課時(shí)評(píng)價(jià)作業(yè)（十一）數(shù)學(xué)歸納法A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的對(duì)角線為12n(n-3)條”時(shí),第一步檢驗(yàn)n=(A.1B.2C.3D.4答案:C2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“12n+1+12n+2+…+13n>13(n≥2,且n∈N*)”的過(guò)程中,由假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)A.增加1B.增加13k+1C.增加13k+3D.增加13k+1+13k解析:當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),不等式為12k+1+12k+2+當(dāng)n=k+1時(shí),不等式為12k+3+12k+4+…+13故左邊增加13k+1+13k+2答案:D3.某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān),如果當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)該命題成立,那么可得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立,若已知n=5時(shí)命題不成立,那么下列說(shuō)法正確的是①④(填序號(hào)).①當(dāng)n=4時(shí),該命題不成立;②當(dāng)n=6時(shí),該命題不成立;③當(dāng)n=1時(shí),該命題可能成立;④當(dāng)n=6時(shí),該命題可能成立也可能不成立,但若當(dāng)n=6時(shí)命題成立,則對(duì)任意n≥6,該命題都成立.解析:①“當(dāng)n=4時(shí),該命題不成立”正確.理由:如果n=4時(shí)命題成立,那么可推出當(dāng)n=5時(shí)命題成立,與題設(shè)矛盾,故n=4時(shí),該命題不成立.③“當(dāng)n=1時(shí),該命題可能成立”錯(cuò)誤.理由:若當(dāng)n=1時(shí)命題成立,則可得當(dāng)n=2時(shí)命題成立,繼續(xù)推導(dǎo)得到當(dāng)n=5時(shí)命題成立,這與題設(shè)矛盾.由當(dāng)n=5時(shí)命題不成立,不能確定當(dāng)n=6時(shí)命題是否成立.但若當(dāng)n=6時(shí)命題成立,則可得當(dāng)n=7時(shí)命題成立,繼續(xù)推導(dǎo)得到對(duì)任意n≥6,該命題都成立.故②錯(cuò)誤,④正確.4.多空題已知n為正偶數(shù),當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1-12+13-14+…+1n-1-1n=21n+2+1n+4+…+12n”時(shí),第一步的驗(yàn)證為當(dāng)n=2時(shí),左邊=1-12=12,右邊=2×5.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.(1)計(jì)算a2,a3,猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明;(2)求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn.解:(1)因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n,所以a2=3a1-4=5,a3=3a2-4×2=7.猜想{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1.證明如下:①當(dāng)n=1時(shí),猜想顯然成立.②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),ak=2k+1成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1,故n=k+1時(shí),猜想成立.由①②,知an=2n+1對(duì)任何n∈N*都成立,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1.(2)令bn=2nan=(2n+1)·2n,則數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn=3×21+5×22+…+(2n+1)2n,①則2Sn=3×22+5×23+…+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1.②-②,得-Sn=3×2+2×22+…+2×2n-(2n+1)×2n+1=6+8(1-1)2n+1,所以Sn=(2n-1)2n+1+2.B級(jí)能力提升6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“42n-1+3n+1(n∈N*)能被13整除”的第二步中,當(dāng)n=k+1時(shí),為了使用歸納假設(shè),對(duì)42k+1+3k+2變形正確的是()A.13×42k-1+3(42k-1+3k+1)B.4×42k+9×3kC.(42k-1+3k+1)+15×42k-1+2×3k+1D.3(42k-1+3k+1)-13×42k-1解析:假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,則42k-1+3k+1能被13整除,則當(dāng)n=k+1時(shí),42k+1+3k+2=16×42k-1+3×3k+1=13×42k-1+3×42k-1+3×3k+1=13×42k-1+3×(42k-1+3k+1),能被13整除.故選A.答案:A7.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足4Sn=(an-1+3)2(n≥2,n∈N*),則數(shù)列{an}解析:當(dāng)n=1時(shí),a1=1;當(dāng)n=2時(shí),4S2=(a1+3)2=16,所以S2=當(dāng)n=3時(shí),4S3=(a2+3)2=36,所以S3=當(dāng)n=4時(shí),4S4=(a3+3)2=64,所以S4=……猜想an=2n-1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時(shí),a1=1滿足an=2n-1.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),結(jié)論成立,即ak=2k-1,可得Sk=k2,則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?Sk+1=(ak+3)2=(2k+2)2所以Sk+1=(k+1)2,則ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)2-k2=2k+1=2(k+1)-1.所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.結(jié)合①②可知,an=2n-1對(duì)任何n∈N*都成立.8.給出下列不等式:1>121+12+131+12+13+14+15+161+12+13+…+115(1)根據(jù)給出不等式的規(guī)律,歸納猜想出不等式的一般結(jié)論;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.(1)解:將第1個(gè)不等式左邊的1寫(xiě)成11,可以看出不等式左邊最后一個(gè)數(shù)的分母的特點(diǎn):1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-猜想不等式左邊最后一個(gè)數(shù)的分母為2n-1,對(duì)應(yīng)各式右邊為n2所以猜想不等式的一般結(jié)論為1+12+13+14+…+12n-1>n(2)證明:①當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立;②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)結(jié)論成立,即1+12+13+14+…+12則當(dāng)n=k+1時(shí),1+12+13+14+…+12k-1+12k+…+12k+1-2+12即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.由①②可知,對(duì)任意n∈N*結(jié)論都成立.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=an2+1an-1,且an>0,n(1)求a1,a2,a3;(2)猜想{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解:(1)由a1=S1=a12+1a1-1,得a1=-又因?yàn)閍n>0,所以a1=3-1.因?yàn)镾2=a1+a2=a22+1a2-1,a2>0,所以a2=因?yàn)镾3=a1+a2+a3=a32+1a3-1,a3>0,所以a3=(2)由(1)猜想an=2n+1-2n-1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時(shí),由(1)知a1=3-1,猜想成立.②假設(shè)當(dāng)n=