時圓”推論

如圖1所示豎直平面內有一圓，AB是圓的直徑，在平面內有水平向左的勻強電場，帶正電

絕緣小滑塊受到的重力與電場力的合力方向恰好與AB平行且由A指向B,帶正電絕緣小滑塊沿

經過A點的任一光滑弦從靜止滑到弦軌道與圓交點的時間相等。

證明：如圖1所示，設AC弦與直徑AB夾角為9,圓(

的直徑為d,則NACB=90°。帶正電絕緣小滑塊沿光滑/\

弦作初速度為零的勻加速直線運動，加速度為p//I

&=Fcos分,位移為％=dcos8,運動時間為//

_l2x_\lmdcos3_\lmd圖1

°\aVFeos?VF

所以沿弦運動具有等時性，運動時間與弦的長短以_____

及弦和直徑的夾角無關。/

2、由重力場、勻強電場、勻強磁場疊加的/

復合場中中，，等時圓”推論/60°\

在圖1中，如果有垂直紙面向里的勻強磁場，I/]

帶正電絕緣小滑塊運動方向與磁場垂直，小滑塊沿I/I

軌道運動的加速度不會變化，即其受到的洛倫茲力V//I

不影響質點在軌道上的運動時間，所以上述結論仍口\/J

成立即“帶正電絕緣小滑塊沿經過A點的任一光滑y

CB

圖2

弦從靜止滑到弦軌道與圓交點的時間相等?！?/p>

二、復合場中“等時圓”模型例析

例1:如圖2所示，豎直的圓環(huán)放在水平向左的勻強電場中，半徑為R,AB、AC、AD三條

光滑管道中分別有三個質量均為m、帶正電且電量相等的絕緣小球無初速度地從A端釋放后,

分別在管道AB、AC、AD中下滑到D、C、B三端點。AB豎直，AD與豎直方向夾角為60°,AC經

過圓心。已知小球所受重力大小與電場力大小之比為則小球其中運動時間最長的管道是

()

A、ADB、ACC、ABD、條件不足，無法判定

解析：如圖3所示，小球所受重力大小與電場力大小

之比為可知，小球所受重力與電場力的合力F的

3

方向恰好與AD平行，且由A指向Do過AC兩點畫一

個虛線圓，且圓心在AD上，直徑長設為d,延長管道

AD到M。AB與虛線圓交于N點。設AC與AD夾角為6,

.Fcos0

小球在管道AC上運動的加速度。=--------,位移

m

x=dcos0。小球在光滑管道AC上從A點靜止釋放,

圖3

圓直徑從A點靜止釋放小球后滑到M點所用時間，與e和弦長無關，所以從A點靜止釋放小球

12dm

后滑到N點所用時間也為『=J-骨。AD短于AM,AB長于AN,所以沿管道AB運動時間最長。

故正確答案是C選項

例2、如圖4所示，豎直圓環(huán)上的兩條直徑CD和AB夾角為60°,CD豎直，圓環(huán)內有兩條光滑

軌道AM、ACo一個帶負電絕緣光滑小球從A點靜止釋放，沿

軌道AC到達C點時間為t。在圓環(huán)所在空間加勻強電場，方

向與圓環(huán)所在平面平行，小球在A點時受到的電場力與重力

的合力方向恰好由A指向B,讓該小球從A點靜止釋放，沿

軌道AM到達M點時間也為to已知小球質量為m,帶電量為

—qo求所加電場的電場強度大小和方向。

解析：如圖5所示，在重力場中，小球從A點靜止釋放，沿

軌道AC到達C點時間

圖4

(_12dcos?_[2d

（d是圓的直徑,e是重力與AC夾

Vgeos。VS

角）①

在勻強電場和重力場組成的復合場中，電場力與重力的合力

大小設為F,小球從A點靜止釋，沿軌道AM到達M點時間

t_12mdeos戶_\2md②

NFcos/3VF

由①②可知F=mg根據三角形定則和幾何知識，重力G、電

場力F電及這二力的合力F構成等邊三角形，即F/mg=qE,

得到所求電場強度大小E=mg/q,小球帶負電，所以電場方向

豎直方向夾角為60°,斜向右下方。

例3、如圖6所示，在豎直平面內有兩個圓相切于0點，圓心分別為0卜。2、

直徑徑分別&、d20在一、二象限內有豎直向下的勻強電場，場強大小為E;在圓內有垂直紙

面向里的磁場，磁感應強度大小為在三、四象限內有豎直向上的勻強電場，場強大小也為

E；在圓內有垂直紙面向外的磁場，磁感應強度大小為B?。有兩個管道AB、CD都經過0點，A、

C在。上，B、D在。0z上。一帶正電絕緣光滑小球，直徑略小于管道直徑，分別從管道A端、

C端從靜止釋放，經管道內到達B端、D端所用時間分別為七、七。已知小球在電場中受到的

電場力小于其重力。下列說法正確的有（）

A、管道AB比CD長，所以七＞七

B、tl—12

C、如果第三象限內沒有電場，則有

D,因&與B,大小關系不確定，所以七與七大小關系也不確定。

解析：光滑小球在管道內運動受到的洛倫茲力與管道垂直，不影

響小球運動的速度和加速度，所以不用考慮磁場對運動時間的影

響。所以D選項錯。如圖7所示，設小球質量為m,AB與Y軸夾

角為9,在第一、二象限小球受到的重力與電場力合力為F,,在

第三、四象限小球受到的重力與電場力合力為Fz,小球在AO運動

的位移大小為dicos0，小球在0B運動的位移大小為d2cos9,圖6

根據牛頓第二定律和運動學公式有：&cos。Jcos%2得

2m

2mdi口.,口廿

ho=＞與e無關'與管

道在圓中長度無關。所以即兩小球在。Oi中部分

管道運動時間相等。

43。=艇斗.m+號”力化簡得

m2m

=―tH—可見,也是與8無關，所以,又

mAOOIi2m

G=心o+?O6,G=攵。+200所以ti=t2o如果第三象限內沒有電場，

兩小球在豎直方向受到恒力為重力G,同理可得

圖7

FQ9

d=~-----‘。8'toe仍與6無關，兩小球則在。。2中管道

2m2m

運動時間仍相同，所以tk七.因此，正確選項只有B。

三、復合場中“等時圓”模型變式練習

1:如圖8所示，在一豎直放置的圓環(huán)中的4根光滑絕緣細桿AE、

ED

F

圖8

AD、BF、BC,其中，BF豎直且與AD相交于圓心0,夾角為45°,AE與BF平行，AD與BC平行。

在圓環(huán)平面內水平向右的勻強電場，四個完全相同的帶正電的絕緣小圓環(huán)分別套在4根光滑絕

緣細桿的A、B兩點，靜止釋放，使環(huán)分別沿AE、AD、BF、BC滑到圓周上的E、D、F