專題12投影與視圖【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1平行投影概念及特點(diǎn)平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．判斷投影是平行投影的方法是看光線是否是平行的．如果光線是平行的，所得到的投影就是平行投影．在平行投影中，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影．例．（2022·全國·九年級單元測試）房間窗戶的邊框的形狀是矩形，在陽光的照射下邊框在房間地面上形成了投影，則投影的形狀可能是（）A．三角形 B．平行四邊形C．圓 D．梯形【答案】B【分析】由于矩形邊框的對邊平行，則在陽光的照射下邊框在房間地面上形成了投影的對邊也平行或重合，所以她的投影不可能為三角形、圓、梯形．【詳解】解：在陽光的照射下矩形邊框在房間地面上形成了投影的形狀可能是平行四邊形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．變式1．（2022·湖北湖北·一模）北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受廣大人們的喜愛，體現(xiàn)了“瑞雪兆豐年”的寓意及包容交流拼搏的理念．一名藝術(shù)愛好者雕刻制作了“冰墩墩”“雪容融”，并在中午12點(diǎn)觀測到高為165cm的“冰墩墩”的影長為55cm，此時在同一地點(diǎn)的“雪容融”的影長為60cm，那么“雪容融”的高為（

）A．160cm B．170cm C．180cm D．185cm【答案】C【分析】在同一時刻物體的身高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，以及經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似，通過相似比即可解決本題．【詳解】解：∵，∴（cm），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，能夠根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立起適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是解決本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·河北·模擬預(yù)測）媛媛拿一個等邊三角形木框在陽光下玩（木框?qū)挾群雎圆挥嫞冗吶切文究蛟诘孛嫔闲纬傻耐队安豢赡苁牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，依此進(jìn)行分析．【詳解】解：當(dāng)?shù)冗吶切文究蚺c陽光平行時，投影是A；當(dāng)?shù)冗吶切文究蚺c陽光垂直時，投影是C；當(dāng)?shù)冗吶切文究蚺c陽光有一定角度時，投影是D；投影不可能是B．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影特點(diǎn)，不同位置，不同時間，影子的大小、形狀可能不同．變式3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）下列四幅圖，表示兩棵樹在同一時刻陽光下的影子是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行投影的意義和性質(zhì)，得出影子與實(shí)物的位置和大小關(guān)系得出答案．【詳解】解：太陽光和影子，同一時刻，桿高和影長成正比例，且影子的位置在物體的統(tǒng)一方向上可知，選項B中的圖形比較符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行投影的意義，掌握平行投影的特征和性質(zhì)是正確判斷的前提．◎考點(diǎn)題型2平行投影與相似解決此類問題的關(guān)鍵是掌握平行投影特點(diǎn)：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例．通過構(gòu)造三角形利用相似三角形的性質(zhì)去解題即可．例．（2022·四川達(dá)州·九年級期末）如圖，身高1.5米的小明（AB）在太陽光下的影子AG長1.8米，此時，立柱CD的影子一部分是落在地面的CE，一部分是落在墻EF上的EH．若量得米，米，則立柱CD的高為（

）．A．2.5m B．2.7m C．3m D．3.6m【答案】A【分析】將太陽光視為平行光源，可得，MD=HE，即可得CM的值，故計算CD=CM+DM即可．【詳解】如圖所示，過D點(diǎn)作BG平行線交FE于點(diǎn)H，過E點(diǎn)作BG平行線交CD于點(diǎn)M∵BG//ME//DH∴∠BGA=∠MEC，∠BAG=∠DCE=90°∴，MD=HE∴∴∴CD=CM+DM=1+1.5=2.5故答案選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判斷即性質(zhì)，由太陽光投影判斷出平行關(guān)系進(jìn)而求得相似是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，某同學(xué)想測量旗桿的高度，他在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長1.5米，在同時刻測量旗桿的影長時，因旗桿靠近一樓房，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，他測得落在地面上影長為21米，留在墻上的影高為2米，求旗桿的高度（）A．12米 B．14米 C．16米 D．18米【答案】C【分析】同一時刻下，不同物體的高度比與影長比相等，畫出示意圖，找見相似，代入計算即可．【詳解】解：如下圖：過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，某一時刻竹竿和影長構(gòu)成的三角形為△FGH，此時FG=1米，GH=1.5米，BD=EC=21米，CD=EB=2米．據(jù)題意，同一時刻，∴∴∴AE=14∴AB=AE+BE=14+2=16米故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平行投影，牢記知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．變式2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）某一時刻，身高1.6m的小明在陽光下的影長是0.4m.同一時刻同一地點(diǎn)，測得某旗桿的影長是5m，則該旗桿的高度是（）A．1.25m B．10m C．20m D．8m【答案】C【詳解】設(shè)該旗桿的高度為xm，根據(jù)題意得，1.6：0.4=x：5，解得：x=20（m）．即該旗桿的高度是20m．故選：C．變式3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，陽光從教室的窗戶射入室內(nèi)，窗框AB在地面上的影長，窗戶下檐到地面的距離，，那么窗戶的高AB為（

）A．1.5m B．1.6m C．1.8m D．2.5m【答案】A【分析】由于光線是平行的，因此BE和AD平行，可得兩個三角形相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)線段成比例，列出等式求解即可得出AB．【詳解】解：∵BE∥AD，∴△BCE∽△ACD，∴，即，∵BC＝1，DE＝1.8，EC＝1.2，∴，解得：AB＝1.5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行投影，只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求出窗戶的高．◎考點(diǎn)題型3中心投影概念及特點(diǎn)中心投影：由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影．如物體在燈光的照射下形成的影子就是中心投影．中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．判斷投影是中心投影的方法是看光線是否相交于一點(diǎn)，如果光線是相交于一點(diǎn)，那么所得到的投影就是中心投影．例．（2022·河南平頂山·九年級期末）下列結(jié)論正確的有（

）①同一時刻，同一公園內(nèi)的物體在陽光照射下，影子的方向是相同的②物體在任何光線照射下影子的方向都是相同的③物體在路燈照射下，影子的方向與路燈的位置有關(guān)④物體在點(diǎn)光源照射下，影子的長短僅與物體的長短有關(guān)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用平行投影和中心投影的特點(diǎn)進(jìn)行逐項分析即可．【詳解】解：①由于太陽光線是平行光線，所以物體在陽光照射下，影子的方向是相同的，故正確；②物體在太陽光線照射下影子的方向都是相同的，在燈光的照射下影子的方向與物體的位置有關(guān)，故錯誤；③物體在路燈照射下，影子的方向與路燈的位置有關(guān)，故正確；④物體在點(diǎn)光源的照射下，影子的長短與物體的長短和光源的位置有關(guān)，故錯誤．所以正確的只有2個．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影和中心投影的特點(diǎn)，解題關(guān)鍵是理解：平行投影的特點(diǎn)是：在同一時刻，不同物體的物高和影長成比例；中心投影的特點(diǎn)是：①等高的物體垂直地面放置時，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長；②等長的物體平行于地面放置時，在燈光下，離點(diǎn)光源越近，影子越長；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會比物體本身的長度還短．變式1．（2022·江蘇·東海實(shí)驗中學(xué)三模）三根等長的木桿豎直地立在平地的同一個圓周上，圓心處有一盞燈光，其俯視圖如圖所示，圖中畫出了其中一根木桿在燈光下的影子．下列四幅圖中正確畫出另兩根木桿在同一燈光下的影子的是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中心投影的定義，結(jié)合中心投影下物體的影子的位置、長短進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．根據(jù)中心投影的意義，結(jié)合中心投影下影子的位置、長短關(guān)系可知，選項A符合題意；B．由于是中心投影，根據(jù)三個桿子的位置可知，三個桿子的影子的位置不是同一個方向，因此選項B不符合題意；C．根據(jù)光源在圓心，結(jié)合其影子的位置可知，故選項C不符合題意；D．利用中心投影下影子位置可得，選項D中的桿子的位置與影子不相匹配，因此選項D不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心投影，理解中心投影的意義，掌握中心投影下物體的影子的位置、長短關(guān)系是正確判斷的前提．變式2．（2022·內(nèi)蒙古包頭·九年級期末）如圖，有一路燈桿AP，路燈P距地面4.8m，身高1.6m的小明站在距A點(diǎn)4.8m的點(diǎn)D處，小明的影子為DE，他沿射線DA走2.4m到達(dá)點(diǎn)B處，小明的影子為BC，此時小明影子的長度（）A．增長了1m B．縮短了1m C．增長了1.2m D．縮短了1.2m【答案】D【分析】由題意過B作BG⊥AE交PC于G，過D作DH⊥AE交PE于H，證△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，得，解得BC=1.2（m），DE=2.4（m），即可解決問題．【詳解】解：過B作BG⊥AE交PC于G，過D作DH⊥AE交PE于H，則AB=AD-BD=4.8-2.4=2.4（m），BG=DH=1.6m，BG∥AP∥DH，∴△BCG∽△ACP，△DEH∽△AEP，∴，即，解得：BC=1.2，DE=2.4，∴DE-BC=2.4-1.2=1.2（m），即此時小明影子的長度縮短了1.2m.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及中心投影等知識；證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．變式3．（2021·江西景德鎮(zhèn)·九年級期末）在小明住的小區(qū)有一條筆直的路，路中間有一盞路燈，一天晚上他行走在這條路上如圖，當(dāng)他從點(diǎn)走到點(diǎn)的過程，他在燈光照射下的影長與所走路程的變化關(guān)系圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中心投影的特點(diǎn)，當(dāng)他從A點(diǎn)走到路燈下時，影長l逐漸變小，當(dāng)從路燈下走到B點(diǎn)時，影長l逐漸變長，從而可對四個選項進(jìn)行判斷．【詳解】解：當(dāng)他從A點(diǎn)走到路燈下時，影長l逐漸變小，當(dāng)從路燈下走到B點(diǎn)時，影長l逐漸變長,即隨S的逐漸增大，l先由大變小，再由小變大，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)圖象以及中心投影的性質(zhì)，得出l隨s的變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型4中心投影與相似解答此類題的關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解答問題．例．（2022·貴州畢節(jié)·九年級期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是一個光源．木桿兩端的坐標(biāo)分別為．則木桿在x軸上的投影長為（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】延長PA、PB交x軸于E、C，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交AB于F，由A、B、P的坐標(biāo)求出AB，PD，PF的長，證明△PEC∽△PAB，得到，代入數(shù)值求出結(jié)果．【詳解】解：延長PA、PB交x軸于E、C，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交AB于F，∵的坐標(biāo)分別為．∴AB=6-0=6，軸，∵，∴PD=6，PF=6-2=4，∵軸，∴△PEC∽△PAB，∴∴，∴EC=9，故選：B．．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，正確構(gòu)造相似三角形進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2，2)是一個光源．木桿AB兩端的坐標(biāo)分別為(0，1)，(3，1)．則木桿AB在x軸上的投影長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】利用中心投影，延長PA、PB分別交x軸于A′、B′，作PE⊥x軸于E，交AB于D，如圖，證明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A'B'的長．【詳解】解：延長PA、PB分別交x軸于A′、B′，作PE⊥x軸于E，交AB于D，如圖，∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．∴PD=1，PE=2，AB=3，∵AB//A′B′，∴△PAB∽△PA′B′，∴，即，∴A′B′=6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點(diǎn)是從一點(diǎn)出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．變式2．（2021·河北·保定市蓮池區(qū)冀英初級中學(xué)九年級期中）如圖，一路燈距地面5.6米，身高1.6米的小方從距離燈的底部（點(diǎn)O）5米的A處，沿OA所在的直線行走到點(diǎn)C時，人影長度增長3米，小方行走的路程AC＝（）A．7.2 B．6.6 C．5.7 D．7.5【答案】D【分析】設(shè)出影長AB的長，利用相似三角形可以求得AB的長，然后在利用相似三角形求得AC的長即可．【詳解】解：∵AE⊥OD，OG⊥OD，∴AE//OG，∴∠AEB=∠OGB，∠EAB=∠GOB，∴△AEB∽△OGB，∴，即，解得：AB＝2m；∵OA所在的直線行走到點(diǎn)C時，人影長度增長3米，∴DC＝AB+3=5m，OD=OA+AC+CD=AC+10，∵FC∥GO，∴∠CFD=∠OGD，∠FCD=∠GOD，△DFC∽△DGO，∴，即，解得：AC＝7.5m．所以小方行走的路程為7.5m．故選擇：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形在實(shí)際中的中心投影的應(yīng)用，掌握相似三角形判斷與性質(zhì)，利用對應(yīng)邊成比例是解答本題的關(guān)鍵．變式3．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子的長為1m，繼續(xù)往前走3m到達(dá)E處時，測得影子的長為2m，已知王華的身高是1.5m，那么路燈A的高度等于（

）A．4.5m B．6m C．7.5m D．8m【答案】B【分析】根據(jù)在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似解答．【詳解】解：如圖，，，∴，∴（兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似），∴，設(shè)，則，同理，得，∴，∴∴，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了中心投影的特點(diǎn)和規(guī)律以及相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是利用中心投影的特點(diǎn)可知在這兩組相似三角形中有一組公共邊，利用其作為相等關(guān)系求出所需要的線段，再求公共邊的長度．◎考點(diǎn)題型5幾何體的三視圖幾何體的三視圖，畫三視圖時注意“長對正，寬相等，高平齊”，被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線化成虛線．例．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）下列幾何體中，從左面看和從上面看得到的圖形相同的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】從左面看到的圖形即為左視圖，從上面看到的圖形即為俯視圖，結(jié)合圖形找出各圖形的俯視圖以及左視圖，然后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、左視圖為一行兩個相鄰的小正方形，俯視圖有兩層，底層左邊是一個小正方形，上層右邊是一個小正方形，故此選項不符合題意；B、左視圖為矩形，俯視圖為圓，故此選項不符合題意；